基礎講座(工学院2017年度) 福川賢治のホームページ

基礎講 ₍ 物理学 _{1 A} 対応 ₎

学習支援センタ 講師 ₍ 物理 ₎ 福川賢治

第一回 単位 次元

第二回 ベクトル 標

第 回 速 加速

第四回 加速 速 を求 ₍₁₎

第五回 加速 速 を求 ₍₂₎

2017/4/17 ^{工学院大学 物理学}1 A^{対応基礎講 ＆福川＇} 1

1. ^{こ 授業 習熟 調査 勧告 基 設置さ います}

物理 あま 触 い い人向け そ 基本を解 す す

2. ^{初回 簡単 思 徐々 しく い ます 続した 講を推奨します}

応用 展問題 楽 解け 人 大 し う

3. ^{単位 取 こ を保 す あ ませ 補助 します 最終的 皆さ 勉強し い す}

4. ^{ま 基本問題を楽 解け ベルを目指し く さい}

5^{．スライ 私} Google HP (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin2017)

取 う し ます

注意 項

1. ^{私語 慎 く さい く 授業を行う す 質問 い 構いませ}

(^{個別指 質問 歓迎})

2. ^{食 え く さい 水分補給 周 を汚さ い う 気を け 行 く さい} 3. ^{トイ 等 自由 行 いた い 構いませ}

4.

参考文献を調べ

ま 本₍ い 疲 い本₎ 自分 相性 良い本 ₍ 容 分 _?) (^{物理一般 本 し} ) ^{長く使え う いう観点 大}

分 い 図書館 借 _→ 自分 あ た本を購入

大学初年時向け

理工系物理学講義 加藤潔 風館 ₂₉₁₆ くわ 初等力学 前 昌弘 東京図書 ₂₇₀₀

力学₍物理入門コ ス₁₎ 戸 盛和 岩波書店 ₂₇₀₀ 趣味 物理学 広江克彦 理工図書 ₁₉₄₄

和訳 あ 米国 教科書

フ インマン物理学 _I 力学 _R.P.フ インマン 等著 岩波書店 ₃₆₇₂ ク 物理学コ ス 力学 丸善 ₈₆₄₀

工学院大学 金 祥久さ ₍機械工学科流体 研究室₎ 動画 ジ

http://fluid.mech.kogakuin.ac.jp/~minnie/for_students/engmech.html ^{各項目 ンク た}

高校生向け

高校 教科書

宇 一分 やすい高校物理 鯉 拓 Gakken 1480 そ フ 冒険 ッ フ クラ ₃₇₈₀

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問題を解くた 必要 こ ₍ 回生 備えた研究活動 基礎学力 く ₎ (1) ^{出 く 単語 意味を覚え}

日本語 英語 数式 対応を け 例_. 速 v (velocity), ^加速 a (acceleration) (2) ^{基本的 法則やそこ 定理 意味} ( ^い) ^を覚え

日本語 数式 両方 明 う 授業 最 限ここま さえ こう

(3) ^{問題文を 取 問題文 物理的 ういう状況を表し い を考え} 問題文 ₍書け 場合 ₎ 図を書い う

例_. 静 物体を落 す ₌ 初速 ₀ 物体を落 す (4) ^{方程式を作}

(1) ^{覚えた数式 日本語 対応を使 未知数を含 方程式を作}

(5) ^{方程式を解く} (^{数学 作業} _→ ^{安 人 数学 基礎講 講し う！}) (4) ^{作 た方程式を実際 解く}

学生側 望 こ

1. ^{自分 こ 分 い をし 意識し う}

2. ^{習い始 うち 答えを見 まわ い 過程をし 理解し う}! 3.

1. ^{単位 ？}

単位 物 量を測 必要 基準を示した

本来測 人 異 い い

例_: ① イ ス ア カ ン 法 日本_: 尺貫法 太陽暦 太陰暦

た し 人 使う単位 異 い 会話す 便

何 統一さ た単位系 必要 SI ^{単位 通常使わ}

(^{慣例的 理由} SI^{単位系以外 単位 使わ こ あ} )

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1-1. SI ^単位

SI ^基本単位 --- ^{基本 物理量 結び け 覚え う！} 力学 く出 く _SI 基本単位 _{3 !}

長さ _{--- m (} トル _meter) 時間 _{--- s ( , second)} 質量 _{--- kg (}キロ ラ , kilogram)

電流 _{--- A (}アン ア_{, Ampere)} 電磁気学 回路等 場 温 _{--- K (} ル ン, Kelvin) ^{熱力学 場} 物質量 _{--- mol (} ル _mole) 原子_6.0×₁₀²³個 光 _{--- cd (}カン ラ＇

非_SI 単位 _SI 属し い い 現 慣用的 使わ い 時間 _{--- m (}分 minute), h (^時間 hour), d (^日 day) yr (^年, year) 質量 _{--- t (}トン ton) 1 t = 1000 kg

注意 _!!

