2.2 距離 119 問 68. 1. 等長写像 単射 .
2. f: X →Y 全射等長写像 , f 逆写像 等長写像 .
3. X Y 距離空間 等長 ⇔ 等長写像f: X → Y g: Y → X 存
在 , g◦f = 1X, f ◦g= 1Y 成 立 .
問 69. 写像f: X →Y 距離を保 , X f(X) 距離空間 等長 . 定義 2.2.5. X を距離空間, x∈X, ε > 0 .
1. X 部分集合
Uε(x) ={y∈X d(x, y)< ε}
をxを中心 半径ε 開球(open ball), 開円盤(open disc) ε近 傍 .
2. X 部分集合
Bε(x) ={y ∈X d(x, y)≤ε}
を点xを中心 半径ε 閉球(closed ball) 閉円盤(closed disc) .
3. X 部分集合
Sε(x) ={y∈X d(x, y) =ε}
をxを中心 半径ε 球面(sphere) .
問題集 . 78(1)(2), 79(1)(2), 81(1), 86, 91(1)(2)
例 2.2.6 (n次元 空間, n-dimensional Euclidian space). R n個 直積 Rn ={(x1, x2, . . . , xn)|xi ∈R}
２点x = (x1, . . . , xn), y= (y1, . . . , yn) 対 x y 距離d(x, y)を
d(x, y) = vu ut∑n
i=1
(xi−yi)2 定 d Rn 上 距離関数 .
証明. D1 明 d(x, y)≥0 , x=y d(x, y) = 0 . d(x, y) = 0 ,
0≤(xi−yi)2 ≤
∑n i=1
(xi−yi)2 = 0
xi−yi = 0. x=y.
D2 明 .
D3Rn ３点x= (x1, . . . , xn),y = (y1, . . . , yn),z = (z1, . . . , zn) 対 ai =xi−yi, bi =yi−zi . xi−zi =xi−yi+yi−zi =ai+bi
d(x, y) = vu ut∑n
i=1
a2i, d(y, z) = vu ut∑n
i=1
b2i, d(x, z) = vu ut∑n
i=1
(ai+bi)2 .
(d(x, y) +d(y, z))2−d(x, z)2 =
∑n i=1
a2i +
∑n i=1
b2i + 2 vu ut∑n
i=1
a2i vu ut∑n
i=1
b2i −
∑n i=1
(ai+bi)2
= 2
vu ut∑n
i=1
a2i vu ut∑n
i=1
b2i −
∑n i=1
aibi
≥0.
最後 不等号 次 示 Schwarz 不等式を . d(x, y), d(y, z)
非負 d(x, y) +d(y, z)≥d(x, z) .
補題 2.2.7 (Schwarz 不等式). ai, bi (i = 1, . . . , n)を実数 次 不等式 成立
. ( n
∑
i=1
aibi
)2
≤ ( n
∑
i=1
a2i ) ( n
∑
i=1
b2i )
注意 . Rn (標準的, )内積⟨a, b⟩ ∥a∥
⟨a, b⟩=
∑n i=1
aibi
∥a∥=√
⟨a, a⟩
を使 Schwarz 不等式
|⟨a, b⟩| ≤ ∥a∥∥b∥ 同値 .
証明. ∑
b2i = 0 全 i bi= 0 両辺 0 成立 .
∑b2i ̸= 0 . 任意 実数t 対
0≤
∑n i=1
(ai+tbi)2 =
∑n i=1
a2i + 2t
∑n i=1
aibi+t2(
∑n i=1
b2i)
2.2 距離 121 , ∑
b2i >0 , 判別式を考 ( n
∑
i=1
aibi
)2
− ( n
∑
i=1
a2i ) ( n
∑
i=1
b2i )
≤0 .
