基礎講座(工学院2017年度) 福川賢治のホームページ

1 ^三角関数

ここでは、ベクトルの考え方を知っていることを仮定して、三角関数の加法定理を導く ことにしよう。三角関数のうちcos (cosine, 余弦) と sin (sine、正弦) は、一般的に、図 1 のように原点を中心とする半径 1 の円上で、点 (1, 0) から 反時計回りに角度 θ だけ移動 した点のデカルト座標 (直交座標) 系での座標を (cos θ, sin θ) とすることにより定義され る。なお、半径1 の円を単位円 (unit circle) と呼ぶ。また、tan (tangent, 正接) は sin と cos を用い、

tan θ = ^{sin θ}

cos θ ^(1.1)

で定義される。単位円上の点(x, y) と原点との距離は 1 であるので、円の方程式は x²+y² = 1 と表される (原点、点 (x, y)、点 (x, 0) の 3 点を頂点とする直角三角形に三平方の定理 (ピタゴラスの定理) を用いる)。従って、点 (cos θ, sin θ) は円 x²+ y² = 1 の点なので、

cos²θ + sin²θ = 1 (1.2) が成り立ち、さらに 両辺を _cos²θ で割ることにより、

1 + tan²θ = ¹

cos²θ ^(1.3)

が成り立つことが分かる。

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図 1: 単位円と三角関数の定義

次に三角関数を計算する際に基礎になる加法定理を考える。三角関数は点 _{(1,0) を、原} 点を中心とし、1 回角度 θ だけ回転させたときの座標で定義されたが、加法定理は 2 回 回転させたときの座標を表すものである。図1 を見てみよう。点 (1,0) を原点を中心に反 時計回りに角度 α 回転させ、続けて反時計回りに β 回転させたときの座標は定義から、 (cos(α + β), sin(α + β)) と表される。原点から点 (cos(α + β), sin(α + β)) へのベクトルを

⃗r = (cos(α + β), sin(α + β)) (1.4)

としておこう。さて、cos(α + β), sin(α + β) は sin α, cos β 等でどのように表されるべき か? というのが加法定理である。

ここで、x 軸と y 軸が、ベクトル ⃗e1 = (cos α, sin α), ⃗e2 = (− sin α, cos α) の方向にそれ ぞれ傾いたとしてしまおう。_{⃗r は ⃗e1} から反時計回りに角度 β だけ回っているので、三角 関数の定義から⃗r = (cos β) ⃗e₁+ (sin β) ⃗e₂ ^{と書ける。}e⃗₁, ⃗e₂ の成分を代入し整理すると、

⃗r = (cos α cos β − sin α sin β, sin α cos β + cos α sin β) ^(1.5) となる。Eq. (1.4) と Eq. (1.5) により、同じベクトルが 2 つの方法で表された。このとき ベクトルの全ての成分が互いに等しい必要があるので、

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (1.6) が成り立つ必要がある。これが三角関数の加法定理である。

K

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図 2: 三角関数の加法定理

実際には三角関数の公式はオイラーの公式を用いるのが極めて便利である。オイラーの 公式を理解するには微積分の公式を理解すると便利なので、次に微分・積分の公式を扱っ た後に取り扱うことにする。

2 ^微分

関数 f (t) を t で微分するとは、以下で定義される導関数 f^′(t) を求めることである。 f^′(t) = lim

∆t→0

f (t + ∆t) − f(t)

∆t ^{. (2.1)}

また、以下の定義も等価である。

f (t + ∆t) = f (t) + f^′(t)∆t + O((∆t))^{2 . (2.2)}

ここで、O はエトムント・ランダウによって導入された、Landau の記号と呼ばれる記号 である。O(A(t)) は t がある極限値をとった時、何か複雑な多項式が実際に後に続くとし ても、高々A(t) の定数倍になるという記号である。例えば、O(A(t)) (t → 0) を式で表現 すると、

limt→0

O(A(t))

A(t) = c (c はある有限の定数) (2.3) である。また、導関数_f

′(t) は ^{df (t)}

dt と書かれることも多い。前者がJoseph-Louis Lagrange, 後者が Gottfried Wilhelm Leipnitz による記号である。以下では特に、何で微分するかに 混乱が生じない時は _f

′(t) と書くことにする。

べき乗の微分については、以下の公式が成り立つ。

(tⁿ)^′ = ntⁿ⁻¹ . (2.4) n が自然数の時は、

(tⁿ)^′ = lim

∆t→0

(t + ∆t)ⁿ_{− t}ⁿ

∆t

= lim

∆t→0

tⁿ+ ntⁿ⁻¹· ∆t + O(∆t²) − tⁿ

∆t

= lim

∆t→0

ntⁿ⁻¹· ∆t + O(∆t²⁾

∆t

= lim

∆t→0^nt

n−1+ O(∆t)

