基礎講座(工学院2017年度) 福川賢治のホームページ

物理基礎講座 電気回路 (全３回集中講座)

担当: 福川 賢治

(hががpか:４４かiがeか３google３com４かiがe４kfきkきkawa00４kogakきin2017)

第 1 回 (12/4) 抵抗 性質

0３

1３ 回路 基本⽤語

2３ 回路 基本法則 ( ーム 法則

ッフ 法則)

3３ 抵抗 直列接続 分圧 公式

4３ 抵抗 並列接続 分流 公式

5３ 電⼒

0.

1３

講座 直流回路 基礎 扱い

2３ 初回 簡単

思

徐々 難 く

い

継続

受講

勧

ま

3. 単位 取

保証

あ ませ

最終的

勉強次第

基礎講座 取 扱

い

問題 解

⽬指

う

３ ライ

私 HP 置

注意事項

1３ 私語 慎

く

い 質問 い

構い

(個別指導

質問 歓迎)

2３ ⾷事 控え く

い

⽔分補給 周囲

汚

い う気

⾏

く

い

3３

イ 等 ⾃由 ⾏

い

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参考書

・ 読 本 (読 い 疲 い本)・⾃分 相性 良い本 (読 意味 わ ？) ・⻑く使え う いう観点 ⼤事

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電気回路 参考書

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関連

科⽬

数学 … (直流) 連⽴⽅程式 解法 (交流) 三⾓関数 複素数

電磁気学 ( ウ 法則 ン ー 法則 フ ラ ー 法則) Maxwell ⽅程式

更 進

科⽬

過渡現象論 波形 限定 電流や電圧 時間変化 考え

数学的取 扱い 微分⽅程式 知識 必要 (物理学 A 取 扱 変数分離 単振動型等) 直流理論 交流理論 過渡現象論 合わ

集中定数回路理論 (電位差 ⽣ 抵抗 コイ コン ンサー等 素⼦ ) 呼ぶ

他 導線 抵抗等 考慮 必要 あ 時 分布定数回路理論 あ 周波数 ⾼い時や 導線 ⻑ ⻑い時 対応

電⼦回路 更 ラン イ ー 半導体素⼦ 加え 回路 取 扱う

1. 回路 基本⽤語

電荷 Q [C] … 電気量 意味 ⽤い 単位 [C] (Coきlomb) + ー あ 電流 I [A] … あ 断⾯ 電荷 Q [C] 微⼩時間 が [か] 間 通過 時

I = Q/が 単位 [A]=[C/か] (アン ア Ampeおe)

実体 ⾃由電⼦ 呼 電⼦ 流 電流 向 電⼦ 流 逆向

(例 1３1) 導体 断⾯ が = 3 秒間 Q = 6 [C] 通過 電流 I I =Q４が = 6４3 = 2 [A] 電位 … 1 [C] あ テン ャ エネ ー 単位 [V] = [J/C] (Volが, ト) 電圧(電位差) V [V] … 2 点間 電位 差 物体 ネ ー 低い⽅ 流

電圧 存在 電流 電位 ⾼い⽅ 電位 低い⽅へ流

(問 1３1) 点 A 電位 12 [V]１ 点 B 電位 3 [V] 時 AB 間 電圧 いく 2 [C] 電荷 B A 運ぶ 必要 仕事 いく

−

−

−

−

電流 電⼦ 流

1. 回路 基本⽤語 (続 )

電気回路…電流 流 閉 い 必要

電気回路 解析

各素⼦ 性質 各枝 枝電流 枝電圧 (電流電圧分布) 決定

→ 枝電流 枝電圧 変え い う 簡単 回路 (等価回路) 考え

電池 抵抗

回路 部品 (素⼦)

電池 … 起電⼒(起電圧 発⽣・維持 ) 内部抵抗 ( 内部抵抗 考え い場合 多い)

抵抗 … 電源 得 ネ ー 消費 (負荷)

導線 抵抗 あ 抵抗 ⽐べ ⾮常 ⼩ く無視 節点 … 回路 端⼦ 接続点 (図 ⿊点)

枝 … 節点間 電流 流 経路

左図 回路 枝 3 本 (上・中・下) 枝電流 … 各枝 流 電流

枝電圧 … 枝 端⼦間 電圧

閉路 ( ー ) … あ 節点 出発 戻 く 回路上 経路

2. 回路 基本法則

◎ ーム 法則 (抵抗素⼦ 性質)