距離を 距離 , Rn 距離を与 得 距離空間を n
次元 空間 .
n= 1
d(x, y) =√
(x−y)2 =|x−y| Uε(x) = (x−ε, x+ε) Sε(x) ={x−ε, x+ε} n= 2
Uε((x0, y0)) ={
(x, y) (x−x0)2+ (y−y0)2 < ε2}
. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .....
......
......
......
...........
...............................................................
//
OO
x2+y2=1 max{|x|,|y|}=1
|x|+|y|=1
図2.1 U1((0,0)), 例2.2.10, 2.2.11参照
問 70. 1次元 空間R 自身 等長写像 ？（
0,1 像を調 .）
例 2.2.8. x, y ∈Q ( Z) 対 , d(x, y) ∈Rをd(x, y) = |x−y| 定 , d Q ( Z) 上 距離関数 , 距離 Q ( Z) (1次元
空間R 部分)距離空間 .
例 2.2.9.
R∞ :=
{
(x1, x2, . . .)
xi ∈R,
∑∞ i=1
x2i <∞ }
. R∞ 元 実数列{xi} 級数∑
x2i 収束 . x= (x1, x2, . . .), y= (y1, y2, . . .)∈R∞ 対
d(x, y) = vu ut∑∞
i=1
(xi−yi)2 = vu ut lim
n→∞
∑n i=1
(xi−yi)2 定 関数 R∞ 上 距離関数 .
(R∞ をl2 書 多 . R∞ 記号 別 意味 使
注意.)
証明. d(x, y) well-defined 級数∑
(xi−yi)2 収束 を示 .
sn = ∑n
i=1(xi−yi)2 . {sn} 単調増加 . n次元 空間Rn
３点(x1, . . . , xn),(0, . . . ,0),(y1, . . . , yn) 対 三角不等式
0≤sn= (√
sn)2 ≤
vu ut∑n
i=1
x2i + vu ut∑n
i=1
y2i
2
≤
vu ut∑∞
i=1
x2i + vu ut∑∞
i=1
yi2
2
{sn} 有界 . 収束 .
D1, D2を 明 . 三角不等式を 上 同様 n
次元 空間 三角不等式を考 極限を 示
.
問 71. 上 三角不等式を示 . 例 2.2.10. Rn
d(x, y) = max
1≤i≤n|xi−yi|
を考 Rn 上 距離関数 . ( 距離 距離 (Chebyshev
distance) .)
証明. D1, D2 明 .
任意 1≤i≤n |xi−yi| ≤d(x, y) 成 立 .
d(x, y) +d(y, z)≥ |xi−yi|+|yi−zi| ≥ |xi−zi|.
d(x, y) +d(y, z)≥max
i |xi−zi|=d(x, z).
2.2 距離 123
n= 2 Uε((0,0)) ={(x1, x2)|max|xi|< ε}. 例 2.2.11. Rn
d(x, y) =
∑n i=1
|xi−yi|
距離関数 . ( 距離 距離(Manhattan distance)
.)
証明. D1, D2 明 .
d(x, y) +d(y, z) =
∑n i=1
|xi−yi|+
∑n i=1
|yi−zi|
=
∑n i=1
(|xi−yi|+|yi−zi|)
≥
∑n i=1
|xi−zi|=d(x, z).
n= 2 Uε((0,0)) ={(x1, x2)||x1|+|x2|< ε}
問 72. R∞ 例 2.2.10, 2.2.11 相当 を考察 .
例 2.2.12(離散距離空間, discrete metric space). X を集合 . 関数d: X×X →R を
d(x, y) = {
1, x̸=y 0, x=y 定 d X上 距離関数 . (問題集81(1)参照.) (X, d)を離散距離空間(discrete metric space) .
Uε(x) =
{{x}, ε≤1 X, ε >1 Sε(x) =
{∅, ε̸= 1 X− {x}, ε= 1
例 2.2.13 (p進距離, p-adic metric). pを素数 . l∈Z 対 vp(l) =
{
max{n∈Z n≥0, pn|l}, l̸= 0
∞, l= 0
. l ̸= 0 vp(l) pn|l, pn+1 ̸ |l n∈Z . lを素 因数分解 p 重複度.
dp: Z×Z→Rを
dp(l, m) =p−vp(l−m)
定 . p−∞ = 0 約束 . dp Z上 距離関数 . 距離をp進距 離 .