= ntⁿ⁻¹ (2.5)

とすれば簡単に証明できる。この公式は実はn が実数の時にも成り立つ。合成関数の微 分の後の例 1. に、有理数乗に対する証明を記す。

三角関数については以下の式が成立する。

(sin t)^′ = cos t, (cos t)^′ _{= − sin t} (2.6) である。sin t の微分の式は、

(sin t)^′ = lim

∆t→0

sin (t + ∆t) − sin t

∆t

= lim

∆t→0

sin t cos ∆t + cos t sin ∆t − sin t

∆t

= cos t (2.7)

とすれば証明できることがわかる。但し、2 番目の等号を得る際には、加法定理 Eq. (1.6) を使い、3 番目の等号を得る際には、∆t → 0 の時、

∆t→0lim cos ∆t = 1, lim

∆t→0sin ∆t = ∆t (2.8) であることを用いた。同様にして、_{cos t の微分は}

(cos t)^′ = lim

∆t→0

cos (t + ∆t) − cos t

∆t

= lim

∆t→0

cos t cos ∆t − sin t sin ∆t − cos t

∆t

= − sin t ^(2.9)

とすれば証明できる。

指数関数については、まず自然対数の底e (ネイピア数) を定義する必要がある。e の定 義としてはヤコブ・ベルヌーイによる

e ≡ lim_t→∞ (

1 + ¹ t

)t

(2.10)

が高等学校の教科書でよく見られる定義であるが、ここでは、これと等価なオイラーに よる

∆t→0lim

e^∆t_{− 1}

∆t ^{= 1 (2.11)}

の定義を採用する。e は e = 2.7182818284590452353602874 · · · という無理数であり、更 に無理数の中でも超越数に分類される数である。_e^t の t による微分は、上の定義を採用 すると、

(e^t)^′ = lim

∆t→0

e^t+∆t_{− e}^t

∆t ^{= e}

t lim

∆t→0

e^∆t_{− 1}

∆t ^{= e}

t (2.12)

となり微分をしても同じ関数になる。

次に関数同士を更に足したり引いたりして演算させた時、微分はどのようになるか考え てみよう。a, b は時間によらない定数、f (t), g(t) を時間の関数とすると、関数の線型結合 に対して以下の公式が成り立つ。

(af (t) + bg(t))^′ = af^′(t) + bg^′(t) . (2.13) この公式は、Eq. (2.2) を用いて、

af (t + ∆t) + bg(t + ∆t) = a(f (t) + f^′(t)∆t + O((∆t)²)) + b(g(t) + g^′(t)∆t + O((∆t)²⁾⁾

= (af (t) + bg(t)) + (af^′(t) + bg^′(t))∆t + O((∆t)^{2) (2.14)} であることから理解できる。

関数の積の微分については

(f (t)g(t))^′ = f (t)g^′(t) + f^′(t)g(t) . (2.15) が成り立つ。これは

f (t + ∆t)g(t + ∆t) = (f (t) + f^′(t)∆t + O((∆t)²))(g(t) + g^′(t)∆t + O((∆t)²))

= f (t)g(t) + (f (t)g^′(t) + f^′(t)g(t))∆t + O((∆t)^{2) (2.16)}

であることから理解できる。

(問題 1) Eq. (2.5) では直接式を展開することにより、n が自然数の時 Eq. (2.4) が成り 立つことを明らかにした。数学的帰納法と Eq. (2.15) を用いることにより、n が自然数 の時Eq. (2.4) が成り立つことを示せ。

関数の商の微分については、以下の公式が成り立つ。 ( f (t)

g(t) )^′

= ^f

′(t)g(t) − g^{′(t)f (t)}

(g(t))^{2 . (2.17)}

この式を示すには、

1

1 + ∆x = 1 − ∆x + O((∆x)^{2) (2.18)} を用いる。この式自体は、

1

1 + ∆x = 1 − ∆x + (∆x)²− (∆x)^{3+ (∆x)4}− · · · =

∞

∑

n=0

(−∆x)^{n (2.19)}

となる ∆x についての多項式展開を ∆x の 1 次で終了したものである。すると、 f (t + ∆t)

g(t + ∆t) ⁼

f (t) + f^′(t)∆t + O((∆t)²⁾ g(t) + g^′(t)∆t + O((∆t)^{2) =}

f (t) + f^′(t)∆t + O((∆t)²⁾ g(t)

