博 士 （ 理 学 ） 増 田 貴 宏
学 位 論 文 題 名
Periods, Higgs Fields and Prepotentials in N = 2 Supersymmetric Yang‑Mills Theory
(N =2超対称ヤンミルズ理論における周期，ピッグス場とプレポテンシャル）
学 位 論 文 内 容 の 要旨
近 年4次 元 のN〓2超 対称 ヤ ンミ ル ズ理論 において 大きな発 展がなされ た。Seiberg とWittenはゲージ 群がSび(2)で物 質場が入 っていな い場合の 低エネルギ￣の有効理論 の 厳密解を、双対性と解析性に基づき楕円曲線を導入して見い出した。彼らの仕事の拡 張、っまり物質場を導入した場合や、ゲージ群をSび (2)より高階に拡張した場合の研究 がこれ以降盛んになされた。これらの研究において弱結合領域の理論の振る舞いは様々な 方 法で調べられている。例えばPicard‑Fuchs方程式を厳密に解く方法や、それが難しい 場合にはプレポテンシヤルを摂動的に求める方法などがある。またこれらの厳密解からの 結果と、直接的なインスタントン計算とを比較するチェックがなされており、ゲージ群が SU(2)で 物質場の ある場合、 あるいはそれ以上の高階なゲージ群の場合でも無矛盾な結 果が得られている。
SeibergとWittenの厳密解 の強カな点は、弱結合領域の振る舞いだけでなく、強結合 領域の振る舞いも調べられるところであり、ここからはまさに非摂動的な効果を見いだす ことができる。強結合領域の解析が進む中で、物質場を導入したルゲージ群を高階にした 場合、コンフオーマルポイントと呼ばれるくりこみ群の赤外固定点と思われる点、っまル プレポテンシヤルがダイナミカルな質量スケールに依存しなくなる点を持っという指摘が されている。この解析はコンフオーマルポイントからの摂動をかけたときのスケーリング を元に行なわれており、この点のまわりの完全な表式はまだ得られていない。これらの理 論 においてコンフオーマルポイントの周りで場がどのような関数形をしているかを調べ て 、より具 体的な理論 の振る舞 いを調べ ることは 非常に興 味深いことだと思われる。
我々は過去の論文で、このような理論において周期やヒッグス場の積分表現の評価を 行 ってきた。その過程で、ゲージ群がSび(2)で物質場の入っている場合には物質場の質 量パラメータを特別な値に固定すると、コンフオーマルポイントのまわりの場の表現が弱 結合領域からの解析接続によって得られることが分かってきた。また一方で理論のゲージ 群 がSび(2)より高階な場合については、弱結合領域のヒッグス場とその双対場の積分表 示を直接評価する方法を研究してきた。本論ではこれらの手法を組合せ、理論の真空を記 述 する全てのパラメ一夕をコンフオーマルポイントからのずれとして扱い、この点の周 りの展開として場を表現する方法を調べることにする。場の積分表示を評価する際には1 つのパラメータのずれだけを大きくし他のパラメータはコンフオーマルポイントに十分近
いとしておいて、積分を評価してからこのパラメータをコンフオーマルポイントの近くに 解析接続するという手法をとる。通常、対数的な特異性のある領域への解析接続は分岐の 取り方により結果が異なるので注意が必要である。しかし、我々がこれから扱うのは対数 的な特異性の無くなる特別な点への解析接続なので、この解析接続の正当性は本論で見る ように簡単に確かめられる。実際この手法はカラピヤウ多様体で周期を求めるときに使わ れている手法の拡張になっている。
一般にコンフオーマルポイントは非常にたくさん存在することが知られており、それ ら全てを調べることは出来ない。本論ではまず過去の我々の積分表示の評価方法を簡単に 振 り返り、 その方法を応用してゲニジ群がSU(2)で物質場が入っている場合と、物質場 の ないSび（ へr）及びS〇(2N)理論、更にゲージ群がSU(3)で物質場が2つ入っている場 合を取り扱うことにする。結果としてこれらの理論のコンフオーマルポイントのまわりで の場の表式をパラメ一夕の関数として具体的に導いた。このコンフオーマルポイントまわ りのヒッグス場の表式から、この点のまわりの理論の振舞いが直接見てとれるようにな り、この点が実際に理論のくりこみ群の赤外固定点になっていることを明らかにした。ま た ゲージ群 がSU(2)で物質場のない場合及び導入した場合それぞれのコンフオーマルポ イントが、2次元超対称共形場理論のランダウギンッブルグポイントに対応する関係があ ることも明らかにした。