証明. D1, D2 明 . D3を示 .
vp(l+m)≥min{vp(l), vp(m)}
注意 . l pn , m pk 割 l+m pmin{n,k} 割
. p−x x 関 単調減少 注意
dp(k, l) +dp(l, m)≥max{dp(k, l), dp(l, m)} ( 非負 )
= max{p−vp(k−l), p−vp(l−m)}
=p−min{vp(k−l),vp(l−m)}
≥p−vp(k−l+l−m)=dp(k, m).
問 73. 上 D1,D2を示 .
問 74. 上 例 p= 2 場合を考 . n∈N . 1. l = 0,1,2, . . . ,10 対 d2(l,0)を求 . 2. d2(2n,0) d2(2n−1,0)を求 . 3. S1(0) U1(0)を求 .
4. S1/2n(0) U1/2n(0)を求 .
注意 . 距離 , 三角不等式 強 不等式(超距離三角不等式) max{d(x, y), d(y, z)} ≥d(x, z)
を . 距離を非 的距離(non-Archimedean met-
ric) .
問 75. X を集合 . 関数d: X ×X →R 非負(∀x, y ∈ X, d(x, y)≥ 0) , 超距 離三角不等式を , 三角不等式を を示 .
2.2 距離 125 注意 . 距離 Q 拡張 . 写像vp:Q\{0} →Zを以下 定義 . 任意
0 有理数r r = pns/t, (n, s, t∈ Z, s, t p 割 ) 表 , n r
一意 定 . vp(r) =n . vp(0) =∞ 定 (p進付値).
dp: Q×Q→Rを
dp(l, m) =p−vp(l−m)
定 . p−∞ = 0 約束 . dp Q上 距離関数 . 距離をp進距 離 .
証明.
vp(l+m)≥min{vp(l), vp(m)}
を示 , Z 同様. l = pns/t, m=pku/v s, t, u, v ∈ Z p 割 . n≤k 一般性を失 .
l+m=pns
t +pku v
=pn (s
t +pk−nu v
)
=pnvs+tpk−nu tv
vs+tpk−nu∈Z vs+tpk−nu =pew 書 , e, w∈Z, e ≥0,
w p 割 . l+m=pn+ew/tv , tv p 割 注意
vp(l+m) =n+e ≥n 分 .
例 2.2.14 ( 距離, Hamming distance). X を集合 . x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)∈Xn 対 ,
d(x, y) =♯{i xi̸=yi}
定 d Xn 上 距離関数 . 距離を 距離 (Hamming dis-
tance) .
問 76. 距離関数 を示 .
例 2.2.15. (Xi, di) (i = 1, . . . , n) を距離空間 (x1, . . . , xn), (x′1, . . . , x′n) ∈ X1× · · · ×Xn 対
1. √∑n
i=1di(xi, x′i)2
2. max{d1(x1, x′1), . . . , dn(xn, x′n)}
3. ∑n
i=1di(xi, x′i)
定 関数 X1× · · · ×Xn上 距離関数 .
問 77. 上 1,2,3 距離関数 を示 .
問 78. X を離散距離空間 . 例2.2.15.3 与 Xn上 距離関数
距離(例 2.2.14) 関係を調 .
定義 2.2.16. (X, d)を距離空間, A⊂X を 空 部分集合 . δ(A) := sup{d(x, y)|x, y ∈A}
をA 直径(diameter) .
(空集合 必要 δ(∅) =−∞ 考 .)
δ(A)<+∞ A 有界(bounded) .
問 79. A ⊂B δ(A)≤δ(B).
