基礎講座(工学院2016年度) 福川賢治のホームページ

1 _三角関数

ここでは、ベクトルの考え方を知っていることを仮定して、三角関数の加法定理を導く ことにしよう。三角関数のうち cos (cosine, 余弦) と sin (sine、正弦) は、一般的に 図 1 のように原点を中心とする半径 1 の円上で、点 (1, 0) から 反時計回りに角度 θ だけ移動 した点のデカルト座標 (直交座標) 系での座標を (cos θ, sin θ) とすることにより定義され る。なお、半径 1 の円を単位円 (unit circle) と呼ぶ。また、tan (tangent, 正接) は sin と cosを用い、

tan θ = ^{sin θ}

cos θ ^(1.1)

で定義される。単位円上の点 (x, y) と原点との距離は 1 であるので、円の方程式は x²+y² = 1 と表される (原点、点 (x, y)、点 (x, 0) の 3 点を頂点とする直角三角形に三平方の定理 (ピタゴラスの定理) を用いる)。従って、点 (cos θ, sin θ) は円 x²+ y² = 1 の点なので、

sin²θ+ cos²θ = 1 (1.2) が成り立ち、さらに 両辺を cos^2θ で割ることにより、

tan^2θ+ 1 = ¹

cos²θ ^(1.3)

が成り立つことが分かる。

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図 1: 単位円と三角関数の定義

次に三角関数を計算する際に基礎になる加法定理を考える。三角関数は点 (1,0) を 1 回 させたときの座標で定義されたが、加法定理は 2 回回転させたときの座標を表すもので ある。図 1 を見てみよう。点 (1,0) を原点を中心に反時計回りに角度 α 回転させ、続け て反時計回りに β 回転させたときの座標は定義から、 (cos(α + β), sin(α + β)) と表され る。原点から点 (cos(α + β), sin(α + β)) へのベクトルを

⃗r= (cos(α + β), sin(α + β)) (1.4)

としておこう。さて、cos(α + β), sin(α + β) は sin α, cos β 等でどのように表されるべき か? というのが加法定理の言っていることである。

ここで、x 軸、y 軸、ベクトル ⃗^e1 = (cos α, sin α), ⃗e2 = (− sin α, cos α) の方向にそれぞ れ傾いたとしてしまおう。⃗r は ⃗^e1 から反時計回りに角度 β だけ回っているので、三角関 数の定義から ⃗r = (cos β) ⃗^e1 + (sin β) ⃗e2 と書ける。⃗^e1, ⃗e2 の成分を代入し整理すると、

⃗r= (cos α cos β − sin α sin β, sin α cos β + cos α sin β) (1.5) となる。Eq. (1.4) と Eq. (1.5) により、同じベクトルが 2 つの方法で表された。このとき ベクトルの全ての成分が互いに等しい必要があるので、

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (1.6) が成り立つ必要がある。これが三角関数の加法定理である。

K

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図 2: 三角関数の加法定理

実際には三角関数の公式はオイラーの公式を用いるのが極めて便利である。オイラーの 公式を理解するには微積分の公式を理解すると便利なので、次に微分・積分の公式をやっ た後に取り扱うことにする。

2 _{微分の公式}

べき乗の微分については、以下の公式が成り立つ。 d(tⁿ)

dt ^{= nt}

n−1 _{. (2.1)}

この公式は n が実数の時にも成り立つ。合成関数の微分の後の例 1. に、有理数乗に対す る証明を記す。特に n が自然数の時の証明を Appedix A に記す。

