幾何学序論１

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幾何学序論１ K.Ichihara

実数とは

実数の定義実数の演算加法について乗法について逆数実数の大小関係

幾何学序論１

練習問題

市原一裕

2015年7月6日（月）2限

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実数とは

練習問題

実数の定義の準備（コーシー列）

注意 3.5.1

R. デデキントが考えた「有理数の切断」（「デデキントの切断」ともよばれる（1872））を使う方法もあるが，ここで紹介するのは，カントールによる方法（おなじく1872）．

定義 3.5.1【有理数のコーシー列（Cauchy sequence】

各項が有理数である数列{xn}が以下の条件を満たすとき，

「有理数のコーシー列」または「有理コーシー列」という：

∀ε >0,∃N ∈Ns.t. m, n > N ⇒ |xm−xn|< ε 注意 3.5.2

有理数のコーシー列は（Qの中で）収束するとは限らない．

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実数とは

練習問題

実数の定義の準備（コーシー列の同値関係）

注意 3.5.3

有理数の絶対値は，通常通り，定義する（ここでは省略）．

定理 3.5.1【有理コーシー列の同値関係】

２つの有理コーシー列{xn}と{yn}の関係{xn} ∼ {yn} を次のように定義すると，これは同値関係になる．

∀ε >0,∃N ∈N s.t. n > N ⇒ |xn−yn|< ε

注意 3.5.4

上の条件は，有理数の数列として {x_n−y_n}^が0 に収束している，とみることができる．つまり，lim

n→∞(x_n−y_n) = 0 としても良い．

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実数とは

練習問題

実数の定義

定義 3.5.2【実数の集合R】

集合A:={ {x_n} | {x_n} ^{は有理コーシー列}} ^と，3.5.1で定義した同値関係 ∼^{を用いて，実数の集合}R^を A/_∼と定義する．すなわち実数とは，同値関係∼^{による有理コー} シー列の同値類のこと．

注意 3.5.5

有理数rに対して，数列{r, r, r,· · · }^{とすると，これはコー} シー列．これを r∈Qと同一視する．これにより，Q⊂R とみなす．

注意 3.5.6

以下，有理コーシー列 {an}の表す同値類（つまり，実数）

を，[{a_n}]で表すことにする．（前の記号では，C( )と書いていたけど，見にくいので変更）

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実数とは

練習問題

実数の演算

定義 3.5.3【実数の四則演算】

2つの実数α= [{an}]とβ = [{bn}]について，

1. 和α+βを数列{c_n:=a_n+b_n}^{の定める同値類}[{c_n}] と定義する．

2. 差α−βを数列{d_n:=a_n−b_n}^{の定める同値類}[{d_n}] と定義する．

3. 積αβを数列{e_n:=a_nb_n}^{の定める同値類} [{e_n}]と定義する．

4. β ̸= 0 のとき，商 α

β ^{を次の数列}{f_n}^の同値類[{f_n}] と定義する．

f_n:=



 a_n bn

(b_n̸= 0) a_n (b_n= 0)

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実数とは

練習問題

実数の演算の正当性

定理 3.5.2【四則演算のwell-definedness】

1. 上の数列{c_n}^，{d_n}^，{e_n}^，{f_n}^{は全て有理コー} シー列になる．

2. 有理数のコーシー列{a_n}^，{a^′_n}^，{b_n}^．{b^′_n}^があり，

{a_n} ∼ {a^′_n}^かつ{b_n} ∼ {b^′_n}^{であるとする．このと} き，上のようにして得られる数列{cn}^と{c^′_n}^は同値

（つまり，{c_n} ∼ {c^′_n}^）．

{d_n}^と{d^′_n}^，{e_n}^と{e^′_n}^，{f_n}^と{f_n^′} ^{についても} 同様．

注意 3.5.7

有理数を表す数列に対する四則演算は，これまでの有理数の四則演算と一致する．

(7)

