基礎講座(工学院2016年度) 福川賢治のホームページ

(1)

基礎講物理 ₍ 物理学 ₂ 対応先進学部情報学部対象 ₎

担当 _: 福川賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin)

第 ₁ 回ニュトン法則 _(6/13)

1. ^{運動方程式}

2. ^力 ^要素

3. ^様々 ^力

第 ₂ 回運動方程式一定力をけ運動 _(6/20)

第 ₃ 回仕エネ _(6/27)

第 ₄ 回エネ保存則 _(7/4)

第 ₅ 回単振動 _(7/11)

1

(2)

運動法則

物体質点あ時 ₍ 物体十分小さく点あ時 ₎

以法則立

第一法則 ₍ 慣性法則 ₎

物体力働い静い物体静あ

動いい物体一定速 ₍ 加速 ₎ 一直線を動続け

( ^注 : ^物体 ^元 ^{運動状態を保} ^う ^{性質を慣性} ^呼ぶ )

第法則 ₍ ニュトン運動方程式＇

質点加速物体力比例

質量 _m を右式定義 _{�� =}

第法則 ₍ 作用反作用法則 ₎

質点 _A 質点 _B 力を及ぼ時 ₍ 作用 ₎

時質点 _B 質点 _A 大さ逆向力を及ぼ ₍ 反作用 ₎

こ力一作用線あ

2

(3)

質点い

1. ^大 ^さ ^考え ^く ^良い ^質量 ^あ ^良い物体

2. ^大抵 ^物体 ^遠く ^見 ^ば質点 ^あ ^以 ^{質点を中心} ^扱う

3. ^物体 ^自転や ^{建築物等を扱う時} ^大 ^さを考え ^必要 ^有

質点扱うこい質点積重積分を用い記述

( ^剛体 ^力学 ^{弾性体力学} ^流体力学 )

慣性法則運動方程式関係

運動方程式 _{� = 0} 時 _{� = 0}

一見慣性法則不要見え

標系自体加速運動い時 ₍ 加速系 ₎ 慣性法則立い

慣性法則立標系を慣性系 ₍ 静系等加速運動系 ₎ 呼ぶ

運動方程式慣性系立非慣性系修必要あ ₍ 慣性力 ₎

慣性法則運動を記述標系を規定

3

(4)

運動方程式単位

SI ^単位 : ^力学 ^用い ^主 SI ^基本単位 3 ( ^全部 7 )

m ( ^ト ) kg ( ) s ( ^秒 )

質量 _SI 単位 _{: [kg]}

加速単位 _{: (} 加速 ₎₌₍ 速変化 _)/( 時間 _{), (} 速 _{) = (} 位置変化 _{)/ (} 時間 ₎

従単位 _[m/s ² _]

従力単位 _{[kg m/s} ² _] ニュトン _[N] いう別付いい

1 kg 1 m/s ² = 1 N (SI ^組立単位 ^一 )

= �� ^{微分を用い} ^書く = � _� ^�

辺通常時間 _t 位置 _� 速 _� 関数 � �, �, �

運動方程式 ₍ 微分方程式 ₎ を解く物体運動決定 ₍ 予言 ₎ ₍ 問 ₁₎

4

(5)

力要素

1. ^大 ^さ 2. ^力 ^向 3. ^作用点 ( ^力 ^働い ^い ^場所 ^着力点 ^いう ) ^あ

力示力矢印始点力作用点あ

力合分解

力ベト足算

一質点 ₂ 力 _� _� い

� 2 ^力 ^等 ^働 ^を

� ^を合力 ^呼び � ^を求 ^操作を力 ^合 ^呼ぶ

一方力質点い時 _� を _� _� 分けこ

を求操作を力分解呼び

を分力呼ぶ合異分解方法無数あ

5

� _�

�

(6)

重力

重力 ₍ 電磁気を考えけば ₎ 唯一遠隔力あ

体地球々間万有引力 ₍₊ 地球自転遠心力 ₎

自由落運動を引起こ力あ重力加速 _{g =} 約 _{9.8 m/s} ²

万有引力

質量を持全物体間働く力 ₂ 物体質量を M [kg], m [kg]

力大さＦ ₌

��

�

万有引力定数 _{G = 6.67} × ₁₀ ^-11 _{N m} ² _/kg ² ₍ ン力比べ非常弱い力 ₎

ン力

電荷 ₍ 電気量 ₎ を持全物体間働く力 ₂ 物体電荷を Q [C], q [C]

力大さＦ _{� = �}

�

2 ^{k =9.0} ^× ¹⁰ ⁹ ^{[N m} ² ^/C ² ^]

重力比べ比例定数大い電荷負電荷ャンこ多い

6

(7)