三角関数については以下の式が成立する。 d

dtsin t = cos t, ^d

dtcos t = − sin t, ^d

dt ^{tan t =} 1

cos^{2t (2.2)} である。初めの 2 つの式の導出は

limt→0

sin t

t ^{= 1 (2.3)}

と、三角関数の加法定理による。また、最後の式は下に述べる商の微分による。

指数関数については、まず自然対数の底 e (ネイピア数) を定義する必要がある。e の定 義としてはヤコブ・ベルヌーイによる

e _{≡ lim}

t→∞

( 1 + ¹

t )t

(2.4) が高等学校の教科書でよく見られる定義であるが、ここでは、これと等価なオイラーに よる

∆t→0lim

e^∆t− 1

∆t ^{= 1 (2.5)}

の定義を採用する。e = 2.7182818284590452353602874 · · · と続き、無理数の中でも超越 数に分類される数である。e^t の t による微分は、上の定義を採用すると、

d(e^t)

dt ^{= lim∆t→0}

e^t+∆t− e^t

∆t ^{= e}

t _lim

∆t→0

e^∆t− 1

∆t ^{= e}

t _(2.6)

となり元に戻る。

複雑な導関数の計算には以下の公式を用いる。なぜその公式が成り立つかは長くなるの で、 Appendix A に示す。a, b は時間によらない定数、f(t), g(t) を時間の関数とすると、 以下の公式が成り立つ。

d(af (t) + bg(t)) dt ^{= a}

df_(t) dt ^{+ b}

dg_(t)

dt ^{. (2.7)}

d(f (t)g(t))

dt ^{= f (t)} dg(t)

dt ⁺ df(t)

dt ^{g(t) . (2.8)} d^{( f (t)}

g_(t) ) dt ⁼

df(t) dt ^{g(t) −}

dg(t) dt ^f(t)

(g(t))^{2 . (2.9)}

特に f(t) = 1 の時、^df(t)

dt ^{= 0 なので、} d

( 1 g(t)

) dt ^{= −}

dg(t) dt

(g(t))^{2 (2.10)}

が成り立つ。さらに、u = u(x), x = x(t) の時、t の微小な変化 ∆t に対して、∆t → 0 の 時 ∆x = x(t + ∆t) − x(t) → 0 とすると、合成関数 u = u(x(t)) の t についての微分は、

d_(u(x(t))) dt ⁼

du_(x) dx

dx_(t)

dt ^(2.11)

である。

例１. 有理数乗の微分

y_{= x}^mn は分数乗の定義から yⁿ = x^m である。両辺を x で微分すると、Eq. (2.1) から、 ny^n−1dy

dx ^{= mx}

m−1

である。y に y = x^mn を代入して整理すると、 dy

dx ⁼ m

n^x

m

n⁻¹ _(2.12)

を示すことができる。

また、t が x の関数としても書けるとき (それぞれの x の値に対し t が唯一つに決まると き) 、x = x(t) に対し、t = x⁻¹(x)と書ける (前の x⁻¹ は関数の記号であり、後ろの x は引 数であることに注意。) この時、 x⁻¹ は x の逆関数であるという。この時、x = x(x⁻¹(x)) であるので、合成関数の微分を使って両辺を x で微分すると、1 = ^dx

dt

d(x⁻¹)

dx ^である。 従って、逆関数 x⁻¹ の x についての微分は

d(x⁻¹) dx ⁼

1 dx

dt

(2.13)

となる。

例 2 .  対数関数の微分

y_{= e}^x の時、対数関数 log は x = log y で定義される。前段の議論を踏襲して、x = log y (自然対数 (natural logarithm) の略で ln とも書かれる) を x で微分すると、

1 = ^{d(log y)} dy

dy dx である。指数関数の性質 Eq. (2.6) から ^dy

dx ^{= y であったから、} d_{(log y)}

dy ⁼ 1

y ^(2.14)

である。

2.1 _{ベクトルの微分}

一次元でない一般の運動では位置は位置ベクトルで表される。速度ベクトルはベクトル のスカラー倍の演算を用いて、一次元の場合について

v _{= lim}

∆t→0

∆r

∆t ^(2.15)

と書ける。この式を

v _≡ ^dr

dt ^(2.16)

