例 2.14.3. (X, d)を距離空間, x0 ∈ X . x0 距離を 関数, , dx0(x) =d(x0, x) 定 写像dx0: X →R 連続 .
証明. 三角不等式 , 任意 a, x∈X 対
−d(x, a)≤d(x0, x)−d(x0, a)≤d(x, a) (2.1)
|d(x0, x)−d(x0, a)| ≤ d(x, a) 分 . , 任意 ε >0 対 , δ =ε , d(x, a)< δ ,
|dx0(x)−dx0(a)|=|d(x0, x)−d(x0, a)| ≤d(x, a)< δ =ε.
問 146. 不等式(2.1)を示 .
（2016年度 ）
定理 2.14.4. X, Y を距離空間 .
f:X →Y a∈X 連続⇔点a∈X 収束 任意 点列{xn} 対 lim
n→∞f(xn) =f(a).
,f 連続 , lim
n→∞を中 , lim
n→∞f(xn) = f
(
nlim→∞xn
)
.
証明. ⇒) f a ∈X 連続 , 点列{xn} a 収束 . f(a) 任意 近傍V 対 , a 近傍U f(U) ⊂ V 存在 . U 対 , N ∈ N 存在 ,
n ≥ N xn ∈ U . n ≥ N f(xn) ∈ f(U) ⊂ V .
f(xn)→f(a).
⇐) 命題 2.13.6 ∀A ⊂ X : a∈ Aa ⇒f(a) ∈ f(A)a を示 . A ⊂ X, a∈ Aa
. X 距離空間 , 定理 2.11.4.2 , A 点列{an} lim
n→∞an = a
. 仮定 , lim
n→∞f(an) = f(a) . {f(an)} f(A) 点列 , 定理 2.11.4.1 , f(a)∈f(A)a.
注意 . 証明を見 分 , ⇒ 任意 位相空間 . ⇐ ,点a∈ X 可算基本近傍
系を .
.
問 147. f(x, y) = x+ y, g(x, y) = xy 与 空間 間 写像
f, g: R2 →R 連続 .
問 148. R,Rm,Rnを 空間, X を位相空間 , pi: Rn →Rを第i成分 射影, pi(x1, . . . , xn) =xi 与 写像 . 次を示 .
1. pi 連続 .
2.14 距離空間 間 連続写像 169 2. f: X →Rn 連続⇔ i 対 pi◦f: X →R 連続.
3. m≥n, 1 ≤i1 < i2 < · · ·< in ≤m . p(x1, . . . , xm) = (xi1, . . . , xin) 与 写像p: Rm→Rn 連続.
4. B ⊂ Rn を部分空間, f: X → Bを写像 . f Rn 座標を使 f(x) = (f1(x), . . . , fn(x)) 表 , f 連続⇔各fi: X →R 連続.
問題集 . 85(2) 99 106
（2016年度 ）
例 2.14.5. (X, dX)を距離空間, (Y, dY)を有界, δ(Y)<∞, 距離空間 . X Y 写像全体をF(X, Y), 連続写像全体をC(X, Y) 表 . f, g ∈F(X, Y) 対 ,実数 d(f, g)を
d(f, g) = sup
x∈X
dY(f(x), g(x))
定 (Y 有界 d(f, g)<∞) ,d F(X, Y)上 距離関数 .
{fn}をF(X, Y) 点列, X Y 写像 列 . {fn} 上 定 距離
関 f ∈ F(X, Y) 収束 , {fn} f 一様収束(uniformly convergent)
.
連続写像 列{fn} 写像f 一様収束 , f 連続 . 系2.11.5 ,
距離 定 位相 関 C(X, Y) F(X, Y) 閉集合 .
証明. 連続写像 列{fn} 写像f 一様収束 ,f 連続 を示 .
a∈Xを任意 点 . a∈X f 連続 , ,任意 ε >0 対 ,a
近傍U 存在 ,x∈U dY(f(x), f(a))< ε を示 .
ε > 0 . {fn} f 一様収束 , N ∈ N 存在 , n ≥ N
d(fn, f)< ε/3 . , 任意 x∈ X 対 dY(fN(x), f(x))< ε/3 . fN 連続
a 近傍U 存在 , x ∈ U dY(fN(x), fN(a))< ε/3 . U
,x∈U
dY(f(x), f(a))≤dY(f(x), fN(x)) +dY(fN(x), fN(a)) +dY(fN(a), f(a))< ε.