垂直抗力

物体接触い時接触面垂直力

大概接触面垂直方向対物体静こ時接触面垂直方向合力 ₀

物体作用合力 ₀ 時こ力合い呼ぶ

( ^注 : ^重力 ^垂直抗力 ^別個 ^力 ^あ ^作用 ^反作用 ^関係 ^い！

重力反作用物体地球力 ₎

摩擦力 ₍ 問 ₇₎

物体接触い時接触面平行働く力

静摩擦力 ₍ 物体静い ₎ 動摩擦力 ₍ 物体運動い ₎ あ

最大静摩擦力動出直前働く力を最大静摩擦力呼ぶ

静止摩擦係数 _μ 最大静摩擦力大さを _F, 垂直抗力大さを _N _F= _μN

摩擦法則

1. ^摩擦力 ^大 ^さ ^垂直抗力 ^比例

2. ^摩擦力 ^接触面積 ^接触面 ^様子 ^決

3. ^動摩擦力 ^物体 ^速 ^一定

( ^最大静 ^摩擦力 )>( ^動摩擦力 ) F= μ’N < μN μ’ 動摩擦係数

⁷

(8)

復元力 ₍ ば力 ₎

8

壁

A ^け伸ば

A

B

|B|=-B ^け縮

F=-kA(<0)

F=-kB (>0)

ば力あい位置

を _x _x 小さい範

- x ^比例 ^＆フッ ^法則＇

物体を戻う力

復元力呼ば _{F= - kx}

k [N/m] ^ば ^定数 ^呼ば

運動方程式 _�

� ²

�� ² ^{= - kx} ^一般解

一般解角振動数を _{� =}

�

� � = � �� + � � � ��

こ等価

� � = � ^�� + � ^−��

� , � , � , � ^初期条件

求

O

張力糸物体を引張力

う力調べ具体的状況を調べ必要あ

(9)

運動方程式解方

STEP1 ^問題文 ^状況を ^表現

STEP2 ^注目 ^い ^物体 ^働く力を ^ウント

力ベトウント全力いベト和を

STEP3 ^{運動方程式} _{� � = �} ^を書く ( ^右 _{� STEP 2} ^考え ^力 ^ベ ^ト ^和 )

分表示 _x ｙ _z 分い式あ

�� = � , �� = � , �� = �

STEP4 ^加速 ^位置 ^回微分 ^位置を求 ^{微分方程式を書く}

� ^� _�� ² ₂ = � , � ^� _�� ² ₂ = � , � ^� _�� ² ₂ = �

STEP5 ^{微分方程式を解く} ^{関数形を決定}

時決い定数出く

STEP6 STEP5 ^決 ^{定数を初期条件} ( ^初期位置 ^初速 ) ^求

全時刻 _t 位置速加速分

9

(10)

運動エル仕事関係 ₍ 問 ₃₎

運動方程式 _�

��

�� ^{= �} ^速 ^ル ^� ^内積

� = � _� ⁽ ^始め ⁾ � = � _� ⁽ ^終わ ⁾ ^ま ^積分 ^実行す

初速 _� _� _, 終わ速 _� _� す

�=� _�

� ^�� _�� ∙ � �� = _�=� ^�=� _� ^� ^{� ∙ � ��} ^右辺 ^仕事 ^W ^表す ⁽ ^ライ ³ ^目 ⁾

�

�� ^{�� = �}

�

�� ∙ � = � ^�� _�� ∙ � + � ∙ ^�� _�� = � ^�� _�� ∙ � ^あ

( ^辺 )= _�=�

�

�=� _� �

�� ^{�� = ��} ^� ^{− ��} ^�

� = �� ^運動エ ^ル ^呼ぶ

従 _�� _� _{− ��} _� _{= �}

( ^物体 ^運動エ ^ル ^変化 ) = ( ^物体 ^さ ^た仕事 )

(11)

基礎講物理 ₍ 物理学 ₂ 対応先進工学部情報学部対象 ₎

担当 _: 福川賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin)

有用サイ武藤さ講義

(http://www.ns.kogakuin.ac.jp/~ft13389/education.html)

第 ₁ 回ニュン法則 _(6/13)

第 ₂ 回運動方程式一定力受け運動 _(6/20)

第 ₃ 回仕事エル _(6/27)

仕事定義

運動エル仕事関係

第 ₄ 回エル保存則 _(7/4)

第 ₅ 回単振動 _(7/11)

1

(12)

仕事定義

一直線物体動く

A B ^ま ^動く

床 _x

� = � , �

∆ = ∆ , 0

( ^仕事 _Δ ^Ｗ )

= ( ^{動いた距離} ) ^× ( ^そ ^方向 ^掛けた力 )

= _{� ∆}

単位 _{: [N]} × [m]=[N m]=[J] (Joule, ^ュ ^ル )

基本単位表す _{[kg m} ² _/s ² _]

x

A ^{� = � , 0} ^B

� = � , �

区間 _{Δx → 0} す極限

A B 間力 _� 行う仕事足し合わせ

� =

�=

�= � _� �� =

�=� _�

� _� ^�� _{�� }

= _�=� ^�=� _� ^� � _� � _� ��

(13)

一般場合 ₍ 問 _{1, 2, 6,7)}

� = � , � ^大 ^さ ^F ^す

∆ ^ル ^軌道 ^方向 ^向いた大 ^さ ∆ ^微小 ^ル

2 ^ル ^す角 _Θ ^す

( ^微小 ^仕事 _Δ ^Ｗ )