と定義する。ここで直交座標系を考え、∆r = (∆x)ex+(∆y)ey+(∆z)ez とする。ex^{, e}y^{, e}z

は それぞれ x, y, z 軸の正方向の単位ベクトル (長さ 1 のベクトルを単位ベクトルと呼ぶ) で、成分表示すると、

e_x = (1, 0, 0), ^ey = (0, 1, 0), ^ez = (0, 0, 1) (2.17) である。すると、

v _{= lim}

∆t→0

∆r

∆t

= lim

∆t→0

1

∆t^{((∆x)ex+ (∆y)ey + (∆z)ez)}

= lim

∆t→0

( ∆x

∆t^ex+

∆y

∆t^ey+

∆z

∆t^ez )

∴ v ₌ ^dx dt^ex+

dy dt^ey+

dz

dt^{ez (2.18)}

となる。ここで ^dex dt ⁼

de_y dt ⁼

de_z

dt ^{= 0} を用いた。この式は デカルト座標系においては、

「ベクトルの微分を計算するには、それぞれの成分の微分を計算すればよい」ということ を示している。加速度ベクトルは、

a ₌ ^dv dt ⁼

d^2x

dt^{2 (2.19)}

であり、

a_{= lim}

∆t→0

∆v

∆t ^(2.20)

である。Eq. (2.18) を導いた時と全く同様に a₌ ^dvx

dt ^ex+ dv_y

dt ^ey+ dv_z

dt ^{ez =} d²x dt^2ex+

d²y dt^2ey+

d²z

dt^{2ez (2.21)} が成り立つ。

また、この subsection 中のここまでの議論とスカラー関数についての微分の公式から、 α, β を時間によらない定数として、

d

dt(αA(t) + βB(t)) = α^dA(t) dt ^{+ β}

dB(t)

dt ^{, (2.22)}

d

dt(f (t)A(t)) = ^df(t)

dt ^A(t) + f (t)^dA(t)

dt ^{, (2.23)}

d

dt(A(t) · B(t)) = A(t) · ^dB(t) dt ⁺

dA_(t)

dt ^{· B(t) , (2.24)}

d

dt(A(t) × B(t)) = A(t) ×^dB(t) dt ⁺

dA(t)

dt ^{× B(t) (2.25)} が直ちに従う。

2.2 _{オイラーの公式}

ここでは、微分方程式を解く際に非常に強力な武器となる公式

e^iθ = cos θ + i sin θ (Eulerの公式) (2.26) を説明する。本当は大学の解析学 (微分積分学) で習う Taylor 展開からまず複素指数関数 を定義したほうがよいが、ここでは簡単に、合成関数の微分から導かれる指数関数の微分

d(e^αt) dt ^{= e}

αt^d(αt)

dt ^{= αe}

αt (2.27)

を α = i の時にも成り立つとして、すなわち d_(e^iθ₎

dθ ^{= ie}

iθ (2.28)

が成り立つとして導いてみる。

まず f(θ) = (cos θ − i sin θ)e^iθ とする。すると、積の微分公式と三角関数の微分と、 Eq. (2.28) を用いて

d(f (θ))

dθ = (− sin θ − i cos θ)e^iθ+ (cos θ − i sin θ)ie^iθ

= −(sin θ + i cos θ)e^iθ+ (sin θ + i cos θ)e^iθ

= 0 (2.29)

これは f(θ) が定数関数であることを表している。従って、f(0) = (1 − i0) · 1 = 1 である から、

f(θ) = (cos θ − i sin θ)e^iθ = 1

この両辺に (cos θ + i sin θ) を掛けて、Eq. (1.3) を用いると、Eq. (2.26) を導くことがで きる。

Euler の公式で、θ を −θ にすると、e^−iθ = cos θ − i sin θとなる。従って、これと Euler の公式から三角関数が、

cos θ = ^e

iθ_{+ e}⁻iθ

2 ^{, sin θ =}

e^iθ − e^−iθ

2i ^(2.30)