( 1 + ^g

′(t)

g(t)∆t + O((∆t)²⁾ )

= ¹

g(t)^{(f(t) + f}

′(t)∆t + O((∆t)²⁾⁾ (

1 −^g

′(t)

g(t)∆t + O((∆t)²⁾ )

= ¹ g(t)

(

f (t) + f^′(t)∆t − f(t)^g

′(t)

g(t)∆t + O((∆t)²⁾ )

= ^{f (t)} g(t) ⁺

f^′(t)g(t) − g^{′(t)f (t)}

(g(t))² ∆t + O((∆t)^{2) (2.20)} となる。但し、3 番目の等号を得る際、Eq. (2.18) を用いた。

(問題 2) 関数の商の微分 Eq. (2.17) を用いて、 (tan t)^′ = ¹

cos²t ^を示せ。

さらに、u = u(x), x = x(t) の時、これらを 2 回続けて得られる関数 u(x(t)) を関数 u と x の合成関数 (composition function) と呼ぶ。この時、t の微小な変化 ∆t に対して、

∆t → 0 の時 ∆x = x(t + ∆t) − x(t) → 0 とすると、合成関数 u = u(x(t)) の t について の微分を考えることができ、公式

d(u(x(t))) dt ⁼

du(x) dx

dx(t)

dt ^(2.21)

が成り立つ。 ここで、

∆x = ^dx

dt∆t + O((∆t)^{2) (2.22)} でありまた、

u(x + ∆x) = u(x) + ^du

dx∆x + O((∆x)^{2) (2.23)} も微分の定義から、成立する。Eq. (2.22) を Eq. (2.23) に代入すると、

u(x + ∆x) = u(x) +^du dx

dx

dt∆t + O((∆t)²⁾

となる。すなわち、

u(x(t + ∆t)) = u(x(t)) +^du dx

dx

dt∆t + O((∆t)^{2) (2.24)} であるので、Eq. (2.21) が成り立つ。

例１_{. 有理数乗の微分}

x = t^{mn は分数乗の定義から} xⁿ = t^{m である。両辺を} t で微分すると、Eq. (2.4) から、 nxⁿ⁻¹x^′ = mt^m−1

である。_{x に x = t}

m

n を代入して整理すると、 x^′ = ^m

n^t

m

n⁻¹ _(2.25)

を示すことができる。

また、t が x の関数としても書けるとき (それぞれの x の値に対し t が唯一つに決まると き) 、x = x(t) に対し、t = x⁻¹(x) と書ける (前の x⁻¹ は関数の記号であり、後ろの_{x は引} 数であることに注意。_{) この時、 x}

−₁

はx の逆関数であるという。この時、x = x(x⁻¹(x)) であるので、合成関数の微分を使って両辺をx で微分すると、1 = ^dx

dt

d(x⁻¹)

dx ^である。 従って、逆関数 _x

−₁

の _{x についての微分は} d(x⁻¹)

dx ⁼ 1 dx

dt

(2.26)

となる。

例2 .  対数関数の微分

x = e^{t の時、対数関数} log は t = log x で定義される。前段の議論を踏襲して、t = log x (自然対数 (natural logarithm) の略で ln とも書かれる) を t で微分すると、

1 = ^{d(log x)} dx

dx dt である。指数関数の性質 Eq. (2.12) から ^dx

dt = x であったから、 d(log x)

dx ⁼ 1

x ^(2.27)

である。

また、関数を続けて複数回微分することも可能である。関数 f (t) を続けて n 回 t で微 分することを、t による f (t) の n 階微分と呼び、その結果を n 階導関数と呼ぶ。n 階導 関数は_f⁽ⁿ⁾_{(t) や}

dⁿf

dtⁿ(t) と表記する。但し、Lagrange の記法では、2 階及び 3 階導関数 を _f

′′(t) や f^′′′(t) と書くことも多い。

2.1 ^{ベクトルの微分}

一次元でない一般の運動では位置は位置ベクトルで表される。速度ベクトルはベクトル のスカラー倍の演算を用いて、一次元の場合について

v _{= lim}

∆t→0

∆r

∆t ^(2.28)

と書ける。この式を

v _≡ ^dr

dt ^(2.29)

と定義する。ここで直交座標系を考え、_{∆r = (∆x)ex+(∆y)ey+(∆z)ez} とする。e_{x, ey, ez} は それぞれx, y, z 軸の正方向の単位ベクトル (長さ 1 のベクトルを単位ベクトルと呼ぶ) で、成分表示すると、

e_x = (1, 0, 0), ^ey = (0, 1, 0), ^ez = (0, 0, 1) (2.30) である。すると、

v _{= lim}

∆t→0

∆r

∆t

= lim

∆t→0

1

∆t^{((∆x)ex+ (∆y)ey + (∆z)ez)}

= lim

∆t→0

( ∆x

∆t^ex+

∆y

∆t^ey+

∆z

∆t^ez )