= ( ^{動いた距離} ) ^× ( ^そ ^方向 ^掛けた力 )

= _{∆ � cos �}

= _{∆ ∙ �} ( ^ル ^内積 ^定義 )

= � ∆ + � ∆ + � ∆

Θ

� = � , �

A (x _A ,y _A )

B (x _B ,y _B )

A B ^ま ^動く ^仕事 W

∆ → 0 ^極限 ^微小区間 ^仕事 ^足し ^いく ^い

すわち _{� =}

�=

�= � ∙ �� = � � + � �

= _�=� ^�=� _� ^� � � �� + _�=� ^�=� _� ^� � � �� = _�=� ^�=� _� ^� ^{� ∙ � ��}

赤積分線積分

呼ぶ

(14)

仕事率 P (Power) ( ^問 5)

単位時間内くい仕事行わい表す物理量

� = ^�� _�� ⁽ ^仕事 ^W ^時間微分 ^表さ ⁾

単位 : [J/s]=[kg m ² /s ³ ] W (Watt, ^ワッ ) ^表さ

場概念 ₍ 問 _2,4)

場時間的空間的分布しい物理量

一般時間 _t 位置 _(x,y,z) 関数表さ

例．重力場電磁場

(15)

基礎講物理 ₍ 物理学 ₂ 対応先進工学部情報学部対象 ₎

担当 _: 福川賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin)

有用サイ武藤さ講義

(http://www.ns.kogakuin.ac.jp/~ft13389/education.html)

進藤さ講義ライ

(http://www.ns.kogakuin.ac.jp/~ft13245/lecture/2015/Phys2/index.html)

第 ₁ 回ニュン法則 _(6/13)

第 ₂ 回運動方程式一定力受け運動 _(6/20)

第 ₃ 回仕事エル _(6/27)

第 ₄ 回エル保存則 _(7/4)

保存力ポテンャルエル

ポテンャルエル計算

多次元ポテンャルエル偏微分

力学的エル保存則

第 ₅ 回単振動 _(7/11)

(16)

保存力ポテンャルエル

A ^点 B ^点ま ^力 ^受け ^質点 ^動く時

一般質点受け仕事量 _W

1 ^{, W} 2 ^{, W} 3 ^経路 ^異

し質点うけ仕事運動経路い _(W

1 ^{= W} 2 ^{= W} 3 ⁾ ^時

質点動す力保存力呼ぶ

保存力す仕事位置従

� = � � , , − � � , ,

位置関数 _U(x,y,z) 考えこ

こ関数 _U(x,y,z) 力 _� ポテンャル ₍ エル ₎ 呼ぶ

1. ^ポテン ^ャル ^カラ ^関数 ^あ ^ル ^扱い ^簡単

2. ^エ ^ル ^保存則 ^運動 ^解 ^く ^速 ^等 ^情報 ^得 ^こ

A

B

W ₁

W ₂

W ₃

2 1

3

(17)

標ｘ点標ｘ _+Δ ｘ点ま保存力動く際仕事 _ΔW

ΔW = F x Δ = U(x) – U( +Δ )

ここ _{� =}

− � +∆ −�

∆ ^(F ^x ^Δ ^間 ^一定 ^場合 ⁾

実際 _F

x ^{運動中変わ} ^え

式 _{Δ → 0} す _{� = −}

��

�

従 _-U(x) _F _x _x い原始関数 _� _{= − �} _�

物体点 _{A (} 標 _x _A ₎ 点 _{B (} 標 _x _B ₎ ま動く物体さ仕事

� = � � = −� = � − �

ポテンャルエル計算 ₍ 問 _2, 問 ₃ ₎

物理的興味あポテンャルエル差

従基準点人間勝手定めこ

( ^標 ^原点 ^人間 ^勝手 ^い ^同 ) ^簡単 ^ため ^一次元 ^考え

� = � , 0

(18)

多次元ポテンャルエル偏微分 ₍ 問 ₁₎

Θ

� = � , �

(x,y)

( _+Δ ^ｘ , _{+Δ )}

短い時間次元保存力 _{� = � , �} 受け

点 _(x,y) 点 ₍ +Δ , +Δ ) ^{へ動く物体} ^微小運動 ^考え

物体さ微小仕事 _ΔW

∆� = � ∆ + � ∆ = � , − � + ∆ , + ∆

Δ = 0 (y ^一定 ⁾ ^した _{� ∆ = � ,} _{− � + ∆ ,}

ここ _{Δ →0} 極限 _{� = −lim} _{∆ →}

� +∆ , −� ,

∆

こ右辺 _limit 以降 _U _x 偏微分び _{� = −}

�� ,

� ^う

∂ ^記号 ^用い ^表す

� = − ^{�� ,} _� ^, � = − ^{�� ,} _� ^ま ^め ^書く � = − ^�� _� , − ^�� _� = −∇�

( ^∇ : ^ブラ (nabla) ^呼ぶ微分 ^ル演算子 )

� = _�= ^�= � � ∙ ��

(19)