問 149. 上 d F(X, Y)上 距離関数 を示 .
定義 2.14.6. (X, dX), (Y, dY)を距離空間 .
写像f:X →Y 一様連続(uniformly continuous) ⇔
def
任意 ε >0 対 , δ >0 存在 , dX(x, x′)< δ dY(f(x), f(x′))< ε .
注意 . ε 対 δ X 点 . 明 一様連続 連続 .
問 150. 一様連続 連続 を示 .
例 2.14.7. f:R→Rをf(x) =x2 定 ,f 一様連続 . (例 2.14.2参照.)
証明. 任意 δ >0 対 ,x= 1/δ ,|(x+δ/2))−x|=δ/2< δ ,
|f(x+δ/2)−f(x)|= (
x+ δ 2
)2
−x2
=δx+ δ2 4
> δx= 1.
例 2.14.8. X ⊃A ̸=∅ . dA(x) =d(x, A) 定 関数dA:X →R 一様連続 .
例 2.14.3 関数dx0 一様連続 .
証明. 任意 x, y ∈ X , 任意 a ∈ A 対 d(x, y) +d(y, a) ≥ d(x, a) ≥ d(x, A), d(x, y) +d(y, a) ≥ d(x, A) , d(x, y) +d(y, A) ≥ d(x, A) 成 立 . d(x, y)≥d(x, A)−d(y, A). x yを入 換 d(x, A)−d(y, A)≥ −d(x, y).
|dA(x)−dA(y)|=|d(x, A)−d(y, A)| ≤d(x, y).
問題集 . 97 103(1)(2)
.
171
第 3 章
位相空間
3.1 位相 基 準基
定理 2.3.5 見 , 距離空間 開集合 開球 和集合 特徴付
. 一般 位相空間 , 集合 開集合を特徴付 便利 .
定義 3.1.1. (X,O)を位相空間 .
B ⊂ O O 基(base) 開基(open base) ⇔
def
任意 開集合O B 属 開集合 和集合 表 : O=∪
λOλ(Oλ∈ B).
位相空間X 開基 .
例 3.1.2. 定理 2.3.5 , 距離空間X ε近傍全体 B ={Uε(x) x∈X, ε >0} 開基 .
命題 3.1.3. (X,OX), (Y,OY) を位相空間, BX を X 開基, BY を Y 開基 ,
f: X →Y を写像 . 次 成 立 .
1. f 連続⇔ 任意 O∈ BY 対 f−1(O)∈ OX. 2. f 開写像⇔ 任意 O∈ BX 対 f(O)∈ OY.
証明. 和集合 逆像 逆像 和集合, 和集合 像 像 和集合. 開集合 和集合 開集 合.
（2016年度 ）
開集合 族 開基 必要十分条件を一 与 .
定理 3.1.4. (X,O)を位相空間,B ⊂ O .
B O 開基 ⇔ 任意 開集合O 任意 x ∈ O 対 , O′ ∈ B 存在 , x∈O′ ⊂O .
証明. ⇒ 明 .
⇐) Oを開集合 . 仮定 ,各x∈O 対 x∈Ox⊂O Ox∈ B 存在
. 各x∈O 対 Ox∈ Bを一 選 ,
O= ∪
x∈O
{x} ⊂ ∪
x∈O
Ox⊂O
,O=∪x∈OOx . 問 151. ⇒を示 .
定義 3.1.5. 位相空間 , 高々可算 基を持 , 第二可算公理 (second axiom of count-
ability) を .
例 3.1.6. n次元 空間Rn ,
B={Ur(x) x∈Qn, r∈Q, r >0} B 可算基 . Rn 第二可算公理を .
証明. Oを開集合,x∈O . , ε >0 存在 , Uε(x)⊂O . 0< r < ε2
r∈Qを一 （補題2.1.7参照）. Qn Rn 稠密 （例 2.10.8） ,
Ur(x)∩Qn̸=∅. x′∈Ur(x)∩Qnを一 Ur(x′)∈ B . 任意 y ∈Ur(x′) 対 , d(x, y) ≤d(x, x′) +d(x′, y)< r+r = 2r < ε
y ∈ Uε(x), Ur(x′) ⊂ Uε(x). x′ ∈ Ur(x) x ∈ Ur(x′).
x∈Ur(x′)⊂O ,定理 3.1.4 ,B 開基 .