例 2.2.17. 空間 点 x = (x1, . . . , xn) を中心 半径 r(> 0) 開球
Ur(x) 直径 2r .
証明. 任意 ２点y, z∈Ur(x)
0≤d(y, z)≤d(y, x) +d(x, z)< r+r = 2r.
0≤δ(Ur(x))≤2r . 任意 正 数ε≤2r 対 Rn ２点
x± = (x1±(r− ε
4), x2, . . . , xn)
を考 d(x±, x) = r −ε/4 x± ∈ Ur(x). d(x+, x−) = 2r−ε/2 > 2r −ε.
δ(Ur(x)) = 2r.
注意 . 一般 距離空間 δ(Ur(x)) ≤ 2r 上 証明 前半 分
, 等号 必 成立 .
問 80. 上 等号 成立 , δ(Ur(x))<2r 例を挙 .
補題 2.2.18. (X, d)を距離空間, A ⊂X を 空 部分集合 . A
有界 ⇔任意 点x∈X 対 , r >0 存在 A⊂Ur(x) .
2.2 距離 127 証明. ⇒) δ(A) =s, x ∈X . a ∈A を一 固定 . r =s+d(x, a) + 1
, 任意 a′ ∈A 対
d(x, a′)≤d(x, a) +d(a, a′)≤d(x, a) +s < r a′ ∈Ur(x). A⊂Ur(x).
⇐) A⊂Ur(x) δ(A)≤δ(Ur(x))≤2r.
問 81. A 有界 ⇔ 点x∈X , r >0 存在 A ⊂Ur(x) .
問 82. (X, d)を距離空間, A ⊂X を 空 有限部分集合 . A 有
界 を示 .
定義 2.2.19. (X, d)を距離空間, A, B⊂X を 空 部分集合 . d(A, B) := inf{d(a, b)|a ∈A, b ∈B}
をA B 距離 .
A １点 x ∈ X 集合A = {x} d({x}, B)をd(x, B) 書 , ({x} B 距離 ) x B 距離 .
d(x, B) = inf{d(x, b)|b∈B} .
明 A∩B̸=∅ d(A, B) = 0 ,逆 一般 正 .
例 2.2.20. 2次元 空間R2 部分集合A, Bを次 定義 .
A={(x,0)|x∈R}
B = {(
x, 1 x
)
|x >0 }
任意 正 数x 対
d(A, B)≤d (
(x,0), (
x, 1 x
))
= 1 x d(A, B) = 0 ,A∩B=∅.
問 83. 1. r ∈ R . 任意 正 数ε 対 r ≤ε r ≤0 を 示 .
2. 上 最後 部分, , 任意 正 数x 対 d(A, B) ≤ 1x ,
d(A, B) = 0 を示 .
問* 84. (X, d)を距離空間 , Pf+(X) X 空 有限部分集合全体 集合を 表 :
Pf+(X) ={
A ⊂X A 有限集合} A, B ∈ Pf+(X) 対 ,
d(A, B) = max˜
a∈Ad(a, B) 定 . d(a, B) = inf
b∈Bd(a, b) (= min
b∈Bd(a, b)) . 1. ˜d(A, B)≥0 , ˜d(A, A) = 0.
2. ˜d(A, B) = 0⇔A ⊂B.
3. ˜d(A, B) = ˜d(B, A) 成 立 ? 4. ˜d(A, B) + ˜d(B, C)≥d(A, C˜ ).
5. dH(A, B) = max{d(A, B),˜ d(B, A)˜ } 定 dH Pf+(X) 上 距離関数 .
dH Hausdorff距離 ( 特別 場合 ).
2.3 開集合, 距離 定 位相 129
2.3 開集合 , 距離 定 位相
定義 2.3.1. (X, d)を距離空間, O⊂X を部分集合 .
O X 開集合(open set) ⇔
def 任意 x ∈O 対 , 正 数ε > 0 存 在 Uε(x)⊂O .