力学的エル保存則 ₍ 問 ₄₎

前回ライ最後式 _�� _� _{− ��} _� _{= �}

こ前力保存力場合成立式

� = � , , − � , ,

組合わせ

�� _� − �� _� = � , , − � , , ^す

�� _� + � , , = �� _� + � , , = ⁽ ^定数 ⁾

運動エル _{K = ��}

ポテンャルエル _U 和 _K+U=E 一定

こエル保存則呼ぶ

(20)

保存力非保存力

保存力：重力万有引力弾性力ロン ₍ 電磁気 ₎ 力

非保存力 _: 摩擦力垂直効力抵抗力人加え力 ₍ 外力 ₎

保存力保存さい力学的エル

実際化学エル熱エルエル原子核エル

様々形態エル存在し全エル保存す考えい

こう力学的エル種類エル転換しい状態

力学的エル散逸した状態あ呼ぶ

例 _{. 1.} 摩擦力 _: 力学的エル分子熱エル変換さ

2. ^核反応エ ^ル : ^原子核 ^質量 ^エ ^ル ^へ ^変換さ

(21)

2Q 「物理学 2 」対応第 5 回基礎講座 (2016/7/11) 資料 ( 福川 )

1 単振動の公式について

以下では単振動の運動方程式

m^d

2_x(t)

dt² ^{= −kx(t)} ^(1.1)

を解くことを考える。ここで、k はばね定数である。ばねの運動では、この微分方程式は全ての時刻 t で成り立っている必要がある (t = 0 秒で成り立っており、t = 100 秒で成り立っていないとなどということはありえない)。微分方程式 Eq. (1.1) を見ると

d²x(t)

dt² ^{∝ x(t)} ^(1.2)

であることが分かる。∝ は比例している (be proportional to) という意味の数学記号である。

ここで、微分方程式 Eq. (1.1) を解く前に指数関数 e^xについて振り返っておこう。e は自然対数の底でネイピア数と呼ばれている数である。値は e = 2.71828182845904523536 · · · であり、無限に続く、無理数 (更に細かく言えば超越数) という種類の数である。ネイピア数は、初めて対数を研究したジョン・ネイピアに因んでいる。e をはじめて見出そうとしたのは、17 世紀後半の数学者であるヤコブ・ベルヌーイであると呼ばれる。ベルヌーイによる e の定義は、現在の高校の教科書でも恐らく主流である、

e ≡ lim_n→∞ (

1 + ¹ n

)n

(1.3) である。これは利子の複利計算の関係で導き出された式である。また、≡ は右辺で左辺を定義する意味の数学記号である。この定義で、1/n = ∆t と書き換えると、

e = lim

∆t→0^{(1 + ∆t)}

∆t1 _(1.4)

となる。ここで、両辺を ∆t 乗すると、∆t → 0 の極限で

e = 1 + ∆t (1.5)

ここで、右辺を 1 になるように変形すると、

∆t→0lim

e^∆t_{− 1}

∆t ^{= 1} ^(1.6)

となる。これは、18 世紀の数学者であるオイラーにより発案された定義であり、以下ではこの定義を用いる。

この定義を用いると、 d(e^t)

dt ^{= lim}^∆t→0

e^t+∆t_{− e}^t

∆t ^{= e}

t _lim

∆t→0

e^∆t_{− 1}

∆t ^{= e}

t

1

(22)

から、 d dt^e

t_{= e}t _(1.7)

である。つまり、e^t の t による微分は e^t となり元に戻ることが容易に分かる。逆に、微分をして元に戻る関数は指数関数に関係した関数である。従って、Eq. (1.2) が成立するために、解は

x(t) = e^λt (1.8)

という形であると考えられる (他に x(t) = 0 [常に止まっている] という自明な解 (trivial solution)もあるが、ここでは運動する解を考えるので、x(t) ̸= 0 の解を考えよう)。Eq. (1.8) を Eq. (1.1) に代入して、λ を決定する。すると、

d²

dt²^{x(t) = λ}

2_eλt

= λ²x(t) であるので、

(mλ²+ k)x(t) = 0 (1.9) が成り立つ。x(t) ̸= 0 の解を考えるので、この式は x(t) で割ることができ、

mλ²+ k = 0 (1.10)

という式を導くことができる。この Eq. (1.10) を微分方程式 Eq. (1.1) の特性方程式と呼ぶ。m, k がともに正であることに注意すると、λ² _{= −}^k

m は負の数であるので、λ は虚数を用いて表されることが分かる。すなわち、

i ≡^√−1 ^(1.11)

で定義される虚数単位 (imaginary unit) を用いて、

λ = iω, −iω ^(1.12)

となる。但し、

ω =^{√ k}

m ^(1.13)

とした。もともと解を Eq. (1.8) のようにおいていたので、Eq. (1.1) には二つの解 x₁(t) = e^iωt, x₂(t) = e⁻^iωt (1.14) があることが分かる。