異 物理量₍次元₎を表す単位を持 た量 足し引 い₍掛け算 割 算 _OK)

① _{3 kg+5 s 3 m +5 m}² う 計算 誤 あ

1-2. SI ^接頭辞

非常 大 い数や 非常 小さ 数を表すた 後 桁数を表す 称を けた 例_. 東京_→ロ マ 距離 _Expedia 9,904.55 km = 9904550 m

恐 く _m 単位 こ 距離を言 い 言う人 殆 い い う

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有効数字 べ 表示

有効数字 (Significant figure ^或い s.f. ) 精 を考慮した際 値 し 信頼 数値

例_{. 100 m}走 タイ 測定

A. ^{一般的 腕時計 測}11 ^１0 ^{近い 小数点以 情報 曖昧} 10 (^０桁) B. 1/100 ^{ま 測定 計器} 10.33 ^{小数点第０位ま 信頼} 10.33 (^４桁) 使用す 機器 得 精 異

有効数字 表し 精 を考慮した結果を得 必要 あ

有効数字 ₌ 信頼 桁 ₊ 誤差を持 ₁桁_”

1 cm 1.00 cm ^{精 異}

有効数字 桁数 い 注意

簡単 場合 _{1.5 2}桁 _{1.58 3}桁 _{1.50 3}桁

数字 ₀ 測定 結果決定した₀ け く 大 さを示すた い い ₀ あ (^位取 0)

考え い 値 大 さ 対す 精 有効数字 桁数 決ま 例 単位 換算 有効数字 桁数 変わ い

1. 11.0cm = 110 mm = 0.000110 km = 3^桁 2. 3.0 kg = 3000 g = 2^桁

単 _{3000 g} 書いた 精 程 分 い

そ う 曖昧さをさけ た 指数を使 位取 ₀を表す 誤差 _{1 g} 程 _3.000×₁₀³ _{g (4}桁₎

誤差 _10g 程 _3.00×₁₀³ _{g (3}桁₎ 誤差_100g程 _3.0×₁₀³ _{g (2}桁₎

9

3.0^×10³ g

1.10^×10^-4 km

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1.3 SI ^組立単位 ( ^問題 1.3)

SI ^組立単位 : SI ^{基本単位 組 合わせ 表さ 単位}

代表的 例 _. 実際 イ ジし 納得し う！

面積 _(m

_), 体積 _(m

_), 密 _(kg/m

_), 運動 関係した量 _: 速 _(m/s), 加速 _(m/s

₎

注意： _{1 km}

_{1000 m}

く _{1 (km)}

₌₁ × _{(1000 m)}

=1,000,000 m

^あ

非 _SI 組立単位

体積 _{: L (} ットル Litre) 1 L = 1 dm

= 1 ^× (10

m)

= 10

m

=1000 cm

く使わ い いく 固有 前 与え い あ

注意 必要 _SI 組立単位

角 _{: rad (}ラジアン, radian) = (^長さ)/(^長さ) ^{単位 い量} (^無次元量)

1 rad ^定義

い い 図形 角 大 さ

画像 _Wikipedia 各項目 引用した

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1-4. ^次元解析

物理学的次元を調べ こ 物理量同士 関係を予測す 方法 ₍問₁₀₎

物理学的次元 基本 物理量 組 合わせを単位 やや 象的 表した

例 年 日 共 時間を表す 同 次元 考え

長さを _{L (Length} 略_), 質量を _{M (mass),} 時間を _{T (time),} 電流を _I, 温 を _Θ, 物質量を_N, 光 を _J 表す

cf. ^{数学的次元 例えば空間 点をあ わす 何個 数 必要} ? (^{次回 標 ベクトル 取 扱う})

次元 書 方 _[Q]=[L^a_M^b_T^c_]

面積 _[L²_], 体積 _[L³_], 密 _[ML^-3_], 運動 関係した量_: 速 _[LT^-1_], 加速 _[LT^-2_]

再 注意_: 次元 異 物理量 基本的 物理量 違う 足し引 い _!! (^{特 文字式 場合 注意})