例 2.3.2. 開球Ur(x) 開集合, 1 次元 空間R 開区間(a, b) 開
集合.
証明. y ∈Ur(x) . d(x, y) < r ε= r−d(x, y) ε >0 . Uε(y)⊂Ur(x)を示 .
z ∈Uε(y) d(y, z)< ε
d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z)
< d(x, y) +ε
=d(x, y) +r−d(x, y) =r
z ∈Ur(x) . Uε(y)⊂Ur(x). Ur(x) 開集合.
1次元 空間R 開区間(a, b) (a+b)/2を中心 半径(b−a)/2
開球 開集合 .
定義 2.3.3. X を距離空間 . X 開集合全体 P(X) 部分集合
O ={O|O X 開集合}
を考 . Oを距離d 定 位相(topology) .
定理 2.3.4. (X, d)を距離空間, Oを距離d 定 位相 次 成 立 . O1 X,∅ ∈ O.
O2 O1, O2 ∈ O ⇒O1∩O2 ∈ O. O3 {Oλ}λ∈Λ ⊂ O ⇒ ∪
λ∈Λ
Oλ∈ O.
証明. O1 X ∈ O 明 . ∅ x ∈ ∅ 点x 存在 開集合 .
O2 x ∈ O1∩O2 , i = 1,2 , x ∈ Oi , Oi 開集合 , 正 数εi 存在 Uεi(x) ⊂ Oi . ε = min{ε1, ε2} , ε > 0
Uε(x)⊂Uεi(x) , Uε(x)⊂O1 ∩O2. O1∩O2 開集合.
O3 x ∈ ∪
λ∈ΛOλ , λ0 ∈ Λ 存在 x ∈ Oλ0. Oλ0 開集合
, 正 数ε 存在 Uε(x) ⊂ Oλ0 . Oλ0 ⊂ ∪
λ∈ΛOλ
Uε(x)⊂∪
λ∈ΛOλ
∪
λ∈ΛOλ 開集合 .
注意 . O2 帰納法 , 有限個 開集合 共通部分 開集合 分 , 無限個 一般 . (次 問題参照.)
問題集 . 85(1)
定理 2.3.5. 距離空間 , O 開集合⇔ O 開球 和集合.
証明. ⇐) 上 見 開球 開集合 定理 2.3.4 O3 和集合 開
集合.
⇒) Oを開集合 , 任意 x ∈ O 正数εx 存在 Uεx(x) ⊂O . x∈Uεx(x) 注意
O⊂ ∪
x∈O
Uεx(x)⊂O, O=∪
Uεx(x).
問題集 . 81(2)
問 85. 空間Rn 部分集合
∏n i=1
(ai, bi) = (a1, b1)× · · · ×(an, bn) ={(x1, . . . , xn)∈Rn 1≤ ∀i≤n:ai < xi < bi} 開集合 を示 . をRn 開区間 .
問 86. (X, d)を距離空間, x∈X . Er(x) ={y ∈X |d(x, y)> r} X 開集合 を示 .
一 集合上 異 距離関数 同 位相を定 . 例 2.3.6. 例 2.2.6, 2.2.10, 2.2.11 与 Rn上 距離
d(x, y) = vu ut∑n
i=1
(xi−yi)2 d1(x, y) = max
1≤i≤n|xi−yi|
2.3 開集合, 距離 定 位相 131 d2(x, y) =
∑n i=1
|xi−yi|
を考 . O, O1, O2を d, d1, d2 定 位相 O=O1 =O2 . 証明. O =O1 を示 .
任意 x, y ∈Rn d1(x, y)≤d(x, y)≤√
nd1(x, y) 注意 . 実
際任意 i
|xi−yi|=√
(xi−yi)2 ≤ vu ut∑n
i=1
(xi−yi)2 =d(x, y) d1(x, y) = max|xi−yi| ≤d(x, y). 任意 i
(xi−yi)2 ≤(max|xi−yi|)2 =d1(x, y)2
d(x, y) = vu ut∑n
i=1
(xi−yi)2 ≤ vu ut∑n
i=1
d1(x, y)2 =√
nd1(x, y).
