幾何学序論１

(1)

幾何学序論１ K.Ichihara

単射全射

全射・単射と合成写像

全単射

全単射とは逆写像逆写像の性質

練習問題

幾何学序論１

市原一裕

2015年6月1日（月）2限

(2)

単射全射

全単射

練習問題

小テスト

1. f(x) = x²で決まる写像f :R→Rに対して，

A₁ := [−1,1]，A2 := (0,1)としたとき，

f(A₁−A₂)とf(A₁)−f(A₂)を求めなさい．

2. XとY を集合とし，f :X →Y を写像とするとき，Y の部分集合Y1とY2に対して，

f⁻¹(Y1∪Y2)⊂f⁻¹(Y1)∪f⁻¹(Y2)を証明しなさい．

3. f⁻¹ ◦f(A)̸=Aとなるような集合A⊂XとY および写像f :X →Y の具体的な例をあげなさい．

(3)

単射

全射

全単射

練習問題

単射とは

定義 2.4.1【単射（injection, monomorphism, one-to-one map）】

写像f :X→Y が単射であるとは，

∀x₁, x₂∈Xに対し，x₁ ̸=x₂ならばf(x₁)̸=f(x₂) が成り立つということ．

言い換え（１）

f が単射 ⇔

∀x₁, x₂ ∈Xに対し，「f(x₁) =f(x₂)ならばx₁ =x₂」

言い換え（２）

(4)

単射

全射

全単射

練習問題

単射かどうか調べるには

写像が単射かどうかの調べ方（１）

定義域が有限集合のときはすべての要素の行き先を調べる．

写像が単射かどうかの調べ方（２）

定義域が無限集合のときは，定義の対偶（言い換え(1)）を調べるとうまくことが多い．

注意 2.4.3

単射性を調べるときは，定義域を把握しておく必要がある．

つまり定義域によって単射になったりならなかったりする．

(5)

単射全射

全単射

練習問題

全射とは

定義 2.5.1【全射（surjection, epimorphism, onto map）】

写像f :X→Y が全射であるとは，

∀y∈Y に対し，∃x∈X s.t. y=f(x) が成り立つということ．

言い換え

f が全射 ⇔ ∀y∈Y, ♯(f⁻¹(y))≥1

(6)

単射全射

全単射

練習問題

定理 2.6.1

X，Y，Zを集合とし，f :X→Y とg:Y →Zを2つの写像とする．

1. fとgが単射⇒ g◦fは単射 2. fとgが全射⇒ g◦fは全射 3. g◦f :X →Zが単射 ⇒ fは単射 4. g◦f :X →Zが全射 ⇒ gは全射

(7)

単射全射

全単射

練習問題

全単射とは

定義 2.7.1【全単射（bijection）】

写像f :X→Y が全単射であるとは，f が単射かつ全射ということ．

言い換え

f が全単射 ⇔ ∀y∈Y, ♯(f⁻¹(y)) = 1

(8)

単射全射

全単射

練習問題

逆写像とは

定義 2.7.2【逆写像（inverse map）】

写像f :X→Y が全単射であるとき，

∀y ∈Y に対して，♯(f⁻¹(y)) = 1

が成り立つから，y=f(x)となるx∈Xが唯一つ存在．

このy7→xという対応により得られるY からXへの写像をこの写像をfの逆写像といい，f⁻¹:Y →Xであらわす．

(9)

単射全射

全単射

練習問題

逆写像の性質

定理 2.7.1

写像f :X→Y が全単射であるならば，

1. f◦f⁻¹ =idY

2. f⁻¹◦f =id_X

定理 2.7.2

2つの写像f :X→Y とg:Y →Xがあって，

f ◦g=id_Y g◦f =id_X が成り立つならば，

(10)

単射全射

全単射

練習問題

練習問題練習問題 2.7.1

f :R→R，f(x) = 2x−1が単射であることを示しなさい．

練習問題 2.7.2

f :R→R，f(x) =|x|が全射でないことを示しなさい．

練習問題 2.7.4

写像f :X →Y が単射のとき，Xの部分集合A₁とA₂に対して，f(A₁∩A₂) =f(A₁)∩f(A₂)を証明しなさい．

チャレンジ問題

次の集合X とY の間の全単射を見つけなさい．

1. X = (0,1)，Y =R 2. X =N，Y =Z 3. X = (0,1)，Y = [0,1]