∴ v ₌ ^dx dt^ex+

dy dt^ey+

dz

dt^{ez (2.31)}

となる。ここで dex

dt ⁼ dey

dt ⁼ dez

dt = 0 を用いた。この式は デカルト座標系においては、

「ベクトルの微分を計算するには、それぞれの成分の微分を計算すればよい」ということ を示している。加速度ベクトルは、

a ₌ ^dv dt ⁼

d^2x

dt^{2 (2.32)}

であり、

a_{= lim}

∆t→0

∆v

∆t ^(2.33)

である。Eq. (2.31) を導いた時と全く同様に a₌ ^dvx

dt ^ex+ dvy

dt ^ey+ dvz

dt ^{ez =} d²x dt^2ex+

d²y dt^2ey+

d²z

dt^{2ez (2.34)} が成り立つ。

また、この subsection 中のここまでの議論とスカラー関数についての微分の公式から、 α, β を時間によらない定数として、

d

dt(αA(t) + βB(t)) = α^dA(t) dt ^{+ β}

dB(t)

dt ^{, (2.35)}

d

dt(f (t)A(t)) = ^{df (t)}

dt ^A(t) + f (t)^dA(t)

dt ^{, (2.36)}

d

dt(A(t) · B(t)) = A(t) · ^dB(t)_dt ^+dA(t)_dt · B(t) , ^(2.37)

d

dt(A(t) × B(t)) = A(t) ×^dB(t) dt ⁺

dA(t)

dt ^{× B(t) (2.38)} が直ちに従う。

3 ^{積分の公式}

べき乗の関数の積分については、Eq. (2.4) より、以下の公式が成り立つ。

∫

tⁿ dt = ¹ n + 1^t

n+1_{+ C} (n ̸= −1, C は積分定数) ^(3.1)

また、対数関数の微分から

∫

t⁻¹ dt = log |t| + C (C は積分定数) ^(3.2)

また、三角関数、指数関数、対数関数の積分は次のようになる。

∫

cos(ωt) dt = ¹

ω sin(ωt) + C ,  

∫

sin(ωt) dt = −_ω¹ cos(ωt) + C ,

∫

e^ωt dt = ¹ ω^e

ωt+ C ,

∫

log t dt = t log t − t + C (それぞれ C は積分定数) (3.3) それぞれ、右辺を微分すると、左辺になることを確かめてほしい。

ここで、F (t), G(t) をそれぞれ f (t), g(t) の原始関数とすると、原始関数の定義から F^′(t) = f (t), G^′(t) = g(t) が成り立つ。関数同士を足したり引いたりした時の積分を考え ると、

∫

(af (t) + bg(t)) dt = (aF (t) + bG(t)) + C (C は積分定数) (3.4) が成り立つ。これは、Eq. (2.13) より、

(aF (t) + bG(t))^′ = aF^′(t) + bG^′(t) = af (t) + bg(t) が成り立つので、不定積分の定義から Eq. (3.4) が成り立つためである。

次に、関数の積の微分の公式の逆のバージョンとして、

∫

f (t)g^′(t) dt = f (t)g(t) −

∫

f^′(t)g(t) dt . (3.5)

が成立する。すなわち、Eq. (2.15) の両辺を積分すると、 f (t)g(t) =

∫

f (t)g^′(t) dt +

∫

f^′(t)g(t) dt

従って、これを整理すると Eq. (3.5) が成り立つ。この積分の方法を部分積分 (法) (inte- gration by parts) と呼ぶ。

更に、合成関数の微分の公式の逆のバージョンとして、

∫

u(x) dx =

∫

u(x(t))^dx(t)

dt ^{dt . (3.6)}

が成り立つ。u(x) の原始関数を U (x) とすると、U (x) = U (x(t)) であるから、この関数 を t で微分できる。Eq. (2.21) から、

d

dtU (x(t)) = u(x(t))^dx(t) dt なので、これを積分すると

U (x) + C =

∫

u(x(t))^dx(t)

dt dt (C は積分定数)

である。ここで、原始関数の定義からU (x) + C =∫ u(x) dx ^{となるので、}Eq. (3.6) が成 り立つ。この積分の方法を置換積分法 (integration by substitution) と呼ぶ。