距離d1 関 開球をUε(x)1 表 .
O ∈ O . 任意 x ∈ O 対 正数 r 存在 Ur(x) ⊂ O .
ε =r/√
n ε >0. 任意 y ∈Uε(x)1 対 d(x, y)≤√
nd1(x, y)<√
nε=√ nr/√
n=r
y ∈Ur(x). Uε(x)1 ⊂Ur(x)⊂O O∈ O1. O ⊂ O1. 逆 O ∈ O1 , 任意 x ∈ O 対 正数 ε 存在 Uε(x)1 ⊂ O
. d1(x, y) ≤ d(x, y) Uε(x) ⊂ Uε(x)1 O ∈ O . O1 ⊂ O. 以上 O =O1 示 .
O =O2 d(x, y)≤d2(x, y)≤nd(x, y) 注意 同様 示 . 問 87. 上 不等式d(x, y)≤d2(x, y)≤nd(x, y)を示 .
問 88. 集合 X 上 二 距離 関 数 d1 d2 条件＊「∃M, m > 0,∀x, y ∈ X : md1(x, y)≤d2(x, y)≤M d1(x, y)」を d1 ∼d2 書 . 距離di 関 開球をUε(x)i, 距離di 定 位相をOi 書 .
1. 関係∼ 同値関係 を示 .
2. d1 d2 条件＊を . 任意 x∈X 任意 ε >0 対 , Umε(x)2 ⊂Uε(x)1
Uε
M(x)1 ⊂Uε(x)2
を示 .
3. d1 ∼ d2 定 位相 等 , O1 = O2
を示 .
問 89. 例 2.2.15 X1× · · · ×Xn上 三 距離関数 定 位相 等
を示 .
問 90. Rn , 距離 定 位相 離散距離 定 位相 異 を示 .
2.4 位相空間 133
2.4 位相空間
前節 距離 定 位相 を導入 . 性質（Thm. 2.3.4）を 次
定義を .
定義 2.4.1. X を集合 . X 部分集合 族O ( O ⊂ P(X)) 次 三
条件 O1, O2, O3 を , O X 位相を定 , 組(X,O)を位相空間
(topological space) . 混乱 Oを省略 , 位相空間X
書 多 . , , O をX 位相(topology) .
O1 X,∅ ∈ O.
O2 O1, O2 ∈ O ⇒O1∩O2 ∈ O. O3 {Oλ}λ∈Λ ⊂ O ⇒ ∪
λ∈Λ
Oλ∈ O.
O 元をX 開集合(open set) .
注意 . 距離空間 場合 述 , O2 帰納法 , 有限個 開集合 共通部
分 開集合 , 無限個 一般 .
注意 . 以下 述 , 集合 位相を定 方法 開集合族を定 以外 . , X 位相を表 O 別 記号を用意 , 「O
定 位相T」 言 方を . 講義 場合, O
を位相 .
例 2.4.2. Thm 2.3.4 距離空間 「距離 定 位相」 位相
. 距離空間X 開集合 全体 X 位相を定 .
以下, 距離空間 X 距離 定 位相 位相空間 考 .
例 2.4.3. X を集合 . 冪集合P(X) X 位相を定 . 位相を
X 離散位相(discrete topology) .
例 2.4.4. X を集合 . O ={∅, X} X 位相を定 . 位相をX 密着位
相(trivial topology, indiscrete topology) . 例 2.4.5. X を集合 .
O={
A⊂X Ac 有限集合}
∪ {∅}
, O X 位相を定 .
証明. O1 Xc =∅ 有限集合 X ∈ O.
O2 A1, A2 ∈ O . A1, A2 空集合 場合 , A1∩A2 =∅ ∈ O.
