博 士 （ 理 学 ） 角 田 浩
学 位 論 文 題 名
Complete affine flows with nilpotent holonomy group （ 冪 零 ホ ロ ノ ミ ー 群 を も つ 完 備 ア フ イ ン 流 ）
学 位 論 文 内 容 の 要 旨
ア フ イン 流 の よう に 葉 層 構造 とし て横断的 に幾何 構造をも つカ学 系は、様 々な幾何 構造 に対 し て 研究 が な され1横 断 的に 双 曲 構造 を も つカ 学 系 やj相 似 構造 を も つカ 学 系 は それ ぞれ あ る 条件 の も とで 分 類 も され ている， 本論文 で取り上 げる横断 的に一 般のアフ イン構 造をもつ カ学系 について は，ほ とんど何 も知ら れていな かったが ）近年）完備という条件の もと で3次元 多 様 体上 で 分 類 がな さ れ たこ と に より っ よ り一 般の次 元の多 様体上で も完備 という条件のもとで分類をすることが問題となった，
横 断 的 にG構 造 を も つ 葉 層 構 造 は っ 多 様 体 のG構 造 と 同様 に 展 開写 像 の と ホロ ノ ミ ー 準 同 型 写 像 ん に よ っ て 定 義 さ れ る ． っ ま り 、7r：M→Mをn十1次 元 多 様 体Mの 普 遍 被 覆空 間 と する と き 、M上 の ア フイ ン 流 は葉 層 構 造と し て 次を 満 た す沈 め 込 みの ： 庇 →R によ っ て 、そ の 葉 がの に よ る 一点 の 逆 像の 連 結 成分 を 被 覆写 像7rに よ っ て射 影 し た もの と定義される：
( ）準同型写像ん：7r1(M)→Aff(n)が存在し任意のェGMに対しての（イ2）＝ん（イ）D（ヱ）．
ただ し ィ は庇 へ の 基 本群 の 作 用で あ り ，Aff(n)はR の アフイ ン変換群 をあら わす．
アフイン流カミ完備であるとは、展開写像がファイノヾーノヾンドルの射影となっているときを いう．
こ の 種の カ 学 系を 分 類 す るー つの 方法に、 同じホ ロノミー 群をも つ代数的 なモデル を構 成し，そ れが与 えられた カ学系 と共役と なるこ とを示す 方法があ る．代数的なモデルとは，
Lie群Gの1径 数 部 分 群 の 作 用 に よ っ て 誘 導 さ れ るGの 一 様 格 子rに よ る 商 多 様 体r¥G 上の カ 学 系の こ と をい う ． 代 数的 なモデル に共役 なカ学系 を代数的 なカ学 系とぃい 、有限 被覆 上 に 持ち 上 げ たカ 学 系 が 代数 的である とき準 代数的と ぃう，本 論文で は、多様 体の基 ‑ 12―
本群が可解であるという条件のもとで，完備アフイン流が準代数的であるか否かを考察 し 、 冪零 ホ ロ ノミ ー 群 をも つ 完備 ア フ イン 流 は準 代 数 的で あ るこ と を 証明 し た ． 与えられたn十1次元多様体上の可解ホロノミー群をもつ完備アフイン流に対して、同 じホロノミー群をもつ代数的モデルを構成するには、まず適当なLie群を探さなければな らない，そのために】与えられた可解線形群に対し）その群を含み，同じ代数閉包をもち1 連 結 成 分 が 有 限 個 で あ る 閉 可 解 線 形 群 syndetic hull を 用 い る ． アフイン変換群Aff(n)は自然に次元が1つ上の一般線形群の部分群とみなせるので）完 備アフイン流のホロノミー群は可解ならばsyndetic hullが存在する．一般にホロノミー群 は離散群とはならないのでその作用を調ぺることは困難であるが）そのsyndetic hullがホ ロノミー群が作用する空間であるR に推移的に作用することが示されるため〕syndetic hullを 用いるこ とによルホロノミー群の作用を適切なLie群とその部分群の作用として とらえることが可能となる，特に）syndetic hullの半直積構造から，多様体にファイバー バンドルの構造が導かれ、力学系はそのファイバーに沿うかあるいは横断的になることが わかる．また，syndetic hullが単連結の場合にはその次元がれかあるいはn十1であるこ とが示されることによって，syndetic hullは代数的モデルを構成するためのLie群の候補 となる，
完備アフイン流で，必要ならば有限被覆上に持ち上げて，syndetic hullが単連結となる 冪零ホロノミー群をもっものについては，syndetic hullを用いて実際に同じホロノミー群 をもつ代数的な完備アフイン流を構成することができるのであるが、さらにこのニつの完 備アフイン流が共役となることを示すことによって，冪零ホロノミー群をもつ完備アフイ ン流は準代数的であることがわかる．
最後に，冪零ホロノミー群の代数閉包の分解を用いて，その謬への作用を調べること によって，ホロノミー群のsyndetic hullが単連結になることが示され，主定理が証明さ れる．
主定理完備アフイン流はホロノミー準同型写像が単射でホロノミー群が冪零であるなら 準代数的である．