微分方程式 Eq. (1.1) の一般的な解を書くために、微分の線形性についても触れておく必要がある。微分という操作は関数 f1(t)を新たに ^d

dt^f¹^(t)とする数学上の操作 (数学用語を用いて言うと、関数から関数への写像) である。微分という操作が線型であるということは、以下の二つの式を満たすことである。a を定数とし、関数を f1(t), f2(t)とすると、

d

dt^(f¹^{(t) + f}²^{(t)) =} d dt1^{(t) +}

d

dt^f²^{(t) ,} d

dt^(af¹^{(t)) = a} d

dt^f¹^{(t) .} ^(1.15) 2

(23)

この二つの式を用いると、一般に定数 a1, a2 と関数 f1(t), f2(t)に対して d

dt^(a¹^f¹^{(t) + a}²^f²^{(t)) = a}¹ d

dt^f¹^{(t) + a}² d

dt^f²^(t) ^(1.16) が成り立つことが分かる。通常は線型性と書くとこの式をイメージすることが多い。 Eq. (1.16) を再度時間微分し、Eq. (1.16) 自身を繰り返し用いると、

d²

dt²^(a¹^f¹^{(t) + a}²^f²^{(t)) = a}¹ d²

dt²^f¹^{(t) + a}² d²

dt²^f²^(t) ^(1.17) が成り立つので、一般には n を整数として

dⁿ

dtⁿ^(a¹^f¹^{(t) + a}²^f²^{(t)) = a}¹ dⁿ

dtⁿ^f¹^{(t) + a}² dⁿ

dtⁿ^f²^(t) ^(1.18) が成り立つ。

微分方程式 Eq. (1.1) の解を書く話に戻る。Eq. (1.14) の解を用いると、微分の線型性から、

m^d

2

dt²^(a¹^x¹^{(t) + a}²^x²^(t)) ^{= m} (

a1

d²

dt²^x¹^{(t) + a}² d² dt²^x²^(t)

)

= a1

( m^d

2

dt²^x¹^(t) )

+ a2

( m^d

2

dt²^x²^(t) )

= a₁_(−kx₁(t)) + a₂_(−kx₂(t))

= −k(a¹^x¹^{(t) + a}²^x²^(t)) ^(1.19) である。よって、x1(t) と x2(t) の重ね合わせ

x(t) = a1x1(t) + a2x2(t) = a1e^iωt+ a2e⁻^iωt (a1, a2は定数) (1.20) もまた、微分方程式 Eq. (1.1) の解である。Eq. (1.20) の右辺の形を x1^{(t), x}2^(t) の一次結合と呼ぶ。また解がこのような一次結合で表されることを、解の重ね合わせの原理と呼ぶ。微分方程式 Eq. (1.1) の解は Eq. (1.20) のような、2 つの定数を持つことが知られているので、Eq. (1.20) が Eq. (1.1) の最も一般的な解といえる。従って、Eq. (1.20) は Eq. (1.1) の一般解と呼ばれ、x1(t), x2(t) は Eq. (1.1) の基本解と呼ばれる。基本解の選び方は一般には無数に存在するが (座標系の設定の仕方が無限に存在するのと同じ)、 x₁(t)/x₂(t) ̸= c (c は定数) となっている必要がある（このことを x1^(t) と x2^(t) が一次独立であると呼ぶ）。x1(t)/x2(t) = cであると (このことを x1(t) と x2(t) が一次従属であると呼ぶ)、x1(t) が x2(t) で書けるので、積分定数一つで解が書けてしまう。

実際には、x(t) は物体の位置を表しているのだから、一般解 Eq. (1.20) は実数であるはずである。従って、実数の組み合わせで書けるはずである。その準備として、複素数の共役ということを見ておこう。複素数は実数 a, b を用いて一般に

z = a + ib (1.21)

と表される。a を実部 (real part), b を虚部 (imaginary part) と呼び、よくそれぞれ Re z, Im z と書く。ここで、z の共役複素数 (complex conjugate) ¯z を虚部の符号を変えた、

z ≡ a − ib¯ ^(1.22)

3

(24)

で定義する。共役複素数の共役複素数は元の数に戻るので、

¯¯z = z (1.23)

また z が実数であるということは、b = 0 であるので、

z = ¯z (1.24)

であるということである。また、自身の共役複素数との足し算、または掛け算は z + ¯z = (a + ib) + (a − ib) = 2a,

z ¯z = (a + ib)(a − ib) = a² − iab + iab + i(−i)b² ^{= a}²^{+ b}² ^(1.25) となり、これらは実数になる。

一般解 Eq. (1.20) は書けたわけであるが、解が指数が複素数の指数関数 (以下複素指数関数と呼ぶ) で表されている。複素指数関数は何か？ということが当然問題になる。指数が実数の場合の指数関数 (以下実指数関数) を拡張して、複素指数関数を定義する。そのために、マクローリン展開を用いる。マクローリン展開とは、以下のようなものである。関数 f(z) が z について無限回微分可能 (実は変数が複素数の場合、関数が一回微分可能ならば無限回微分可能である) とすると、f(z) は多項式の和で表されて、

f (z) = f (0) +^{( df} dz⁽⁰⁾

) z + ¹

2! ( d²f

dz²⁽⁰⁾ )

z²_{+ · · · +} ¹ n!