となり、複素指数関数と関係付けられる。

また、これらの公式と指数法則 e^z1+z2 = e^z1e^z2, (e^z1)ⁿ = e^nz1 を用いると、三角関数に 関する様々な定理はその殆どを導くことができる。以下の例 3, 4 ,5 では、α, β, θ 等の角 度を表す変数は実数とする。

例 3. 加法定理 

e^iα+iβ = cos (α + β) + i sin (α + β) (2.31) である。一方、e^iα+iβ = e^iαe^iβ _から

e^iα+iβ = e^iαe^iβ = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β)

= (cos α cos β − sin α sin β) + i(sin α cos β + cos α sin β) (2.32) Eq. (2.31) と Eq. (2.32) は同じものを計算したものなので、等しい複素数を表している。 従って、それぞれの実部と虚部が等しく、Eq. (1.6) が成り立つことが分かる。

例 4. 倍角の公式

e^2iθ = cos 2θ + i sin 2θ 一方、

e^2iθ = (e^iθ)² = (cos θ + i sin θ)(cos θ + i sin θ)

= (cos²θ− sin²θ) + 2i cos θ sin θ 従って、2 倍角の公式

cos 2θ = cos²θ− sin²θ, sin 2θ = 2 cos θ sin θ (2.33) が成り立つ。同様に、

e^3θ = cos 3θ + i sin 3θ であり、

e^3iθ = (e^iθ)³ = (cos θ + i sin θ)³

= (cos³θ− 3 cos θ sin²θ) + i(3 cos²θsin θ − sin³θ)

= (4 cos^3θ− 3 cos θ) + i(3 sin θ − 4 sin^3θ) なので、3 倍角の公式

cos 3θ = 4 cos³θ− 3 cos θ, sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin³θ (2.34) が成り立つ。

例 5. 半角の公式

Eq. (2.30) から計算する。 sin^{2( θ}

2 )

=

[e^iθ2 − e^iθ2 2i

]²

= ^{−2 + e}

i^θ _{+ e}⁻iθ

−4 ⁼

1 − cos θ 2 cos^{2( θ}

2 )

についても同様に計算すると、

sin^{2( θ} 2

)

= ^{1 − cos θ}

2 ^{, cos}

2^{( θ}

2 )

= ^{1 + cos θ}

2 ^(2.35)

が成り立つことが分かる。

3 _{積分の公式}

べき乗の関数の積分については、Eq. (2.1) より、以下の公式が成り立つ。

∫

tⁿ dt = ¹ n_{+ 1}^t

n+1_{+ C} (n ̸= −1, Cは積分定数) (3.1) また、対数関数の微分から

∫

t⁻¹ dt = log |t| + C (C は積分定数) (3.2) また、三角関数、指数関数、対数関数の積分は次のようになる。

∫

cos(ωt) dt = ¹

ω sin(ωt) + C , 

∫

sin(ωt) dt = −¹

ωcos(ωt) + C ,

∫

e^ωt dt ₌ ¹ ω^e

ωt+ C ,

∫

log t dt = t log t − t + C (それぞれ C は積分定数) (3.3) それぞれ、右辺を微分すると、左辺になることを確かめてほしい。

複雑な積分の計算は以下の公式を用いて行う。関数の設定は導関数を導いた時と同じで ある。この公式の導出 (というには大げさだが) も Appendix A に示してある。

∫

(af (t) + bg(t)) dt = (aF (t) + bG(t)) + C (Cは積分定数) . (3.4)

∫

u(x) dx =

∫

u(x(t))^dx(t)

dt ^{dt . (3.5)}

∫

f(t)^dg(t)

dt ^dt= f (t)g(t) −

∫ _{( df (t)} dt ^g(t)

)

dt . (3.6)

A _{公式の導出}

A.1 _微分公式

ここでは、数学的な厳密さはかなりの程度無視して、微分の公式が定義式から理解でき ることを味わってほしい。1 では指数 n は自然数、3 – 5 では a, b は時間によらない定数、 6 では f(t), g(t) を時間の関数とする。