次元解析 例 ₍ 振 子 等時性 ₎

振 子 運動 糸 長さ _{l [m],} 重 質量 _{m [kg],} 重力加速 _{g [m/s}²_] 関係す

した 周期 _T こ 関数 し ま

l, m, g 2 ^量 3 ^{量 単位を作 こ い}

した

T=C ^ｌx m^y g ^z (1) (C ^{次元を た い定数}) ((1)^{式 辺 次元}) = [T]

((1)^{式 右辺 次元}) = [L^x]^×[M^y]^×[L^z T^-2z] = [L^x+z M^y T^-2z]

物理的 正しい式 あ た 両辺 次元 等しい必要 あ

→ x, y, z ^{い 方程式を立 こ}

[L] ^い x+z= 0 [M] ^い y=0, [T] ^い -2z=1 x=1/2, y=0, z=-1/2

� = � _�^{� 実際は C=2π}

重 質量 違 い 糸 長さ 同 あ ば 振 子 周期 同 ！

質量 _m 長さ _l

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BACK SLIDES

注意すべ 計算 問題 _1.5

指数関数 _e^x _{x (}指数 引数₎ 単位 問わ い

指数関数や 角関数 引数 無次元 あ 何故 _? 明_1. ラジアン 定義 戻 _(→ 板書₎

明_2. 微分を考え

� ^�

�� ^{= ��,}

�² si �

��² = − sin � , ^�2_��^{c s �}₂ = − cos �

明_3. 指数関数や 角関数 以 足し算 表さ ₍微分を扱うさい触 ₎ e^x=1+x+x²/2 sin x = x-x³/6+x⁵_{/ 2 …} cos x =1- x²/2+x⁴_/24…

各々 例 _x 単位₍次元₎ を持 う こ 起こ _?

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いく 問題 解答例 ント

問題_{1.1 (4)}

単位換算す _{→ 5 cm}³ _{= y km}³ _y を求 ま 接頭辞を数字 直し 単位を揃え 5 (10^-2 m)³ = y (10³ m)³

5^×(10^-2)³ m³ = y ^×(10³)³ m³

した ₅×₍₁₀^-2₎³ _{= y} ×₍₁₀³₎³

(^{ここ 数学})

指数法則 ₍₁₀^a₎^b₌₁₀^ab_{, 10}^a_/10^b₌₁₀^a-bを用い 式変形 5 ^×10^-6 =y ^×10⁹

y=5^×10^-15

した _{5 cm}³ _{= (5}×₁₀^-15_)km³

問題_{1.1 (7)}

単位換算す ₁年 ₌ 何 _? 基本的 考え方_:

一 単位を細 い し いく 1^年 = 365^日=365^×24^時間

=365^×24^×60^分 = 365^×24^×60^×60

= 3.15^×10⁷

(^{電卓を使わ い場合 計算間違いしやすい}) ま い計算 スを防 コ ₍実用 重要₎ 予 概算を行

1. ^{答え 何桁 数}

2. 0 ^{い一番初 数字 何} を考え う

365^×24^×60^×60 ^～ 365^×20 ^×4000

～ ₃₆₅×₈₀₀₀ ～ ₄₀₀×₈₀₀₀ ～ _3200000

問題_{1.6 (}標準問題₎

1. ^{トン 運動方程式} F=ma

F: ^力 (force) ^組立単位: N ( ^トン) m: ^{粒子 質量} (mass) ^単位: kg

a: ^加速 (acceleration) ^単位: m/s²

異 単位 掛け算 _OK 等式 右 次元 等しい [N]=[kg m/s²]

2. ^力 P (pressure) ^定義

力 _F 面積 _{A (area)} 時 _P=F/A 力 単位 [Pa] (Pascal, ^パスカル) 力 単位 [N]=[kg m/s²]

面積 単位 _[m²_]

[Pa]=[kg m/s²]/[m²]=[kg/m s²]

3.

大ま 仕 定義 [^仕 W (work) ]

=[^力]^×[^距離 d (distance)]

W=Fd (^{正確 定義} 2Q ^行う)

単位 [J] (Joule, ^{ジ ル}) [J]=[N m]=[kg m²/s²]

最後 等号 ₁ 結果を用いた 運動 ネル 定義

K=(1/2)mv²

ｖ_: 速 _(velocity) 単位_:[m/s]

運動 ネル 単位

[kg (m/s)²]=[kg m²/s²]=[J] 仕 単位 同

4.