4 ^複素数

実数の範囲では、_x² ≥ 0 であるので、方程式 x² = −1 の解は存在しない。この方程 式が解を持つように、この方程式の解の一つを _{i ≡}

√−1 とする。この記号を虚数単位 (imaginary unit) と呼ぶ。また、z = a + ib (a, b は実数) の形の数を導入する。この形の z を複素数 (complex number) と呼ぶ。更に b ̸= 0 の場合 z を虚数 (imginary number)、 更にa = 0 の場合 z を純虚数 (purely imaginary number) と呼ぶ。a は実部 (real part)、 b は虚部 (imaginary part) と呼ばれる。それぞれ ℜz, ℑz と書かれる。c, d を実数として 2 つの複素数 a + ib と c + id が等しいということを、

a + ib = c + id ⇐⇒ a = c かつ b = d ^(4.1)  で定義する。更に、複素数の和と積はそれぞれ

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d), (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc) (4.2) と定義される。掛け算の場合は通常の展開を行い、_i² = −1 として計算を進めると良い。 複素数の差と商はそれぞれ和と積の逆演算として定義され、

(a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d), ^{a + ib}_{c + id} ⁼ _{c2 + d}¹ ₂((ac + bd) + i(bc − ad) (4.3)

となる。

(問題 3) (x + iy)(c + id) = a + ib を x, y の連立方程式として解くことにより、複素数の 商の式 (Eq. (4.3) の第 2 式) が成り立つことを示せ。

(問題 4) α, β を複素数とする時、αβ=0 であれば、α = 0 または β = 0 が成り立つこと を示せ。

複素数z = a + ib の共役複素数を z の共役複素数 (complex conjugate) ¯z を虚部の符号 を変えた、

z ≡ a − ib¯ ^(4.4)

で定義する。共役複素数の共役複素数は元の数に戻るので、

¯¯z = z (4.5)

またz が実数であるということは、b = 0 であるので、

z = ¯z (4.6)

であるということである。また、自身の共役複素数との足し算、または掛け算は z + ¯z = (a + ib) + (a − ib) = 2a,

z ¯z = (a + ib)(a − ib) = a² − iab + iab + i(−i)b^{2 = a2+ b2 (4.7)} となり、これらは実数になる。複素数の商の式 (Eq. (4.3) の第 2 式) を計算する際には、 Eq. (4.7) の第 2 式を用い、

a + ib c + id ⁼

(a + ib)(c − id) (c + id)(c − id) ⁼

1

c²+ d²((ac + bd) + i(bc − ad) ^(4.8) と分母を実数化して計算するのが普通である (中学校で習う分母の有理化を思い出そう)。 更にα, β を複素数とし、それぞれの共役な複素数を ¯α, ¯β とすると、

α + β = ¯α + ¯β, _{α − β = ¯α − ¯}β, αβ = ¯α ¯β, ^{( α} β

)

= ^α¯_¯

β ^(4.9)

が成り立つ。

(問題 5) α = a + ib, β = c + id (a∼d は実数) として、Eq. (4.9) を確かめよ。

ここで、複素数を導入した最初に戻り、_x² = −1, すなわち x²+ 1 = 0 を解くことを考 えよう。

x²+ 1 = x²− (−1) = (x²− i²) = (x + i)(x − i) ^(4.10) なので、_x²+ 1 = 0 の解は、(問題 4) より x = i, −i であることが分かる。同様に x² = −a の解は、_{x =}

√ai, −^{√ai である。}

5 ^{オイラーの公式}

次に、微分方程式を解く際に非常に強力な武器となる公式

e^iθ = cos θ + i sin θ (Euler の公式) (5.1)

を説明する。

この公式を証明するには、マクローリン展開を用いる。マクローリン展開とは、以下の ようなものである。関数 f (z) が z について無限回微分可能 (実は変数が複素数の場合、 関数が一回微分可能ならば無限回微分可能である) とすると、f (z) は多項式の和で表さ れて、

f (z) = f (0) + f^′(0)z + ¹ 2!^f

′′(0)z² _{+ · · · +} ¹ n!^f

(n)_(0)zn

+ · · · ^(5.2) となる。ここで、複素指数関数と引数が複素数の三角関数をマクローリン展開した形で定 義する。

e^z _{≡ 1 + z +} ¹ 2!^z

2₊ ¹

3!^z

3₊ ¹

4!^z

4+ · · · cos z ≡ 1 − _2!^1z2+_4!^1z4+ · · ·

sin z ≡ z − _3!^1z3+ _5!^1z5− · · ·

(5.3) ここで、z = iθ と置いて、e^{iθ を実際に計算すると、}

e^iθ = 1 + iθ + ¹ 2!^(iθ)