( dⁿf dzⁿ⁽⁰⁾

)

zⁿ_{+ · · ·} (1.26) となる。ここで、複素指数関数と引数が複素数の三角関数を以下で定義する。

e^z _{≡ 1 + z +} ¹ 2!^z

2₊ ¹

3!^z

3₊ ¹

4!^z

4+ · · · cos z ≡ 1 − ¹

2!^z

2₊ ¹

4!^z

4_{+ · · ·}

sin z ≡ z − ¹ 3!^z

3₊ ¹

5!^z

5− · · ·

(1.27) ここで、z = iθ と置いて、e^iθ を実際に計算すると、

e^iθ = 1 + iθ + ¹ 2!^(iθ)

2_{+ +}¹

3!^(iθ)

3₊ ¹

4!^(iθ)

4

= (

1 −_2!¹^θ²⁺ _4!¹^θ⁴+ · · · )

+ i (

θ −_3!¹^θ³+ · · · )

= cos θ + i sin θ となるので、オイラーの公式

e^iθ = cos θ + i sin θ (1.28) が成り立つ。この複素共役は、

cos θ − i sin θ = cos(−θ) + i sin(−θ) = e⁻^iθ ^(1.29) 4

(25)

である。オイラーの公式から

eî(α+β)= cos (α + β) + i sin (α + β) であるが、一方、eî(α+β)= eîαeîβ なので

eî(α+β)= eîαeîβ = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β)

= (cos α cos β − sin α sin β) + i(sin α cos β + cos α sin β) であるから、三角関数の加法定理

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (1.30) が直ちに導ける。

一般解 Eq. (1.20) を書き直す準備が整った。x(t) は実数であるので、Eq. (1.24) を用いると、常に x(t) = x(t) が成立する。Eq. (1.20) の複素共役をとると、Eq. (1.29) を用い、

x(t) = a1e⁻^iωt+ a2e^iωt (1.31) となる。どんな t に対しても x(t) = x(t) が成立するためには

a1 = a2, a2 = a1 (1.32) である必要がある。ただし Eq (1.23) から、1 番目の式と 2 番目の式は同じ式を表す。したがって、a1 と a2 はお互いにもう一方の共役複素数なので、

a1 = ¹

2^(C¹ ^{− iC}²^), ^a² ⁼ 1

2^(C¹^{+ iC}²⁾ ^(C¹^{, C}²^は実数) ^(1.33) とおける。ここで、オイラーの公式 Eqs. (1.28), (1.29) を用いて Eq. (1.20) を書き直すと、

x(t) = a₁e^iωt+ a₂e⁻^iωt

= a₁(cos (ωt) + i sin (ωt)) + a₂(cos (ωt) − i sin (ωt))

= (a1+ a2) cos(ωt) + i(a1− a2) sin (ωt)

∴_{x(t) = C}₁cos (ωt) + C2sin (ωt) (1.34) と書ける。これが通常教科書に載っている公式である。ここでは、減衰振動解も導けるようなかなり一般的な微分方程式の解法を示したが、もちろん、cos (ωt), sin (ωt) が Eq. (1.1) の一次独立な基本解であることは、代入して微分方程式を満たすことを確認すれば、すぐに分かるので初めから Eq. (1.34) の形に書いてもちろん良い。

また、Eq. (1.34) から三角関数の合成を行うことも多い。合成は以下のように行う。 x(t) = C₁cos (ωt) + C₂sin (ωt)

= ^√C1²+ C2²

( C1

√C1²+ C2²

cos (ωt) +_√ ^C² C1²+ C2²

sin (ωt) )

= ^√C1²+ C2²(sin φ cos (ωt) + cos φ sin (ωt))

= A sin (ωt + φ) (1.35)

5

(26)

但し、

A =^√C1²+ C2², φ = tan⁻¹^C¹

C₂ ^(1.36)

である。また、最後の等式では加法定理 Eq. (1.30) を用いた。この Eq. (1.35) は振動の式である。この A を振幅 (amplitude), ωt + φ を位相 (phase) と呼ぶ。また、t = 0 の時の位相 φ を初期位相と呼ぶ。時間 t が 1 [s] 経過すると位相は ω 進むので、T = ^2π

ω ^[s] 経過すると位相が 2π 進んで元の状態に戻る。この T を周期 (period) と呼ぶ。また一秒間に f = ¹

T 振動することも分かる。これを振動数 (frequency) と呼ぶ。また、ω = 2πf を角振動数と呼ぶ。

また、Eq. (1.34) の実数 C1^{, C}2 は初期条件を解いて求めることができる。すなわち、 t = 0 の時 x(0) = x0, ^dx

dt^{(0) = v}⁰ とすると、Eq. (1.34) から、 dx

dt^{(t) = −ωC}¹sin (ωt) + ωC2cos (ωt) (1.37) なので、C1 = x0, ωC2 = v0 であるため、

x(t) = x0cos (ωt) + ^v⁰ ω0

sin (ωt) (1.38) となる。また、解として Eq. (1.35) の表式を用いると、

dx

dt(t) = Aω cos (ωt + φ) (1.39) なので、力学的エネルギー E は

E = ¹ 2^m

( dx dt^(t)