体積 V (Volume) ^単位 [m³] 従 _PV 単位

[Pa]=[kg m/s² m³]

=[kg m²/s²]=[J] 5^{．状態方程式} PV=nRT

(^熱力学, 3Q ^{以降 取 扱う}) 温 T (Temperature)

単位 [K] (Kelvin, ^{ル ン}) n: ^{物質量 単位} [mol] ( ^ル) 従

R=PV/(nT)

求 べ 単位 _4. 結果を用 い

[J/(mol K)]=[kg m²/(s² mol K)]

７．₁₀₀₀倍

＆Ｖを表す数字 ₁₀₀₀倍

大 く ＇

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基礎講 ₍ 物理学 _{1 A} 対応 ₎

学習支援センタ 講師 ₍ 物理 ₎ 福川賢治

第一回 単位 次元

第二回 ベクトル 標

第 回 速 加速

第四回 加速 速 を求 ₍₁₎

第五回 加速 速 を求 ₍₂₎

物体 位置を表す _?

原理的 一 位置 前を指定す 必要 あ

例_. 学習支援センタ 位置

東京都八王子市中 _2665-1 八王子キャンパス 新₂号館 ₃ 階

た し こ 物体 運動を表現す 非常 面倒

簡単 位置を言い表すこ い _?

あ 点₍原点_{, Origin)}を基準 し 方向 け離

い を指定し や ば い

こ 標 (Coordinate) ^{考え方 あ}

基準 点 そこ 位置 指定 仕方を

標系(Coordinate system) ^呼ぶ

八王子キャンパス キャンパスマップ

2017/4/24 ^{工学院大学 物理学}1 A^{対応基礎講 ＆福川＇} 2

標系 例

直交 標系 ₍最 簡単 標系₎

O

2^{次元直交 標} ₃

次元直交 標 3

ｙ_[m]

x [m] 5

(5 m,3 m)

O

x [m]

ｙ_[m] z [m]

(5 m,3 m, 4 m)

5

3

標系一般 性質

点を表す 必要 数 個数 数学的 空間 次元 一致す

原点 軸 選び方 ₍ 標系を 標系を張 言う₎自由 選べ 問題 うまく ₍ ま 方向や形状 注意し ₎ 軸を取 必要 あ

原点 直交す 軸を書 各軸 距離 方向 位置を指定

極 標系

O _{x [m]}

ｙ_[m]

r [m] ^{r , Θ} Θ

3^{次元極 標} (^{球 標})

画像 _Wikipedia 引用

2^{次元極 標} ( ^標)

考え 運動 ₍ 運動 ₎ 原点 距離

あ 軸 _(x 軸_{, z} 軸₎ 角 表したほう 簡単 位置を 表せ

一般 筒 標や

高次元極 標 考え

直交 標 対応 x=r _{cos Θ}

y= r sin Θ (^{た し r>0)}

を用いた 角関数 定義

問：直交 標 対応 う ？

2017/4/24 ^{工学院大学 物理学}1 A^{対応基礎講 ＆福川＇} 4

角関数 値

定義： 単位 ₍原点を中心 す 半径 _{1 )}

x ^{軸 角} _Θ ^{回 た 標} cos Θ, sin Θ

代表的 角関数 値 覚え う_!!

O _x

ｙ

1 cos Θ, sin Θ Θ

O _x

ｙ

r

弧 長さ _{L=r Θ} 角 _Θ＝_L/r

ラジアン 定義 Θ

1

Ｌ

スカラ ベクトル

スカラ _: 大 さ を持 た量 標軸 変更 大 さ 変わ い 例_: 質量 長さ 電荷 絶対温 ベクトル 大 さ

ベクトル_: 大 さ 向 を両方 た量 標軸 回転 成分 変わ

例_: 位置 力 電場 磁場 例_: 位置ベクトル ₍₂次元 場合₎

O _{x [m]}

ｙ_[m]