定理 3.1.7. 位相空間 第二可算公理を ,第一可算公理を .
証明. Bを位相空間 X 可算開基 . x ∈ X 対 , U∗(x) = {V ∈ B x∈V} . U∗(x) B 部分集合 高々可算集合 , U∗(x) 元 , xを含 開集合 , x 近傍
. U をx 近傍 , x ∈ O ⊂ U 開集合O 存在 . B 開基 ,
O =∪Vi, Vi ∈ B . x ∈O , i 存在 x ∈Vi . Vi ∈ U∗(x) ,Vi⊂U ,U∗(x) x （可算）基本近傍系 .
.
集合X 位相を定 際, 次 Lemma 基本的 .
補題 3.1.8. X を集合 , OλをX 位相 . O :=∩
λ∈ΛOλ X 位 相
証明. O 位相 条件を を .
3.1 位相 基 準基 173 問 152. 証明 .
注意 . X 位相全体 順序集合 ，O = inf{Oλ} .
集合X , 部分集合 与 , 部分集合 開集合 位相を考 場合 . ん離散位相 位相 , 最初
与 部分集合 情報を 反映 を考 . 補題 3.1.8 次 定義
意味 .
定義 3.1.9. Xを集合 . B ⊂ P(X) 対 ,Bを含 位相全 共通部分,
B 元 開集合 最弱 位相をB 生成 (generate) 位相 O(B)
表 .
（2016年度 ）
O(B) 元を陽 表 場合 . 定義 3.1.10. (X,O)を位相空間 .
B ⊂ O O 準基(subbase) ⇔
def B 有限個 元 共通部分 表 集合全体
O 基 .
, 0個 集合 共通部分 全体X , 約束 .
B 準基 , 任意 開集合 ,B 元 有限個 共通部分 和集合 書
.
明 B 開基 準基 .
定理 3.1.11. Xを集合,B ⊂ P(X) . ,B , B 生成 位相O(B) 準基 . , O(B) 元（開集合） ,B 元 有限個 共通部分 和集合 書
.
証明. 明 B⊂ O(B) .
B 元有限個 共通部分 書 X 部分集合全体 集合をBˆ 書 :
Bˆ: = {
U ⊂X U = ∩
i∈F
Bi, F:有限集合, Bi∈ B }
Bˆ 有限個 元 共通部分 Bˆ 元 注意 . , ˆB 元 和集合 書 X 部 分集合全体 集合をO 書 :
O: = {
O⊂X O= ∪
λ∈Λ
Uλ, Uλ ∈Bˆ }
O=O(B) を示 .
B⊂ O(B) （O2 ）B ⊂ Oˆ (B) ,（O3 ）O ⊂ O(B) .
O(B)⊂ Oを示 ,B ⊂ O 注意 , O 位相 を示 . （O(B) B を含 最弱 位相 .）
O1. ∅ 0個 集合 和集合 ∅ ∈ O ,X 0個 元 共通部分 X∈ O. O2. O1, O2∈ O . O1=∪
λUλ,O2=∪
µVµ, Uλ, Vµ∈Bˆ 書 . , O1∩O2=
(∪
λ
Uλ )
∩ (∪
µ
Vµ )
=∪
λ,µ
Uλ∩Vµ
,Uλ∩Vµ ∈Bˆ O1∩O2∈ O. O3. Bˆ 元 和集合 和集合 んBˆ 元 和集合.
注意 . 定理 ,任意 B⊂ P(X) 適当 位相 準基 分 ,必 開基 . 問題集190参照.
命題 3.1.12. X,Y を位相空間, BをY 準基 , f:X →Y を写像 . f 連 続⇔ 任意 O∈ B 対 f−1(O) 開集合.
証明. 逆像 和集合, 共通部分を保 . 開集合 和集合 開集合, 開集合有限個 共通部分 開集 合.
.
3.2 直積 直和 175
3.2 直積 直和
定義 3.2.1. (X,OX), (Y,OY)を位相空間 . 直積集合 X ×Y , 部分集合 族 B = {U ×V U ∈ OX, V ∈ OY} 生成 位相を 位相空間をX Y 直積空
間(product space), 積(Cartesian product) , 位相を
直積位相(product topology) .