− 149−
学位論文審査の要旨
主 査 教 授 石 川 健 三
副 査 教 授 河 本 昇 副査 助教授 加藤幾芳 副査 助教授 鈴木久男
学 論 文 題 名 ．
Periods, Higgs Fields and Prepotentials in N = 2 Supersymmetric Yang‑Mills Theory
(N =2超対 称ヤ ンミ ルズ 理 論に おけ る周 期， ビッ グス 場と プレポテンシャル）
本 論 文
（2N） ケ゛
析 さ れ な さ れ が 消 え 明 き ら た 。 こ 形 不 変 質 を 明 り と 求 に え ら た 。
― 150―
：ルス゛
や様
、よ た。
きら
、 超 幾 何 級 数 を 用 る 理 論 で 、 弱 結 合 N=2超対称ケ゛―シ 理 に 共 形 不 変 な 臨 界
゛理論の低エネルキ゛
電気と磁気との
、厳密解を構成 の性質ぱかりで かってしまうこ
ーで の有効 双 対 性 と して いる。
な く 、 通 とに なる。
て す な 特
。 い対 的、 た つ に 股 果 つ に 群 一 結 な 論 な て の に 理 々 っ そ か れ
論 め れ 明 称 理 求 さ て 対 た を な め 超 し 解 て 初 る 合 密 し が あ 結 厳 と 質 にが
｀的 性 況 場 け 目 の 現 質 つ を 論 な 物 び と 理 う
、 結 こ の よ い を る で の行 域す 点 こ を 領 明 界
、 続 合 解 臨 は 接 結 を と 文 析 強 質 在 論 解 と 性 存 本て 域の の い領 論点
M
、 れ 論 わ パて ら理 が Hえ めの で 弛加 求で ま 馴に い域 質 い性 使領 性 な称 を合 の た対 論結 で 持超 理弱 域 をつ 線、 領 場持 曲ら 合 質の 円か 結 物論 楕け 強 は理 きけ る でが づマ ぁ 論ル 基叫 で 理け にr 難 竹 マ と る 困 n舛 性す が
・r 析成 明 ヅ す 解 構 解
．‐ 示な をて 仙を 的解 め r論 局密 極
…… 鯲《
『
『… Nオ kオ る 調W 剛『 黼『 す が恥
『…
【』
。
。m 糺… 噛《 恥
『… 場り 何曲 髑
〕 磯
［ 純
《 眦
【 鰤
［ ぬ
、 叭
、 に 思 の 恥 対 共 パ を 論 弼 れ 特 と そ 哂 に で が 値 w』
…、 亂』 織『
： お軸
《…
……
『』
『粕 峨［ 蝋え 觚《
、 ミゎ
《の
、 hこ 拡 でき
……
……
…：
…
：…
…… 結り し明 赤 ら領 求こ それ が凵 対解 の さ合 づ。 にこ 醐
』 弧
》 碯 ふ 鯆
《 幟
』 弧 物 飢 れ 性 込 れ
、 点 に
、 さ 廴 m こ
［ 紬
【恥
《 い
『 k F
‑ザ k恥
・、 かれ なき めれ
理大 厳常 跚解 が分 がれ 共性 ち的 れ
こ の よ う に し て 、 こ れ ら のN=2超 対 称 理 論 で 共 形 不 変 な 臨 界 点 上 及 び そ の 近 傍 で の 理 論 の 性 質 が 初 め て あ き ら か に さ れ た 。 こ れ ら の 結 果 の 物 理 へ の 応 用 は 興 味 深 い も の で あ る 。
こ れ を要 す るに 、 著 者は 、一 般化されたN=2超対称ケ ゛ーシ´ 理論の厳 密解、特 に共 形 不 変 な 臨 界 点 に っ い て 興 味 深 い 新 し い 知 見 を 得 た も の で あ り 、 場 の 理 論 の 理 解 に対 し 貢 献す る とこ ろ 大 ナょ る もの で あ る。
よ っ て 著 者 は 、 北 海 道 大 学 博 士 （ 理 学 ） の 学 位 を 授 与 さ れ る 資 格 あ る も の と 認 め る 。
―151 ‑−