(r cosΘ, r sinΘ) Θ

Ԧ� _Ԧ� ^{= (rx,ry)} = r cos Θ, r sin Θ ^{ベクトル 成分表示} ベクトル 太字を用い _r 書

ベクトル 大 さ ₍スカラ ₎

� = Ԧ� = �_� + � = � cos � + � sin �

性質 異 量 異 記号 表す

ベクトル 図形表示

2017/4/24 ^{工学院大学 物理学}1 A^{対応基礎講 ＆福川＇} 6

ベクトル 演算 そ ₁

Ԧ = ₁, , … … , _� ^, = ₁, , … … , _� ^{, 与え た す}

以 演算 定義さ い

1^{．ベクトル 大 さ}

= Ԧ = ₁ + + ⋯ + _� ^{( 平方 定理)}

2. ^{スカラ 倍}

� Ԧ = � ₁, � , … … , � _�

特殊 ベクトル_: 逆ベクトル _{− Ԧ = − 1}, − , … … , − _� ロベクトル 0 = 0, 0, … … , 0

3^{．ベクトル 足し算 引 算}

+ = ₁ + ₁, + , … … , _� + _�

− = ₁ − ₁, − , … … , _� − _� 分配法則_{: � + = � + �}

Ԧ

ベクトル 演算 そ ₂

ベクトル 積 ₍スカラ 積 scalar product) Ԧ ^{す角をΘ す}

Ԧ ^{積 定義} Ԧ ∙ = Ԧ cos �

意味_: 二 ベクトル 程 同 向 を向い い を表す Ԧ ∙ = 0 ↔ Ԧ = 0 ^また = 0 ^また Ԧ ^垂直

1^{． 積 スカラ あ} .

2^{．交換法則} _{Ԧ ∙ = ∙ Ԧ}

3. ^結合法則 _{Ԧ ∙ �} = � Ԧ ∙ = � Ԧ ∙ 4^{．分配法則} _{Ԧ ∙} + Ԧ = Ԧ ∙ + Ԧ ∙ Ԧ

成 立 _(→ 板書₎

Ԧ

Θ

2017/4/24 ^{工学院大学 物理学}1 A^{対応基礎講 ＆福川＇} 8

単位ベクトル あ 方向 長さ ₁ ベクトル

x^{軸方向 単位ベクトル} _{�� = 1,0 , y} ^{軸方向 単位ベクトル} _{� = 0,1} 例 , = 1,0 + 0,1 = �_� + �

�_� = 1,0 � = 0,1 ^{す角 90} �_� ∙ � = 1 × 1 × cos 90° = 0 また _{�� ∙ ��} = 1 × 1 × cos 0° = 1, ^同様 � ∙ � = 1

ま

�_� ∙ �_� = � ∙ � = 1, �_� ∙ � = � ∙ �_� = 0

ま 同 方向 軸 単位ベクトル 積 ₁ あ

直交す 軸 単位ベクトル 積 ₀ あ ₍正規直交性 呼ば ₎ こ 性質 分配法則 _{Ԧ = �, , = �,} 時 _{Ԧ ∙ = � � +}

一般 _n 次元実空間 ベクトル

Ԧ = ₁, , … … , _� ^, = ₁, , … … , _� ^対し

積 通常 _{Ԧ ∙ = 1 1 + + ⋯ + � �} 定義さ Ԧ ^す角 � cos � = ^{∙ 定義さ}

ベクトル 外積 ₍ベクトル積 vector product)

対し 2 ^{ベクトル す角を}_θ ^す

大 さ_{: Ԧ × = Ԧ sin �} あ

意味_: を _�辺 す 平行四辺形 面積 大 さを持 垂直 近いほ 大 さ 大 い

向 _{: Ԧ} 垂直 _Ԧ 始点を重 _Ԧ を₁₈₀ 小さい角

重 た 始点を回転 中心 し 回転させ 方向

右ネジを回した 右ネジ 進 方向

ベクトル 外積 性質

0. ^{外積 結果 ベクトル あ} 1. Ԧ × Ԧ = 0

2. Ԧ × = − × Ԧ ^反交換性

3. _{� Ԧ ×} = � Ԧ × = Ԧ × � ^結合法則 4. _{Ԧ ×} + Ԧ = Ԧ × + Ԧ × Ԧ ^分配法則

5^．_{Ԧ ∙ Ԧ × = ∙ Ԧ × = 0 Ԧ ×} ^は _Ԧ ^{垂直 ベクトル}

Ԧ = ₁, , ^, = ₁, ,

Ԧ Ԧ ×

− × Ԧ

工学院大学 物理学_{1 A}対応基礎講 ＆福川＇ 2017/4/24 10

外積 成分表示

�_� = 1,0,0 , � = 0,1,0 , � = 0,0,1 (z ^{軸方向 単位ベクトル) す} 前 ジ 性質 _{1. Ԧ × Ԧ = 0}

同 軸 単位ベクトル同士 外積 _{�� × ��} = � × � = � × � = 0 また 直交す 軸同士 ベクトル 外積 大 さ 1 × 1 × sin 90° = 1 向 _{�� × �} 場合 _z 軸