普通, , 直積集合 直積位相を .
命題 3.2.2. B={U ×V U ∈ OX, V ∈ OY} 直積位相 開基 . , 直積 位相 開集合 X 開集合 Y 開集合 直積 和集合 書 全体 .
証明. 2016年度 時間 都合 定理 3.1.11を , 定理 3.1.11 を使 直接証明 .
直接 手間 , 簡単 気 ,同 を
定理 3.1.11 証明を ,定理3.1.11を使 .
B 元 和集合 書 X×Y 部分集合全体 集合をO 書 :
O : = {∪
λ
Uλ×Vλ Uλ×Vλ∈ B }
O =O(B) を示 .
B⊂ O(B) （O3 ）O ⊂ O(B) .
B ⊂ O 注意 , O(B)⊂ Oを示 O 位相 を示 （O(B) Bを含 最弱 位相 ）.
O1. ∅=∅ × ∅ ∈ B ⊂ O.
X ∈ OX, Y ∈ OY X×Y ∈ B ⊂ O. O2. O=∪
λUλ×Vλ,O′ =∪
µUµ′ ×Vµ′ ∈ B . O∩O′ =
(∪
λ
Uλ×Vλ
)
∩ (∪
µ
Uµ′ ×Vµ′ )
=∪
λ,µ
(Uλ×Vλ)∩(
Uµ′ ×Vµ′)
=∪
λ,µ
(Uλ∩Uµ′)
×(
Vλ∩Vµ′) , Uλ∩Uµ′ ∈ OX, Vλ∩Vµ′ ∈ OY O∩O′ ∈ O.
O3. O 元 和集合 和集合 んB 元 和集合.
（2016年度 ）
直積位相 B 生成 位相 ,定理3.1.11 B 準基 , ,
Bˆ: = {
U ⊂X×Y U = ∩
i∈F
Bi, F:有限集合, Bi∈ B }
開基 . ˆB=B を示 . ˆB ⊂ Bを示 . X ∈ OX,Y ∈ OY
X×Y ∈ B （０個 元 共通部分）. Ui×Vi ∈ B(1≤i≤n) 対 ,有限個 開集合 共 通部分 開集合 ,
∩n i=1
(Ui×Vi) = ( n
∩
i=1
Ui )
× ( n
∩
i=1
Vi )
∈ B.
.
注意 . 問題集190を使 B 開基 条件を を . 定理 3.2.3. X, Y, Zを位相空間, pX: X×Y →X, pY : X×Y →Y を射影 .
1. X×Y 直積位相 , pX pY 連続 最弱 位相 . 2. pX, pY 開写像 .
3. 写像f: Z →X×Y 連続 ⇔pX◦f, pY ◦f 連続.
証明. X ×Y 直積位相をO .
1. pX: (X×Y,O)→X, pY : (X×Y,O)→Y 連続 明 . O′ を X × Y 位相 pX: (X × Y,O′) → X, pY : (X × Y,O′) → Y
連 続 . O ≤ O′ を 示 . O B =
{U ×V U ∈ OX, V ∈ OY} 生成 位相, , B を含 最弱 位相 , B ⊂ O′ を示 . U ∈ OX, V ∈ OY , 仮 定 p−1X (U), p−1Y (V)∈ O′ .
U ×V = (U ×Y)∩(X×V) =p−1X (U)∩p−1Y (V)∈ O′.
2. 開基 元 像 開集合 を示 , pX(U×V) =U, pY(U ×V) =
V 明 .
3. 連続写像 合成 連続 ⇒ 明 .
pX◦f,pY ◦f 連続 . 開基 元 逆像 開集合 を 示 . U ∈ OX,V ∈ OY ,仮定 (pX◦f)−1(U),(pY◦f)−1(V)∈ OZ .
f−1(U ×V) =f−1((U ×Y)∩(X ×V))
3.2 直積 直和 177
=f−1(U ×Y)∩f−1(X×V)
=f−1(
p−1X (U))
∩f−1(
p−1Y (V))
= (pX ◦f)−1(U)∩(pY ◦f)−1(V)∈ OZ.
問 153. 対角線写像∆ : X →X×X 連続 .