2_{+ +}¹

3!^(iθ)

3₊ ¹

4!^(iθ)

4

= (

1 − ¹ 2!^θ

2₊ ¹

4!^θ

4+ · · · )

+ i (

θ − ¹ 3!^θ

3+ · · · )

= cos θ + i sin θ

となるので、Eq. (5.1) が成り立つことが示された。 [別証] 合成関数の微分から導かれる指数関数の微分

d(e^αt) dt ^{= e}

αt^d(αt)

dt ^{= αe}

αt (5.4)

を α = i の時にも成り立つとして、すなわち d(e^iθ)

dθ ^{= ie}

iθ (5.5)

が成り立つとして導いてみる。

まず f (θ) = (cos θ − i sin θ)e^iθ とする。すると、積の微分公式と三角関数の微分と、 Eq. (5.5) を用いて

f^′(θ) = (− sin θ − i cos θ)e^iθ+ (cos θ − i sin θ)ie^iθ

= −(sin θ + i cos θ)e^iθ+ (sin θ + i cos θ)e^iθ

= 0 (5.6)

これはf (θ) が定数関数であることを表している。従って、f (0) = (1 − i0) · 1 = 1 である から、

f (θ) = (cos θ − i sin θ)e^{iθ = 1}

この両辺に(cos θ + i sin θ) を掛けて、Eq. (1.3) を用いると、Eq. (5.1) を導くことができ る _{(別証終わり)。}

Euler の公式で、θ を −θ にすると、

e^−iθ = cos θ − i sin θ ^(5.7) となる。_{θ が実数の時、e}^iθ と _e

−_iθ

は互いに共役複素数である。従って、これと _{Euler の} 公式から三角関数が、

cos θ = ^e

iθ_{+ e}⁻iθ

2 ^{, sin θ =}

e^iθ _{− e}^−iθ

2i ^(5.8)

と表され、複素指数関数と関係付けられる。

また、これらの公式と指数法則 _e^z1+z2 _{= e}^z1_e^z2_{, (e}^z1₎ⁿ _{= e}^nz1 を用いると、三角関数に 関する様々な定理はその殆どを導くことができる。

例 _{3. 加法定理}

e^iα+iβ = cos (α + β) + i sin (α + β) (5.9)

である。一方、_e^iα+iβ _{= e}^iα_e^iβ から

e^iα+iβ = e^iαe^iβ = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β)

= (cos α cos β − sin α sin β) + i(sin α cos β + cos α sin β) (5.10) Eq. (5.9) と Eq. (5.10) は同じものを計算したものなので、等しい複素数を表している。 従って Eq. (1.6) が成り立つことが分かる。

例_{4. 倍角の公式}

e^2iθ = cos 2θ + i sin 2θ 一方、

e^2iθ = (e^iθ)² = (cos θ + i sin θ)(cos θ + i sin θ)

= (cos²_{θ − sin}²θ) + 2i cos θ sin θ である。従って、_{2 倍角の公式}

cos 2θ = cos²_{θ − sin}²θ, sin 2θ = 2 cos θ sin θ (5.11) が成り立つ。同様に、

e^3θ = cos 3θ + i sin 3θ であり、

e^3iθ = (e^iθ)³ = (cos θ + i sin θ)³

= (cos³θ − 3 cos θ sin²θ) + i(3 cos²θ sin θ − sin^3θ)

= (4 cos³θ − 3 cos θ) + i(3 sin θ − 4 sin^3θ)

なので、_{3 倍角の公式}

cos 3θ = 4 cos³θ − 3 cos θ, sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin^{3θ (5.12)} が成り立つ。

例_{5. 半角の公式}

Eq. (5.8) から計算する。

sin^{2( θ} 2

)

=

[e^iθ2 _{− e}^iθ2 2i

]2

= ^{−2 + e}

i^θ _{+ e}⁻iθ

−4 ⁼

1 − cos θ 2 cos^{2( θ}

2 )

についても同様に計算すると、 sin^{2( θ}

2 )

= ^{1 − cos θ}

2 ^{, cos}

2^{( θ}

2 )

= ^{1 + cos θ}

2 ^(5.13)