した _{�� × � = � ,} 同様 考え

�_� × � = �

� × � = �_�

� × �_� = �

� × �_� = −�

� × � = −�_�

�_� × � = −�

右 各式 前 ジ 性質 _2. Ԧ × = − × Ԧ ^を用いた

赤字 部分 け覚え

こ 単位ベクトル 外積 分配法則

Ԧ = ₁, , ^, = ₁, , ^す

=Ԧ × − , ₁ − ₁ , ₁ − ₁

基礎講 ₍ 物理学 _{1 A} 対応 ₎

学習支援センタ 講師 ₍ 物理 ₎ 福川賢治

(https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin2017)

第一回 単位 次元

第二回 ベクトル 標

第 回 速 加速

第四回 加速 速 を求 ₍₁₎

第五回 加速 速 を求 ₍₂₎

2017/5/8 ^{工学院大学 物理学}1 A^{対応基礎講} (^福川) 1

( ^{速 前} ) ^関数 ?

運動学 物体 運動を調べる _… 物理的 記述 基礎

時刻 変化 対す 位置 速 加速 を調べ

関数 _(function) 通常 ベ

あ 量 あ 量 対応関係 思え 良い 例_. x=x(t)= 4.9t²

(^物理学 x ^{座標 値につい}

く_x=f(t) く _x=x(t) いう書 方をする ₎

具体的に 以 う 表を作

t [s] x [m] 1 4.9 2 19.6 3 44.1 4 78.4 5 122.5 6 176.4 7 240.1 8 313.6 9 396.9 10 490

速 (velocity) ( ^{高校 復習} , ^問題 3.1)

・以 簡単 ため一次元 運動を考える

(2 ^{次元以 場合ベクトル 概念 必要} )

速 一定 場合 ₍ 速 ₎₌ ＆位置 変化＇ _/ ＆時間＇

速 速さ

速 … ₍ マイ ス ₎ 方向 動く 速

速さ… 速 大 さ ₍ 絶対 ₀ 以 ₎

t x

O

x-t ^ラフ

x=v

t ( ^{直線 式} )

傾 速 _v

t ^t v

v0

O

v-t ^ラフ

( ^時刻 t ^{ま 移動距離} v

t)

= ( ^{長方形 面積} )

2017/5/8 ^{工学院大学 物理学}1 A^{対応基礎講} (^福川) ³

平均速 瞬間速 ＆微分 定義 問 _3.1)

平均速 _{v =} Δx_/Δt

Δt 小さけ ば小さいほ 良い

Δt 実際 測 ₀ い

頭 中 ₀ いく 近 け こ

中 操作を Δt → 0 極限 _(limit)を

呼び 書く

瞬間速

最後 定義 教科書 出 く 微分 定義

t [s] x [m]

t x

t+Δt x

_Δx

v [m/s]

Δx/Δv

微分結果を_t 関数 し 意識す 時 dx/dt(t) ^書く

速 物体 変位 ₍続 _,問 _3.2)

疑問_: 速さ 一定 見 せ い場合に 物体 位置 変化₍変位₎ うにす 良い _?

答え_: 速さ 一定 せ 程 ₍一定 場合 識別 いく いに₎ 時間を細 く分け → 微積分 考え方

微小 物理量 物理量 前に_{Δ (}デ タ_{, delta)}をつけ 表す ₍Δt_, Δx 等₎ 注意_{: Δt Δ}×_t い_{!! ( f(x) f}×_x い 同 ₎

(^{進 距離)=(大体青い短冊 面積 和)}

極限ま 刻 幅を細 くす 厳密 _{v=v(t) t}軸 ま た図形 面積 (^定積分そ )

t

t v

O

5

微分 意味

前 スライ 微分 定義式 Δt → ₀ を忘 (^{二重 〜 近似的 成 立 いう意味})

x-t ^{ラフを拡大す 直線 近 く}

t x

O t _t+Δt

x(t) Δt x t+Δt

1 ^階微分 (1 ^{回微分するこ をこう呼ぶ}) 関数を ₁ 次関数 微分するこ に対応

(^{速 ラフ 傾 対応})

= (^赤い直線 x=x(t) ^{グラフ 傾} )

地球 狭い生活範囲

平 見 せる

微分 公式 ₍ 出 板書 問 _3.3)

基本的 関数 微分

1^． _��^� �^� = ��^{�−1 多項式 2.} _��^� sin � = cos �, _��^� cos � = − sin � ( ^角関数) 3. ^�

�� ^{�� = �� (指数関数}) 4. ^�

�� ^{log t =} 1

� ^{(対数関数)}

微分計算 有用 公式 1. ^�

�� ^{� + � =}

�

�� ^{� +}

�

�� ^{� (微分 線形性)}

2. ^�

�� ^{� � = �}

�

�� ^{� +}

�

�� ^{� � (積 微分)}

3. ^�

��

�

� � ⁼

��� ^{� � � − �} ��^{�� �}

� � ^{2 (商 微分)}

4. ^�

�� ^{� =}

� �

��

�� �

�� ^{(合成関数 微分)}

5. ^��

��

��

�� =1 (^{逆関数 微分})

2017/5/8 ^{工学院大学 物理学}1 A^{対応基礎講} (^福川) 7

加速 (acceleration) ( ^問 3.3)

(^加速 )=(^{速 変化})/(^時間) Newton ^{運動 法則 力 加速 を生}

注意_: 減速し い 加速 呼ぶ

数学的 速 位置 場合 同様 考え

定義さ

ここ 速 位置を時間微分した あ _{( ),}

加速 位置を ₂回連続 微分した

こ こ を位置 加速 ₂階微分 (second derivative) ^{あ 呼ぶ}

2^階微分 _{2階微分 近く 関数を2次関数}

表し いるこ に対応

基礎講 ₍ 物理学 _{1 A} 対応 ₎

学習支援センタ 講師 ₍ 物理 ₎ 福川賢治

第一回 単位 次元

第二回 ベクトル 標

第 回 速 加速

第四回 加速 速 を求 ₍₁₎

第五回 加速 速 を求 ₍₂₎

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前回 復習 ₍ 詳しく 前回 スライドを参照するこ ₎

速 定義 _{v= (}位置 変化_)/(時間₎₌Δx_/Δt ＆平均速 ＇ そ 時刻 速 を考え ₍瞬間速 ₎

仮想的 Δt → 0 極限を ば い

加速 定義 _{a= (}速 変化_)/(時間₎₌Δv_/Δt

1 ^{階微分 関数を} 1 ^{次関数 近似} するこ に対応

微分 積分 関係 ₍ 問 _4.1)

位置 変化を表す近似式 � � + ∆� − � � ≈ � � ∆� ^を

t=t

=a t=t

=b ^{ま 足し合わせ}

x(t

)-x(a) ~ v(t

) ^×Δ t

x(t

)-x(t

) ~ v(t

) ^×Δ t

x(t

)-x(t

) ~ v(t

) ^×Δ t

x(b)-x(t

) ~ v(t

) ^×Δ t

x(b)-x(a) ~ ( ^Σ

^ｖ (t

)) ^Δ t

t

t v

O

t [s] x [m]

a=t^０＝0 x0

t1^＝Δt x1

t2_=2Δt x2

(n-1)_Δt

xn-1

b=tn=_nΔt xn

v [m/s] v0

v1

Vn-1 +

移動距離 速 ×時間を細 く 足し合わせた

3

＋

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微分 積分 関係 ₍ 続 ₎

前 ジ 式 x(b)-x(a) ~ ( ^Σ

v(t

)) ^Δt

Δt → ₀ 極限を 近似式 厳密 等式

� − � = lim

^σ

� �

∆�

こ 辺 無限和 定積分を表し _{∆� → �, σ}

_{→ ׬} 書く

従 積分記号を使 式を書 表す

� − � = න � � � ^{す わち} � = න � � � + �

書け

こ こ 微分 積分 逆演算 関係 あ こ を表し い

右辺 _{v(t) t=a t=b} 定積分 呼ぶ

定積分 ＆問 _4.2 ＇

� � �

�� ^{= � う F(x) を f(x) 定積分(あ い 原始関数) び}

積分記号 インテ ラル _(integral)を用い � � = ׬ � � ^書く

例_. 位置 関数 _x(t) 速 関数 _v(t) 定積分 一 あ ₍

� � �

�� ^{= � � )}

F(x) f(x) ^{定積分 定数}C^を加えた F(x)+C ^定積分 ( ^{� � � +�}

�� ^{= � )}

定積分を書く 通常定数 _C を加え 書く ₍積分定数 呼ば ₎ 例_{. ׬� � =}

1_{� + � (C}

積分定数₎

具体的 計算 微分 推測す

複雑 計算 対し 置換積分や部分積分 を実行す ₍ うまくいく場合 あ ₎

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初等関数 微積分

�

� = ��

^{↔ න �}

^{� =}

1

� �

^{+ �}

� sin � = cos � ↔ න cos � � = sin � + �

� cos � = − sin � ↔ න sin � � = − cos � + �

�

��

^�

^{= �}

^{↔ ׬ �}

^{� = �}

^{+ �}

�

��

^{log � =}

�

^{↔ ׬}

1

�

� = log � + �

積分公式

1. ( ^{積 微分公式} ) ^⇔ ( ^{部分積分 公式} )