問 154. pX: X×Y →X 閉写像 例を挙 .
問 155. y0 ∈ Y . 写像iy0: X →X× {y0}をiy0(x) = (x, y0) 定 . iy0
同相写像 を示 . , X × {y0} X×Y 相対位相を . 問 156. X1, X2, Y1, Y2を位相空間 .
1. fi: Xi → Yi を連続写像 . , (f1×f2) (x1, x2) = (f1(x1), f2(x2)) 与 直積空間 間 写像
f1×f2: X1×X2 →Y1×Y2 連続 .
2. X1 Y1, X2 Y2 同相 X1×X2 Y1 ×Y2 同相 .
問 157. (0,1) × [0,1) [0,1] × [0,1) 同 相 を 示 . (0,1),[0,1),[0,1]⊂R 1次元 空間 部分空間.
注意 . (0,1) [0,1] 同相 (後 節参照). X ×Z Y ×Z 同相
, X Y 同相 . 別 言 方を , X Y 同相 ,
X×Z Y ×Z 同相 .
問題集 . 196, 197, 198, 199
（2016年度 ）
定義 3.2.4. {(Xλ,Oλ)}λ∈Λを位相空間 族 . 直積集合∏
λ∈ΛXλ ,部分集合 族
∪
λ∈Λ
{p−1λ (O) O∈ Oλ
}
生成 位相( 位相を直積位相 )を 位相空間を, 族{(Xλ,Oλ)}λ∈Λ 直積空 間 弱位相 直積空間 . pλ: ∏
Xλ→Xλ 標準的射影.
直積集合 普通 直積位相を .
命題 3.2.5.
B= {∏
λ∈Λ
Aλ
有限集合L⊂Λ 存在 , λ∈L Aλ ∈ Oλ, λ̸∈L Aλ=Xλ
}
直積位相 開基 .
証明. ∪
λ∈Λ
{p−1λ (O) O∈ Oλ
} 元 有限個 共通部分 部分集合全体 B .
問題集 . 193, 194
注意 . 直積集合∏
λ∈ΛXλ , Bbox:=
{∏
λ∈Λ
Oλ ∀λ∈Λ :Oλ ∈ Oλ }
生成 位相（ を箱位相(box topology) ）を . Λ 有限集合
場合 箱位相 直積位相 一致 ,一般 箱位相 方 直積位相 強 . 一般 箱位
相 問題集194(4),(5) 相当 成立 .
.
定義 3.2.6. {(Xλ,Oλ)}λ∈Λ を位相空間 族 . 非交和X =⨿
λ∈ΛXλ , 位相 O ={O⊂X ∀λ∈Λ : O∩Xλ∈ Oλ}
= {
O= ⨿
λ∈Λ
Oλ Oλ∈ Oλ
}
を与 位相空間(X,O)を族{(Xλ,Oλ)}λ∈Λ 位相和 . 定理 3.2.7. X = ⨿
λ∈ΛXλを位相和, iλ: Xλ → X を標準的包含写像 . 位相和 位相 , 全 iλ 連続 最強 位相 .
証明. O を位相和 位相 . 明 iλ: (X,Oλ) → (X,O) 連続 . 実際,
O ∈ O , i−λ1(O) =O∩Xλ ∈ Oλ.
O′をX 位相 , 任意 λ∈Λ 対 iλ: (X,Oλ)→(X,O′) 連続
. O′ ≤ O を示 . O∈ O′ . 各λ ∈Λ 対 , O∩Xλ=i−λ1(O)∈
Oλ , O ∈ O .
問 158. iλ 開写像 閉写像 . 問 159. 各Xλ X =⨿
Xλ 開 閉集合 .
問 160. Rを１次元 空間 , R 部分空間A, B をA ={x∈R x >0},
3.2 直積 直和 179 B = {x∈R x ≤0} 定 . , 恒等写像 id : A⨿
B →R 連続 , 同相写像 . （実 位相和A⨿
B R 同相 分 .）
問 161. (X,O)を位相空間 . 集合 X = ⨿
Xλ 非交和 分
, 各Xλ O 相対位相をOλ . ,
O 族{(Xλ,Oλ)} 位相和 位相 ⇔ 任意 λ 対 Xλ (X,O) 開集合 .
問題集 . 195