)2

+¹

2^k(x(t))

2

= ¹

2^m(Aω)

2_cos2_{(ωt + φ) +} ¹

2^kA

2_sin2_{(ωt + φ)}

= ¹ 2^kA

2_(cos2(ωt + φ) + sin²(ωt + φ)) (∵ Eq. (1.13)を代入)

= ¹ 2^kA

2 _(1.40)

となり、時間によらず一定になり、力学的エネルギー保存則が成り立つことが分かる。

6

基礎講座(工学院2016年度) 福川賢治のホームページ

基礎講 物理 ( 物理学 2 対応 先進 学部 情報学部対象 )

担当 : 福川賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin)

第 1 回 ニュ トン 法則 (6/13)

1. 運動方程式

2. 力 要素

3. 様々 力

第 2 回 運動方程式 一定 力を け 運動 (6/20)

第 3 回 仕 エネ (6/27)

第 4 回 エネ 保存則 (7/4)

第 5 回 単振動 (7/11)

運動 法則

物体 質点 あ 時 ( 物体 十分 小さく 点 あ 時 )

以 法則 立

第一法則 ( 慣性 法則 )

物体 力 働 い 静 い 物体 静 あ

動い い 物体 一定 速 ( 加速 ) 一直線 を動 続け

( 注 : 物体 元 運動状態を保 う 性質を慣性 呼ぶ )

第 法則 ( ニュ トン 運動方程式＇

質点 加速 物体 力 比例

質量 m を右 式 定義 �� =

第 法則 ( 作用 反作用 法則 )

質点 A 質点 B 力を及ぼ 時 ( 作用 )

時 質点 B 質点 A 大 さ 逆向 力を及ぼ ( 反作用 )

こ 力 一作用線 あ

質点 い

1. 大 さ 考え く 良い 質量 あ 良い物体

2. 大抵 物体 遠く 見 ば質点 あ 以 質点を中心 扱う

3. 物体 自転や 建築物等を扱う時 大 さを考え 必要 有

質点 扱うこ い 質点 積 重 積分を用い 記述

( 剛体 力学 弾性体力学 流体力学 )

慣性 法則 運動方程式 関係

運動方程式 � = 0 時 � = 0

一見 慣性 法則 不要 見え

標系自体 加速 運動 い 時 ( 加速 系 ) 慣性 法則 立 い

慣性 法則 立 標系を慣性系 ( 静 系 等加速 運動 系 ) 呼ぶ

運動方程式 慣性系 立 非慣性系 修 必要 あ ( 慣性力 )

慣性 法則 運動を記述 標系を規定

運動方程式 単位

SI 単位 : 力学 用い 主 SI 基本単位 3 ( 全部 7 )

m ( ト ) kg ( ) s ( 秒 )

質量 SI 単位 : [kg]

加速 単位 : ( 加速 )=( 速 変化 )/( 時間 ), ( 速 ) = ( 位置 変化 )/ ( 時間 )

従 単位 [m/s 2 ]

従 力 単位 [kg m/s 2 ] ニュ トン [N] いう別 付い い

1 kg 1 m/s 2 = 1 N (SI 組立単位 一 )

= �� 微分を用い 書く = � � �

辺 通常 時間 t 位置 � 速 � 関数 � �, �, �

運動方程式 ( 微分方程式 ) を解く 物体 運動 決定 ( 予言 ) ( 問 1)

力 要素

力 要素

1. 大 さ 2. 力 向 3. 作用点 ( 力 働い い 場所 着力点 いう ) あ

力 示 力 矢印 始点 力 作用点 あ

力 合 分解

力 ベ ト 足 算

一 質点 2 力 � � い

� 2 力 等 働 を

� を合力 呼び � を求 操作を力 合 呼ぶ

一方力 質点 い 時 � を � � 分け こ

を求 操作を力 分解 呼び

を分力 呼ぶ 合 異 分解 方法 無数 あ

� �

�

重力

重力 ( 電磁気を考え け ば ) 唯一 遠隔力 あ

体 地球 々 間 万有引力 (+ 地球 自転 遠心力 )

自由落 運動を引 起こ 力 あ 重力加速 g = 約 9.8 m/s 2

万有引力

質量を持 全 物体 間 働く力 2 物体 質量を M [kg], m [kg]

力 大 さ Ｆ =

��

�

万有引力定数 G = 6.67 × 10 -11 N m 2 /kg 2 ( ン力 比べ 非常 弱い力 )

ン力

電荷 ( 電気量 ) を持 全 物体 間 働く力 2 物体 電荷を Q [C], q [C]

力 大 さ Ｆ � = �

�

2 k =9.0 × 10 9 [N m 2 /C 2 ]

重力 比べ比例定数 大 い 電荷 負 電荷 ャン こ 多い

垂直抗力

基礎講物理 ₍ 物理学 ₂ 対応先進学部情報学部対象 ₎

担当 _: 福川賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin)