f(t), g(t) ^を t ^{関数 し}

2. ( ^{合成関数 微分公式} ) ^⇔ ( ^{置換積分 公式} )

u=u(x)=u(x(t)) ^す

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微分方程式 解 方_{(1) ((2)} 次回＇₍問_{4.3, 4.4)} Step I

x(t) ^時間微分 v(t) ^�

��^{� � = � �}

定積分 定義 _{x(t) v(t)} 定積分 あ 従 _v(t) 定積分を一 求 _L(t) す x(t)=L(t)+C (C ^{積分定数) …① 書け}

Step II

与え た初期条件を _t=a 時 _x=x(a) す

こ 条件 実際 運動 実現さ い そこ 積分定数 _C を求 こ t=a ^{を ① 代入す} (^{初期条件 微分方程式を解く 仮定 あ} )

x(a)=L(a)+C C=L(a)-x(a) ^分

STEP III

STEP II ^{得 た}C^{を① 代入す} x(t)=L(t)-L(a)+x(a)

４ ジ 求 た _{� � = ׬}

�� � � + � ^一致

基礎講 ₍ 物理学 _{1 A} 対応 ₎

学習支援センタ 講師 ₍ 物理 ₎ 福川賢治

第一回 単位 次元

第二回 ベクトル 標

第 回 速 加速

第四回 加速 速 を求 ₍₁₎

第五回 加速 速 を求 ₍₂₎

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過去 ₂ 回 ま ₍ 詳しく 前回ま スライ を参照 ₎

速 _{: � = lim}

∆�→

∆�

∆� ⁼

��

�� ^{加速 : a = lim}_∆�→

∆�

∆� ⁼

��

�� ⁼

�

��

��

�� ⁼

�²�

��²

定積分_: � � = ׬ � � ^{時 � � �}_�� = �

F^＆ｔ＇をf(t) ^定積分(^{あ い 原始関数}) ^呼ぶ 微分方程式を解く _… 微分を含 方程式

� � �

�� ^{= � � x(t) を求 こ}

初期条件 _t=a 時 _{x(a) (}微分方程式を解く 必要 最初 状態₎ 積分 微分 関係 _{� − � = ׬ � � �}

微分方程式 解

� � = [ � ]^� + � = � − + �

L(t) v(t) ^定積分

加速 _a(t) 時間 関数 し 与え い 場合 速 _v(t) を求 手続 全く同様 あ

微分_{: x(t)} → v(t) → a(t) ^{積分: a(t)} → v(t) → x(t)

変数分離型微分方程式

( ^問 5.0)

�� ^{= � を} � + ∆� ≈ � + ^�_�� � ∆�

Δx → 0 ^極限 ≈ = ^{を使 数値的 解く} 但し 初期条件 _f(0)=1 す

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ｘ _{Δx f(x) �� �}

��

Δf

=f(_x+Δx)-f(x)

∆�

�

0 1 1

0.1 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.4 0.1

真 解 f(x)=e^x

1

1.105171 1.221403 1.349859 1.491825

前頁 続

こ 方程式

� �

�� ^{= � ׬}

� �

�� ^{� = ׬ � � し 解くこ い}

(^{積分 中 求 べ} f(x) ^{含ま い} ) ^{前頁 議論 以 う 解く}

� + ∆� ≈ � + ^�_�� � ∆� ^∆_∆� ≈ ^�_�� = 従

∆ _{≈ ∆� ...}

①

(^{前頁 例 たまたま等しい})

従 ①式 _{Δx→ 0} し 両辺そ 和を ば い ₍定積分₎ ま _׬

� � = ׬^� � ( ^{辺 f 右辺 x 式 [変数分離])}

従 _��

�

0 = � ↔

�

0 = �^{� ↔ � = 0 ��}

変数分離微分方程式 簡便 解 方 ₍問_5.2 板書₎ 前頁 議論を一般化し

�

�� ^{= (初期条件} f(x=a)=f(a), a ^{あ 定数}) ^を解く

�

�� ⁼

�

�� ^{をあた 分数 あ う 見 し}

g(f) dx ^{を移項し 積分記号を付け}

す _׬

� �

� ^{= ׬}

� �

1

� ^{定積分を K(ｆ) す}

� _{= � − = � −}

こ 式を _f(x) い 解けば求 べ 答え

2017/5/22 ^{工学院大学 物理学１} A^{対応基礎講} (^福川) 5

f(x) ^関数 (K(f(a) ^{単 数})