1. Eq. (2.1) （べき乗の微分） d_(tⁿ₎

dt ^{= ∆t→0lim}

(t + ∆t)ⁿ− tⁿ

∆t

= lim

∆t→0

tⁿ_{+ nt}ⁿ⁻¹· ∆t + O(∆t²) − tⁿ

∆t

= lim

∆t→0

ntⁿ⁻¹· ∆t + O(∆t²)

∆t

= lim

∆t→0^nt

n−1_{+ O(∆t)}

= ntⁿ⁻¹ (A.1)

ここで、O はエトムント・ランダウによって導入された、Landau の記号と呼ばれ る記号である。O(A(t)) は t がある極限値をとった時、何か複雑な多項式が実際に 後に続くとしても、高々 A(t) の定数倍になるという記号である。例えば、O(A(t)) (t → 0)を式で表現すると、

limt→0

O(A(t))

A_(t) ^{= c (cはある有限の定数) (A.2)} である。また、t → 0 の時、t² より t の高い次数しか表れない式は t より小さいと 考えられる。 このような時、これらの式を o(t)(t → 0) と表すこともある。一般に、 o(A(t)) (t → 0) と書くと、

limt→0

o(A(t))

A_(t) ^{= 0 (A.3)}

の意味である。また、t が 0 だけでなく、他の極限値 (∞ や有限値 c) にいく場合で も同様の記号を使うことがある。

2. Eq. (2.2)  (三角関数の微分) d(sin t)

dt ^{= ∆t→0lim}

sin (t + ∆t) − sin t

∆t

= lim

∆t→0

sin t cos ∆t + cos t sin ∆t − sin t

∆t

= cos t (A.4)

但し、2 番目の等号に移る際には、加法定理 Eq. (1.6) を、3 番目の等号に移る際に は、 lim∆t→0cos ∆t = 1と Eq. (2.3) を用いた。

d_{(cos t)}

dt ^{= ∆t→0lim}

cos (t + ∆t) − cos t

∆t

= lim

∆t→0

cos t cos ∆t − sin t sin ∆t − cos t

∆t

= − sin t (A.5)

但し、2 番目の等号に移る際には、加法定理 Eq. (1.6) を、3 番目の等号に移る際に は、先ほどと同様に lim∆t→0cos ∆t = 1 と Eq. (2.3) を用いた。

tan の微分については、sin, cos の微分と Eq (2.9) から、

dtan t dt ⁼

d dt

( sin t cos t

)

=

d_{sin t}

dt ^{cos t −} d_{cos t}

dt ^{sin t} cos²t

= ^cos

2t+ sin²t cos²t ⁼

1

cos²t ^(A.6)

3. Eq. (2.7) (微分の線形性) d(af (t) + bg(t))

dt ^{= ∆t→0lim} 1

∆t[af (t + ∆t) + bg(t + ∆t) − (af (t) + bg(t))]

= lim

∆t→0

1

∆t[a(f (t + ∆t) − f (t)) + b(g(t + ∆t) − g(t))]

= a lim

∆t→0

f(t + ∆t) − f (t)

∆t ^{+ b lim∆t→0}

g(t + ∆t) − g(t)

∆t

= a^df(t) dt ^{+ b}

dg_(t)

dt ^(A.7)

4. Eq. (2.8) (積の微分) d(f (t)g(t))

dt ⁼ ∆t→0^lim

1

∆t[f (t + ∆t)g(t + ∆t) − f (t)g(t)]

= lim

∆t→0

1

∆t[(f (t + ∆t)g(t + ∆t) − f (t + ∆t)g(t)) +(f (t + ∆t)g(t) − f (t)g(t))]

= lim

∆t→0^{f(t + ∆t)}

g(t + ∆t) − g(t)

∆t ^{+ lim∆t→0}

f(t + ∆t) − f (t)

∆t ^g(t)