空集合 場合, Ac1, Ac2 有限集合. (A1∩A2)c = Ac1∪Ac2 有限集合. A1∩A2 ∈ O.
O3 Aλ ∈ O . λ ∈ Λ 対 , Aλ = ∅ , ∪
λ∈Λ
Aλ =∅ ∈ O. λ0 ∈Λ 対 Aλ0 ̸=∅ 場合, Acλ
0 有限集合 .
(∪
λ∈Λ
Aλ
)c
= ∩
λ∈Λ
Acλ ⊂Acλ0 , (∪
λ∈ΛAλ
)c
有限集合.
,X =R 場合, 位相をR 位相(Zariski topology) .
（ 位相 通常 別 言 方 定義 . 代数幾何学 本を参照 .）
例 , 一 集合X 入 位相 一 限 .
定義 2.4.6. X を集合, O1,O2をX 位相 . O1 ⊂ O2 , 位相O1 位
相O2 弱 (weaker) 粗 (coarser) , , 位相O2 位相O1 強
(stronger) 細 (finer) , O1 ≤ O2 書 . 開集合 ん 方 強 細 .
位相 強弱 , 集合X 入 出来 位相全体 順序関係を与 , 密 着位相 最弱, 順序 最小 位相 , 離散位相 最強, 順序
最大 位相 .
問題集 . 124, 125, 127, 130.
問 91. X 有限集合 , Ex. 2.4.5 位相 離散位相 を示 . X 無限集
合 場合 ？
2.5 閉集合 135
2.5 閉集合
定義 2.5.1. (X,O)を位相空間, F ⊂Xを部分集合 .
F X 閉集合(closed set) ⇔
def F 補集合Fc X 開集合 .
定理 2.5.2. F ={F |F X 閉集合} 次を . F1 X,∅ ∈ F.
F2 F1, F2 ∈ F ⇒F1∪F2 ∈ F. F3 {Fλ}λ∈Λ⊂ F ⇒ ∩
λ∈Λ
Fλ ∈ F. 証明. O1, O2, O3
F1) Xc =∅ ∈ O, ∅c =X ∈ O. F2) (F1 ∪F2)c =F1c ∩F2c ∈ O. F3) (∩Fλ)c =∪(Fλc)∈ O.
注意 . F2 有限個 閉集合 和集合 閉集合 分 , 無限個 場合 一般 . (開集合 を参照.)
閉集合族を指定 位相を定 .
定理 2.5.3. X を集合 . X 部分集合 族F 定理 2.5.2 三 条件F1, F2,
F3を . , X 部分集合 族
{O⊂X Oc ∈ F}
X 位相を定 ,F 位相 関 閉集合全体 .
, 位相空間 閉集合全体 定 位相 位相 一致 . 証明. 明 .
例 2.5.4. 距離空間 1点 集合{x} 閉集合 . F2
有限部分集合 閉集合 .
証明. {x}c =X− {x} 開集合 を .
y ∈ X− {x} x ̸= y. ε = d(x, y) ε > 0 , 明 x̸∈Uε(y). Uε(y)⊂X− {x}.
例 2.5.5. X を距離空間 . Br(x)c = Er(x) 問 86 , 閉球 閉集合
. 1次元 空間R 閉区間 閉集合 .
問 92. 距離空間 球面Sr(x) 閉集合 を示 . 問 93. 空間Rn 部分集合
∏n i=1
[ai, bi] = [a1, b1]× · · · ×[an, bn] ={(x1, . . . , xn)∈Rn 1≤ ∀i≤n:ai ≤xi ≤bi} 閉集合 を示 . をRn 閉区間 .
注意 . X,∅ 開 閉集合 . 開集合 閉集合 部分集合 .
問 94. 1次元 空間R 半開区間(a, b] a < b 開集合 閉集合
.
問題集 . 83(1)(2) 84(1)(2), 132, 133, 134, 135