学位論文審査の要旨
学位論文題名
Complete affine flows with nilpotent holonomy group （ 冪 零 ホ ロ ノ ミ ー 群 を も つ 完 備 ア フ イ ン 流 ）
近年，葉層構造論では実例を詳しく調べるとぃうことが重視され，様々な横断的幾何 構造をもつカ学系を研究するという分野の発展が期待されている．双曲構造や相似構造の 場合にはある条件のもとで分類が得られたが，アフイン構造の場合には，ほとんど何も 知られていないとぃう状況である．
本論文は ，横断的アフイン構造をもつカ学系について，最近3次元多様体上で完備と いう条件のもとで分類がなされたことに触発されて，一般次元の多様体上で完備とぃう 条件のもとで研究することにより，葉層構造論に対する有益な知見を得ることを目的とし て い る ． も は や3次 元 の 特殊 性 を 使え な いの で ， 新た な 方法 が 開 発さ れ て いる ． 横 断 的にG構 造 をも つ 葉 層構 造 は， 多 様 体のG構 造 と同 様 に 展開 写 像 のとホロ ノ ミ ー 準 同 型 写 像 ん に よ っ て 定 義 さ れ る ． っ ま り ， 汀 ： 庇‑Mをn十1次 元 多 様 体M の普遍被 覆空間と するとき ，M上のア フイン流は 葉層構造 として次 を満たす沈め込み D:庇 →R によ っ て， そ の 葉が の によ る 一 点の逆 像の連結 成分を被 覆写像7rによ っ て射影したものと定義される：
（ ゛） 準 同 型写 像 ん ： rri(M)→Aff(n)が存在 し任意の ェモMに対 してD（7エ ）＝
ん（イ）の（ヱ）．ただしィはMへの基本群の作用であり，Aff (n)はjサのアフイン 変換群をあらわす．
アフイン流が完備であるとは，展開写像がフんイバーバンドルの射影となっているとき をいう．
横断的な幾何構造をもつことはそのカ学系の構造に強い制限を与え，同じホ口ノミー 群をもつ代数的なモデルと共役となることが期待される．代数的なモデルとは，Lie群G の1径 数部 分 詳の 作 用 によ っ て 誘導 さ れるGの 一 様格 子Fによる商 多様体r丶G上のカ
之 雄
一 薫
敏 立
周
森 訪
屋 野
西 諏
泉 小
授 授
授 授
教 教
教 教
査 査
査 査
主 副
副 副
学系のことをいう．代数的なモデルに共役なカ学系を代数的なカ学系とぃい，有限被覆 上に持ち上げたカ学系が代数的であるとき準代数的とぃう．本論文では，多様体の基本 群が可解であるとぃう条件のもとで，完備アフイン流が準代数的であるか否かを考察し，
羃 零 ホ ロ ノ ミ ー 群 を も つ 完 備 ア フ イ ン 流 は 準 代 数 的 で あ る こ と を 証 明 し た ． 与えられ たn十1次元 多様体上の 可解ホロ ノミ一群 をもつ完備アフイン流に対して，
同じホロ ノミー群 をもつ代数的モデルを構成するには，まず適当なLie群を探さなけれ ばならない．そのためにシンデテイック．ハルと呼ばれる群の構成が応用される．これは 与えられた可解線形群に対し，その群を含み，同じ代数閉包をもち，連結成分が有限個 である閉可解線形群である・
完備アフイン流のホロノミ一群が可解ならば，そのホロ丿ミ一群にはシンデテイック・
ハルが存在することがわかる．一般にホ口ノミー群は離散群とはならないのでその作用を 調べることは困難であるが，そのシンデテイック・ハルがホロノミー群が作用する空間で あるR に 推移的に 作用するこ とが示さ れるため ，ホロノミー群の作用を適切なLie群 とその部分群の作用としてとらえることが可能となる．特に，シンデテイック・ハルの半 直積構造から，多様体にフんイバーバンドルの構造が導かれ，力学系はそのフんイバー に沿うかあるいは横断的になることがわかる．また，シンデテイック・ハルが単連結の場 合に は ，そ の 次 元がnか あ るい はn十1とな り，代数 的モデル を構成す るためのLie群 の候補となる．
完備アフイン流で，必要ならば有限被覆上に持ち上げて，シンデテイック・ハルが単 連結となる羃零ホロノミー群をもっものについては，実際に同じホロノミー群をもつ代 数的な完備アフイン流を構成することができるのであるが，さらにこのニつの完備アフイ ン流が共役となることを示すことによって，羃零ホロノミー群をもつ完備アフイン流は 準代数的であることがわかる．
最後に， 羃零ホロ ノミ一群の 代数閉包 の分解を 用いて，その研への作用を調べる ことによって，ホロノミー群のシンデテイック・ハルが単連結になることが示され，次 の主定理が証明される．
主定 理完備ア フイン流 はホロノ ミ一準同 型写像が単射でホ口ノミー群が冪零であるな ら準代数的である．
これを要するに，著者は完備アフイン流についてある条件のもとにその構造について 新 知 見を 得 た もので あり，葉層 構造論に 対して貢 献すると ころ大な るものが ある・
よって著者は，北海道大学博士（理学）の学位を授与される資格あるものと認める．
