幾何学序論２

(1)

幾何学序論２ K.Ichihara

コンパクトの定義コンパクトの定義の同値性連続写像とコンパクト集合練習問題練習問題

幾何学序論２

第

2

章ユークリッド空間の位相，

2.6

コンパクト

市原一裕

2017

年

12

月

04

日（月）２限

(2)

コンパクトの定義（１）

定義

2.6.1（点列コンパクト）

K ⊂ R ^m

^とする．

K

内の任意の点列

{ p n } n ∈N

は

K

の点に収束する部分列を含むとき，

K

を点列コンパクト

(sequentially compact)

であるという．

定理

2.6.2 (1)

^{コンパクト集合の族}

{K λ } λ ∈ Λ

の共通部分

∩

λ∈Λ K λ

はコンパクトである．

(2)

有限個のコンパクト集合

K 1 , . . . , K n

の和

K ₁ ∪ · · · ∪ K _n

はコンパクトである．

注意：コンパクト集合

K

が

K ⊂ X ⊂ R ^m

^{をみたすとき，}

K

のコンパクト性を部分空間

X

を用いて表すこともできる．（詳細は省略）

(3)

コンパクトの定義（２）

定義

2.6.3（被覆コンパクト）

K

^を

R ^m

の部分集合とする．次が成り立つとき，

K

^は被覆コンパクト

(compact)

であるという．

∀{ O _λ } λ ∈ Λ : R ^m

^における

K

の開被覆

∃ Λ ₀ ⊂ Λ (Λ ₀ :

有限集合

) K ⊂ ∪

λ ∈ Λ

0

O _λ

注意：通常，コンパクトといえば「被覆コンパクト」を指す．

定義

2.6.4

（開被覆）

{ O _λ } λ ∈ Λ

が

R ^m

^における

K

の開被覆であるとは，次の２つの条件が満たされることである．

(1) O λ

がユークリッド空間

R ^m

^{の開集合である．}

(2) K ⊂ ∪

λ ∈ Λ O _λ .

(4)

コンパクトの定義の同値性

定理

2.6.5 K ⊂ R ^m

とするとき，次の主張は同値である．

(1) K

は被覆コンパクトである．

(2) K

は

R ^m

において有界閉集合である．

(3) K

は点列コンパクトである．

ここで，

K

が有界であるとは，

∃ R (> 0) K ⊂ N R (O; R ^m )

となることである．

(1)

と

(2)

の同値を主張する命題は

ハイネーボレル

(Heine-Borel)

の被覆定理と呼ばれる．

(5)

補題たち補題

2.6.6

1.

^{被覆コンパクト集合}

K

^は

R ^m

^{で有界閉集合である．}

2.

任意の

a > 0

に対して，

I = [ − a, a]

としたとき，任意の自然数

n

に対して，

n

次元正方形

I ⁿ = I × · · · × I

は点列コンパクトである．

3.

被覆コンパクトな集合

K ⊂ R ^m

^{の閉部分集合}

F ⊂ K

はまた被覆コンパクトである．

ボルツァノ

-

ワイエルシュトラスの定理

R ^m

内の有界な点列は収束する部分列を持つ．

補題

2.6.7 R ^m

内の収束する点列と，その収束する部分列があるとき，

その収束先は一致する．

(6)

コンパクトの定義コンパクトの定義の同値性連続写像とコンパクト集合

練習問題練習問題

連続写像とコンパクト集合

定理

2.6.7 K

がコンパクトならば，連続写像

f : K → Y

に対して，

f (K)

はコンパクトである．つまり，コンパクト集合の連続写像による像はコンパクトである．

定理

2.6.8 X

がコンパクトであるとき，全単射連続写像

f : X → Y

の逆写像

f ⁻¹ : Y → X

はまた連続である．

最大値・最小値の原理

K ⊂ R ^m

がコンパクト集合のとき，連続関数

f : K → R

^は

K

内で最大値，最小値を持つ．

(7)

練習問題

(1)

練習問題

2.6.1 { a, b } ⊂ R ⁿ

が点列コンパクトであることを示しなさい．

練習問題

2.6.2 {a, b} ⊂ R ⁿ

が被覆コンパクトであることを示しなさい．

練習問題

2.6.3 R ²

が点列コンパクトでないことを定義にしたがって示しなさい．

練習問題

2.6.4 { (x, y) | x ² + y ² < 1 } ⊂ R ²

が被覆コンパクトでないことを定義にしたがって示しなさい．

(8)

練習問題

(2)

練習問題

2.5.5

コンパクト集合

K

上の連続関数

f : K → R

^{に対して，}

f (x) > 0( ∀ x ∈ K)

ならば，

∃ k > 0 k ≤ f(x)( ∀ x ∈ K)

となることを示しなさい．

幾何学序論２