が成り立つことが分かる。 例_{6. 積和の公式}

e^iαcos β = cos α cos β + i sin α cos β である。一方、Eq. (5.8) から、

e^iαcos β = e^iαe

iβ _{+ e}⁻iβ

2 ⁼

e^i(α+β)+ e^i(α−β) 2

= ¹

2[cos (α + β) + cos (α − β)] + ¹

2i[sin (α + β) + sin (α − β)] である。従って、

cos α cos β = ¹

2[cos (α + β) + cos (α − β)] ^(5.14) sin α cos β = ¹

2[sin (α + β) + sin (α − β)] ^(5.15) が成り立つ。同様に

cos α sin β = ¹

2[sin (α + β) − sin (α − β)] ^(5.16) sin α sin β = −¹₂[cos (α + β) − cos (α − β)] ^(5.17) が成り立つ。

例_{7. 和積の公式}

この公式の証明はややテクニカルである。

e^iα+ e^iβ = cos α + cos β + i(sin α + sin β)

である。一方、

e^iα + e^iβ = e^iα+β2 (e^iα−β2 + e^−iα−β2 ) = 2 (

cos^{α + β}

2 ^{+ i sin} α + β

2 )

cos^{α − β} 2 とも変形できる。2 番目の等号を得るために Eq. (5.8) を用いた。従って、

cos α + cos β = 2 cos^{α + β} 2 ^cos

α − β 2 sin α + sin β = 2 sin^{α + β}

2 ^cos α − β

2 ^(5.18)

が得られる。

(問題 6) 上の例と同様に計算を行い、

cos α − cos β = −2 sin^{α + β}₂ ^{sinα − β}₂

sin α − sin β = 2 cos^{α + β}₂ ^{sinα − β}₂ ^(5.19)

が成り立つことを示せ_{(Hint: e}^iα_{− e}^iβ を変形する_)。

6 ^{単振動型の微分方程式}

以下では単振動の運動方程式

mx^′′(t) = −kx(t) ^(6.1) を解くことを考える。ここで、k はばね定数である。この運動では、この微分方程式は全 ての時刻t で成り立っている必要がある (実際の運動では、空気抵抗があるので減衰が起 こり、別の運動方程式となる)。微分方程式 Eq. (6.1) を見ると

x^′′_{(t) ∝ x(t)} (6.2)

であることが分かる。∝ は比例している (be proportional to) という意味の数学記号で ある。

指数関数にはその微分 Eq. (2.12) が元に戻るという重要な性質がある。逆に、微分を して元に戻る関数は指数関数に関係した関数である。従って、Eq. (6.2) が成立するため に、解は

x(t) = e^λt (6.3)

という形であると考えられる(他に x(t) = 0 [常に止まっている] という自明な解 (trivial solution) もあるが、ここでは運動する解を考えるので、x(t) ̸= 0 の解を考えよう)。Eq. (6.3) を Eq. (6.1) に代入して、λ を決定する。すると、

x^′′(t) = λ²e^λt= λ²x(t)

であるので、

(mλ²+ k)x(t) = 0 (6.4) が成り立つ。x(t) ̸= 0 の解を考えるので、この式は x(t) で割ることができ、

mλ²+ k = 0 (6.5)

という式を導くことができる。この Eq. (6.5) を微分方程式 Eq. (6.1) の特性方程式と呼 ぶ。m, k がともに正であることに注意すると、λ² _{= −}^k

m ^{は負の数であるので、λ は純虚} 数を用いて表され、

λ = iω, −iω ^(6.6)

となる。但し、

ω =^{√ k}

m ^(6.7)

とした。もともと解をEq. (6.3) のようにおいていたので、Eq. (6.1) には二つの解 x1(t) = e^iωt, x2(t) = e^−iωt (6.8) があることが分かる。

また、Eq. (2.14) から、Eq. (6.8) の解に対して、

m(a1x1(t) + a2x2(t))^′′ = m(a1x^′′₁(t) + a2x^′′₂(t))

= a1(mx^′′₁(t)) + a2(mx^′′₂(t))

= a1_(−kx1(t)) + a2_(−kx2(t))

= −k(a^{1x1(t) + a2x2(t)) (6.9)} が成り立つ。よって、_{x1(t) と x2(t) の重ね合わせ}

x(t) = a1x1(t) + a2x2(t) = a1e^iωt+ a2e^−iωt (a1, a2^は定数) (6.10) もまた、微分方程式 Eq. (6.1) の解である。

Eq. (6.10) の右辺の形を x1(t), x2(t) の一次結合と呼ぶ。また解がこのような一次結合 で表されることを、解の重ね合わせの原理と呼ぶ。微分方程式Eq. (6.1) の解は Eq. (6.10) のような、2 つの定数を持つことが知られているので、Eq. (6.10) が Eq. (6.1) の最も一 般的な解といえる。従って、Eq. (6.10) は Eq. (6.1) の 一般解と呼ばれ、x1(t), x2(t) は Eq. (6.1) の基本解と呼ばれる。基本解の選び方は一般には無数に存在するが (座標系の設 定の仕方が無限に存在するのと同じ_)、x1(t)/x2(t) ̸= c (c は定数) となっている必要があ る（このことを _{x1(t) と x2}(t) が一次独立であると呼ぶ）。x1(t)/x2(t) = c であると (この ことを _{x1(t) と x2}(t) が一次従属であると呼ぶ)、x₁(t) が x₂(t) で書けるので、Eq. (6.1) の一般解は未知定数一つで解が書けてしまう。