= f (t)^dg(t) dt ⁺

df(t)

dt ^{g(t) (A.8)}

5. Eq. (2.9) (商の微分) f(t)

g(t) ^{= ∆t→0lim} 1

∆t

( f (t + ∆t) g(t + ∆t) ⁻

f(t) g(t)

)

= lim

∆t→0

1

∆t

( f (t + ∆t)g(t) − f (t)g(t + ∆t) g(t + ∆t)g(t)

)

= lim

∆t→0

1

∆t

( [f (t + ∆t) − f (t)]g(t) − [g(t + ∆t) − g(t)]f (t) g(t + ∆t)g(t)

)  

= lim

∆t→0

(f (t + ∆t) − f (t))

∆t

g_(t) g(t + ∆t)g(t)

− lim

∆t→0

(g(t + ∆t) − g(t))

∆t

f(t) g(t + ∆t)g(t)

=

df(t) dt ^{g(t) −}

dg(t) dt ^f(t)

(g(t))^{2 (A.9)}

6. Eq. (2.11) (合成関数の微分)

u = u(x), x = x(t) の時、時間 t の微小な変化 ∆t に対して、∆t → 0 の時 ∆x = x(t + ∆t) − x(t) → 0 とする (^dx

dt は有限値)。微分の定義から、 dx

dt ^{= limt→0}

x(t + ∆t) − x(t)

∆t

なので、∆t → 0 の時、

∆x = ^dx

dt^{∆t + o(∆t) (A.10)} となる。また、この時

u(x + ∆x) = u(x) +^du

dx^{∆x + o(∆x) (A.11)} でもある。Eq. (A.11) を Eq. (A.10) に代入すると、

u(x + ∆x) − u(x) = ^du dx

dx

dt∆t + o(∆t) (∆t → 0) . x について詳しく記すと、

u(x(t + ∆t)) − u(x(t)) = ^du dx

dx

dt∆t + o(∆t) (∆t → 0) . (A.12)

これは d(u(x(t)))

dt ⁼ du(x)

dx

dx(t)

dt ^(A.13)

であることに他ならない。

A.2 _積分公式

f(t), g(t) を時間の関数、F (t), G(t) をそれぞれ f(t), g(t) の原始関数とする。この時、 原始関数の定義から _dt^dF(t) = f (t), _dt^dG(t) = g(t)が成り立つ。また、1. では a, b をそれ ぞれ時間に寄らない定数とする。2. では、2 つの関数 u(x) と x(t) の合成関数 u(x(t)) を 考え、u(x) の原始関数を U(x) とする。

1. Eq. (3.4) (積分計算の線形性) Eq. (2.7) より、

d

dt(aF (t) + bG(t)) = a^dF(t) dt ^{+ b}

dG(t)

dt = af (t) + bg(t) . 従って、不定積分の定義から

∫

(af (t) + bg(t)) dt = (aF (t) + bG(t)) + C (Cは積分定数) (A.14) である。

2. Eq. (3.5) (置換積分法)

U(x) = U (x(t))であるから、この関数を t で積分できる。Eq. (2.11) から、 d

dt^U(x(t)) = u(x(t))^dx(t) dt なので、これを積分すると

U(x(t)) + C = U (x) + C =

∫

u_(x(t))^dx(t)

dt ^{dt (Cは積分定数)}

である。ここで、原始関数の定義から U(x) + C = ∫ u(x) dx となるので、

∫

u_{(x) dx =}

∫

u_(x(t))^dx(t)

dt ^{dt . (A.15)}

3. Eq. (3.6) (部分積分法)

Eq. (2.8) の両辺を積分すると、 f_{(t)g(t) =}

∫

f_(t)^dg(t) dt ^dt+

∫ _{( df (t)} dt ^g(t)

) dt 従って、これを整理すると

∫

f(t)^dg(t)

dt ^dt= f (t)g(t) −

∫ _{( df (t)} dt ^g(t)

)

dt (A.16) が成り立つ。