第 ₁ 回ニュトン法則 _(6/13)

1. ^{運動方程式}

2. ^力 ^要素

3. ^様々 ^力

第 ₂ 回運動方程式一定力をけ運動 _(6/20)

第 ₃ 回仕エネ _(6/27)

第 ₄ 回エネ保存則 _(7/4)

第 ₅ 回単振動 _(7/11)

運動法則

物体質点あ時 ₍ 物体十分小さく点あ時 ₎

以法則立

第一法則 ₍ 慣性法則 ₎

物体力働い静い物体静あ

動いい物体一定速 ₍ 加速 ₎ 一直線を動続け

( ^注 : ^物体 ^元 ^{運動状態を保} ^う ^{性質を慣性} ^呼ぶ )

第法則 ₍ ニュトン運動方程式＇

質点加速物体力比例

質量 _m を右式定義 _{�� =}

第法則 ₍ 作用反作用法則 ₎

質点 _A 質点 _B 力を及ぼ時 ₍ 作用 ₎

時質点 _B 質点 _A 大さ逆向力を及ぼ ₍ 反作用 ₎

こ力一作用線あ

質点い

1. ^大 ^さ ^考え ^く ^良い ^質量 ^あ ^良い物体

2. ^大抵 ^物体 ^遠く ^見 ^ば質点 ^あ ^以 ^{質点を中心} ^扱う

3. ^物体 ^自転や ^{建築物等を扱う時} ^大 ^さを考え ^必要 ^有

質点扱うこい質点積重積分を用い記述

( ^剛体 ^力学 ^{弾性体力学} ^流体力学 )

慣性法則運動方程式関係

運動方程式 _{� = 0} 時 _{� = 0}

一見慣性法則不要見え

標系自体加速運動い時 ₍ 加速系 ₎ 慣性法則立い

慣性法則立標系を慣性系 ₍ 静系等加速運動系 ₎ 呼ぶ

運動方程式慣性系立非慣性系修必要あ ₍ 慣性力 ₎

慣性法則運動を記述標系を規定

運動方程式単位

SI ^単位 : ^力学 ^用い ^主 SI ^基本単位 3 ( ^全部 7 )

m ( ^ト ) kg ( ) s ( ^秒 )

質量 _SI 単位 _{: [kg]}

加速単位 _{: (} 加速 ₎₌₍ 速変化 _)/( 時間 _{), (} 速 _{) = (} 位置変化 _{)/ (} 時間 ₎

従単位 _[m/s ² _]

従力単位 _{[kg m/s} ² _] ニュトン _[N] いう別付いい

1 kg 1 m/s ² = 1 N (SI ^組立単位 ^一 )

= �� ^{微分を用い} ^書く = � _� ^�

辺通常時間 _t 位置 _� 速 _� 関数 � �, �, �

運動方程式 ₍ 微分方程式 ₎ を解く物体運動決定 ₍ 予言 ₎ ₍ 問 ₁₎

力要素

力要素

1. ^大 ^さ 2. ^力 ^向 3. ^作用点 ( ^力 ^働い ^い ^場所 ^着力点 ^いう ) ^あ

力示力矢印始点力作用点あ

力合分解

力ベト足算

一質点 ₂ 力 _� _� い

� 2 ^力 ^等 ^働 ^を

� ^を合力 ^呼び � ^を求 ^操作を力 ^合 ^呼ぶ

一方力質点い時 _� を _� _� 分けこ

を求操作を力分解呼び

を分力呼ぶ合異分解方法無数あ

� _�

重力 ₍ 電磁気を考えけば ₎ 唯一遠隔力あ

体地球々間万有引力 ₍₊ 地球自転遠心力 ₎

自由落運動を引起こ力あ重力加速 _{g =} 約 _{9.8 m/s} ²

質量を持全物体間働く力 ₂ 物体質量を M [kg], m [kg]

力大さＦ ₌

万有引力定数 _{G = 6.67} × ₁₀ ^-11 _{N m} ² _/kg ² ₍ ン力比べ非常弱い力 ₎

電荷 ₍ 電気量 ₎ を持全物体間働く力 ₂ 物体電荷を Q [C], q [C]

力大さＦ _{� = �}

2 ^{k =9.0} ^× ¹⁰ ⁹ ^{[N m} ² ^/C ² ^]

重力比べ比例定数大い電荷負電荷ャンこ多い

物体接触い時接触面垂直力

大概接触面垂直方向対物体静こ時接触面垂直方向合力 ₀

物体作用合力 ₀ 時こ力合い呼ぶ

( ^注 : ^重力 ^垂直抗力 ^別個 ^力 ^あ ^作用 ^反作用 ^関係 ^い！

重力反作用物体地球力 ₎

摩擦力 ₍ 問 ₇₎

物体接触い時接触面平行働く力

静摩擦力 ₍ 物体静い ₎ 動摩擦力 ₍ 物体運動い ₎ あ

最大静摩擦力動出直前働く力を最大静摩擦力呼ぶ