実際には、x(t) は物体の位置を表しているのだから、その一般解 Eq. (6.10) は実数に なっているはずである。従って、Eq. (4.6) から、常に x(t) = x(t) が成立するはずであ る。Eq. (6.10) の複素共役をとると、Eq. (4.9), Eq. (5.7) を用い、

x(t) = a1e^−iωt+ a2e^iωt (6.11)

となる。どんな t に対しても x(t) = x(t) が成立するためには

a₁ = a₂, a₂ = a₁ (6.12) である必要がある。ただし Eq (4.5) から、1 番目の式と 2 番目の式は同じ式を表す。し たがって、_a1 と _a2 はお互いにもう一方の共役複素数なので、

a₁ = ¹

2^{(C1 − iC2), a2 =} 1

2^{(C1+ iC2) (C1, C2は実数) (6.13)} とおける。ここで、オイラーの公式 Eqs. (5.1), (5.7) を用いて Eq. (6.10) を書き直すと、

x(t) = a1e^iωt+ a2e^−iωt

= a1(cos (ωt) + i sin (ωt)) + a2(cos (ωt) − i sin (ωt))

= (a1+ a2) cos(ωt) + i(a1_{− a}2) sin (ωt)

∴_{x(t) = C1}cos (ωt) + C2sin (ωt) (6.14) ここでは、空気抵抗がある時の微分方程式も解けるような、かなり一般的な微分方程式の 解法を示した。もちろん、cos (ωt), sin (ωt) が Eq. (6.1) の一次独立な基本解であることは、 代入して微分方程式を満たすことを確認すれば、すぐに分かるので初めからEq. (6.14) の 形に書いてもちろん良い。

また、Eq. (6.14) から三角関数の合成を行うことも多い。合成は以下のように行う。 x(t) = C1cos (ωt) + C2sin (ωt)

= ^√C1²+ C2²

( C1

√C₁²+ C₂^{2 cos (ωt) +}

C2

√C₁²+ C₂^{2 sin (ωt)} )

= ^√C1²+ C2²(sin ϕ cos (ωt) + cos ϕ sin (ωt))

= A sin (ωt + ϕ) (6.15)

但し、

A =^√C1²+ C2², ϕ = tan^−1C1 C2

(6.16) である。また、最後の等式では加法定理 Eq. (1.6) を用いた。この Eq. (6.15) は振動の式 である。この A を振幅 (amplitude), ωt + ϕ を位相 (phase) と呼ぶ。また、t = 0 の時の 位相 ϕ を初期位相と呼ぶ。時間 t が 1 [s] 経過すると位相は ω 進むので、T = ^2π

ω ^{[s] 経} 過すると位相が2π 進んで元の状態に戻る。この T を周期 (period) と呼ぶ。また一秒間 に _{f =}

1

T 振動することも分かる。これを振動数 (frequency) と呼ぶ。また、ω = 2πf を 角振動数と呼ぶ。

また、Eq. (6.14) の実数 C1, C2 は初期条件を解いて求めることができる。すなわち、 t = 0 の時 x(0) = x0, ^dx

dt^{(0) = v0 とすると、}

x^′_{(t) = −ωC1}sin (ωt) + ωC₂cos (ωt) (6.17)

なので、_{C1 = x0, ωC2 = v0} であるため、

x(t) = x₀cos (ωt) +^v0

ω ^{sin (ωt) (6.18)} となる。また、解として Eq. (6.15) の表式を用いると、

x^′(t) = Aω cos (ωt + ϕ) (6.19) なので、力学的エネルギー _{E は}

E = ¹ 2^m(x

′(t))²+¹

2^k(x(t))

2

= ¹

2^m(Aω)

2_cos2_{(ωt + ϕ) +} ¹

2^kA

2_sin2_{(ωt + ϕ)}

= ¹ 2^kA

2_(cos2(ωt + ϕ) + sin²(ωt + ϕ)) (∵ Eq. (6.7) を代入)

= ¹ 2^kA

2 _(6.20)

となり、時間によらず一定になり、力学的エネルギー保存則が成り立つことが分かる。