幾何学序論１

(1)

幾何学序論１ K.Ichihara

写像とは

写像の定義写像の用語写像の相等恒等写像，包含写像，制限写像

幾何学序論１練習問題

市原一裕

2015年5月18日（月）2限

(2)

写像とは

練習問題

小テスト

1. 集合族{X_λ}^λ∈Λに対し，∩

λ∈Λ

X_λの定義を書きなさい．

2. λ ∈ R^{に対して，}A_λ :=

[

−1 λ, 1

λ ]

とするとき，∪

λ∈R

A_λを求めなさい．

3. 集合族{Aλ}^λ∈Λと集合Bに対して，次を証明しなさい．

A∩ (∪

λ∈Λ

B_λ )

⊃ ∪

λ∈Λ

(A∩B_λ)

(3)

写像とは

練習問題

写像の定義

定義 2.1.1【写像（map）】

集合Xから集合Y への写像とは，Xのある要素とY のある要素との間の対応関係のこと．

注意 2.1.1

狭い意味では「ある要素からある要素を対応させるルール（法則）」のこと．一般には明確なルールはなくても良い（対応関係さえはっきりしていれば）（ディリクレの定義）

【写像の表し方】

f :X →Y で写像fをあらわす．

写像f が「Xの要素xをY の要素f(x)に写す」ことをx7→f(x)とあらわす．

(4)

写像とは

練習問題

写像の用語

定義 2.1.2【始域（source），終域（target）】

写像f :X →Y に対し，集合Xをfの始域，集合Y をfの終域という．

定義 2.1.3【定義域（domain），値域（range）】

写像f :X →Y に対して，fによる対応関係があるようなx∈Xの集合をfの定義域といい，x∈Xに対してf(x)の集合をfの値域という．

定義 2.1.4【関数（function）】

終域が数の集合（たとえば，RとかCとか）である写像を関数という．

(5)

写像とは

練習問題

写像の相等

定義 2.1.5【写像の相等】

２つの写像f :X →Y とg :X^′ →Y^′に対して，

(1)X =X^′かつY =Y^′

(2)∀x∈Xに対しf(x) =g(x)

が成り立つとき，fとgは等しいという．

例 2.1.2

f(x) =x²−1で定まる写像f :R→Rと，

g(x) = x²−1で定まる写像g :N→Rは等しくない！

なぜなら，fとgは定義域が異なるから．

関数をあらわす式だけをみないこと．

式は関数ではない．

(6)

写像とは

練習問題

恒等写像，包含写像，制限写像

定義 2.1.6【恒等写像（identity map）】

集合Xの恒等写像 id_X :X →Xとは，

∀x∈X，idX(x) = xで決まる写像のこと．

つまり，なにも動かさない写像のこと．

定義 2.1.6【包含写像（inclusion map）】

X ⊊Y（つまり，XはY の真部分集合）のとき，

包含写像 i_X :X →Y とは，

∀x∈X，iX(x) = xで決まる写像のこと．

定義 2.1.7【制限写像（restriction map）】

写像f :X →Y とXの部分集合Aに対して，

fのAへの制限写像とは，

A∋a 7→f(a)で決まる写像A→Y のこと．

f|Aであらわす．

つまり，f|A:A→Y のとき，f|A(a) =f(a)となる．

(7)

写像とは

練習問題

練習問題 2.1.1

f(x) = 2x²−1で定義される写像f :R→Rの始域，終域，定義域，値域を書きなさい．

練習問題 2.1.2

f(x) =xで定義されるf :{0,1} →Rと，g(x) =x²で定義されるg:{0,1} →Rが等しいことを証明しなさい．

練習問題 2.1.3

包含写像i_Q:Q→Rと，制限写像id|_Q:Q→Rは，写像として等しいことを証明しなさい．