実数とは

練習問題

実数の加法について

定理 3.5.3【加法の性質】

1. 実数の加法について，結合則と交換則がなりたつ．

つまり，任意の実数α，β，γに対して，次が成り立つ．

α+ (β+γ) = (α+β) +γ , α+β=β+α

2. 0 = [{0,0,0,· · · }]は加法の単位元である．

つまり，任意の実数α に対して，0 +α=α+ 0 =α

定理 3.5.4【加法の逆元】

1. 実数 α に対して0−α を，−α と略記すると，−αは加法においてαの逆元である．つまり，

α+ (−α) = (−α) +α= 0 である．

2. 実数αとβに対して，α−β=α+ (−β)が成り立つ．

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実数とは

練習問題

実数の乗法について

定理 3.5.5【乗法の性質】

▶ 任意の実数α, β, γ∈R に対して，次が成り立つ．

1. αβ=βα 2. α(βγ) = (αβ)γ 3. α(β+γ) =αβ+αγ

▶ 実数 1 は正の実数における乗法の単位元である．

つまり，任意の α∈R ^{に対して，}α×1 = 1×α=α が成り立つ．

▶ 任意の実数α と実数 0に対して，α×0 = 0×α= 0 が成り立つ．

▶ 任意の実数αに対して，以下が成立．

1. −α= (−1)×α 2. −(−α) =α

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実数とは

練習問題

実数の逆数

定理 3.5.6【乗法の逆数】

ゼロでない実数 α の逆数 _α¹ を，割り算1÷α の結果として定義すると，_α¹ は乗法においてαの逆数である．

つまり，_α¹ ×α=α×_α¹ = 1が成り立つ．

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実数とは

練習問題

大小関係

定義 3.5.4【実数の大小関係】

2つの実数α= [{a_n}]とβ = [{b_n}]について，次のように大小関係を定義する．

▶ （復習）α=βが成り立つのは，それぞれの代表元

（有理コーシー列）{an}と{bn} が次をみたすとき：

∀ε >0,∃N ∈Ns.t. n > N ⇒ |x_n−y_n|< ε

（つまり， lim

n→∞|a_n−b_n|= 0）

▶ α̸=βかつ，ある代表元{a_n}^と {b_n}^{について，}

∀n∈Nについてan≤bnがなりたつとき，α < βと定義する．

▶ α̸=βかつ，ある代表元{an}^と {bn}^{について，}

∀n∈N^についてa_n≥b_nがなりたつとき，α > βと定義する．

(11)

実数とは

練習問題

大小関係について

定理 3.5.7【実数の大小関係の性質】

α，β，γを実数とする．

▶ 次の3つのうち一つだけがつねに成立する: α < β，α=β，α > β

▶ 推移律が成り立つ: α < β かつ β < γ ならば α < γ

▶ 次がつねに成り立つ．

1. α < βならば α+γ < β+γ

2. α < βかつγ >0ならばα×γ < β×γ

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実数とは

練習問題

実数の小数表示

定理 3.5.8【実数の十進小数表示】

任意の正の実数 x∈Rに対して，次の形の有理コーシー列 {a_n}^でx= [{a_n}]となるものが存在する．

a_n=x₀+x₁ 10 + x₂

10² +· · ·+ x_n

10ⁿ, x_i ∈Z, 0≤x_i ≤9 ただしx₀は，x=x₀またはx > x₀をみたす最大の整数．

注意

0.999· · · と1のように，唯一つだけ存在する訳ではない．

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実数とは

練習問題

練習問題 3.5.1

２つの有理コーシー列{xn}^と{yn}^の関係{xn} ∼ {yn} ^を次のように定義したとき，反射律が成り立つことを示しなさい．

∀ε >0,∃N ∈N s.t. n > N ⇒ |x_n−y_n|< ε

練習問題 3.5.2

２つの有理コーシー列{an}^と{bn}^{に対して，数列}

{dn:=an−bn}が有理コーシー列になることを示しなさい．

練習問題 3.5.3

有理コーシー列の同値類として実数を定義したとき，

0.9999· · ·= 1となることを示しなさい．