右図 回路 電流 I [A] 抵抗 存在 場合

電池 起電⼒ V [V] ⽐例 V = RI ⇔ I = V/R 書 R 抵抗 (電気抵抗) 呼ぶ 単位 [Ω] ( ーム ohm) R ⼤ いほ 電流 I 流 くく

電流 I 抵抗 R 通過 RI 電位 低く 現象 電圧降下 呼ぶ

◎ ヒ ッ 電流 法則 (第 1 法則 講義 以下電流則)

任意 節点 い (流⼊ 枝電流 和)= (流出 枝電流 和) 成 ⽴ 電荷 保存則 表

◎ ヒ ッ 電圧 法則 (第 法則 講義 以下電圧則)

Σ(閉路 沿 起電圧)− Σ (閉路 沿 電圧降下) = 0

任意 点 電位 1 定 保証 エネ ー保存則 表

電圧V[V]

電位低

電位⾼

電流 I [A]

抵抗 R [Ω]

3. 抵抗 直列接続 分圧 公式

ヒ ッ 電流則 3 抵抗 流 電流 I 等 い ーム 法則

抵抗 電圧降下 V₁ = R₁I１ V₂ = R₂ I１ V₃ = R₃I

ヒ ッ 電圧則

V ２ (V₁+V₂+V₃ )= 0

V２(R₁I+R₂I+R₃I) = 0 ( 代⼊)

V = (R₁+R₂+R₃)I … (※) ∴� = #

$_%&$_'&$₍ = # $

(※) 3 直列 接続 抵抗 R₁１ R₂１ R₃ 1 合成抵抗

R = R₁+R₂+R₃ 電流電圧分布 変え い (等価回路)

⽰ 抵抗 電圧降下

�_� = ���

� , �� = � �_�

� , �� = � �_�

�

抵抗 数 n 個 場合 ⼀般化

◎合成抵抗 (直列)

n 個 抵抗 R₁１ R₂１ … １ R_n 直列 接続 時 合成抵抗 R R=R₁+R₂+…+R_n

R = R₁+R₂+R₃

電圧 V [V] 電流 I [A]

等価回路

R₁ R₂ R3

3. 抵抗 直列接続 分圧 公式 (続 )

時抵抗 R₁１ R₂１ … １ R_n 電圧降下 V₁１ V₂１ … １ V_n

�_� = ���

� , �� = � �_�

� , …, �� = � �_�

� あ V1:V2: … : Vn = R1: R2: … Rn あ

[(電圧降下 ⽐) = (抵抗 ⽐)]

抵抗 分圧 利⽤ 電圧計 直列 接続 電圧計 測定範囲 広 倍率器 あ

120 [V]

1 kΩ 2 kΩ 3 kΩ

I

(問1３2) 電流 I 抵抗

電圧降下 求 い (問 1３3) 内部抵抗 3 kΩ 最⼤⽬盛 50 V 電圧計200 V 測定 う い

倍率器 値 何 Ω 良い

E[V]

素⼦

V 倍率器

4. 抵抗 並列接続 分流 公式

ヒ ッ 電圧則 3 抵抗 電圧降下 等 くV あ ーム 法則 抵抗 電圧降下 V= R₁I₁ = R₂ I₂ = R₃I₃

ヒ ッ 電流則

I=I₁+I₂+I₃ I₁１ I₂１ I₃ V 表

� = # $_% + # $_' + # $₍ = 0 $_% + 0 $_' + 0 $₍ �

ーム 法則 I = V４R ⽐較 並列 場合 合成抵抗 R �

� = � �_� + � �_� + �

�_� 求

V=RI �_� = �

�_��, �� = �

�_��, �� = � �_� �

抵抗 数 n 個 場合 ⼀般化

◎合成抵抗 (並列)

n 個 抵抗 R₁１ R₂１ … １ R_n 並列 接続 時 合成抵抗 R �

� = � �_� + � �_� + ⋯ + � �_� R

電圧 V [V]

R₂

R₃

電圧 V [V]

4. 抵抗 並列接続 分流 公式 (続 )

時抵抗 R₁１ R₂１ … １ R_n 流 電流 I₁１ I₂１ … １ I_n

�_� = �

�_��, �� = �

�_� �,…, �� = �

�_� � あ

I₁:I₂: … : I_n = (1/R₁): (1/R₂): … : (1/R_n) あ [(電流 ⽐) = (抵抗 逆数 ⽐)]

各抵抗 R_n い (1/R_n) 電流 流 や さ 表 い 解釈 良い

抵抗 分流 考え⽅ 利⽤ 電流計 並列 接続 測定範囲 広 分流器 あ

(問1３4) 電流 I 抵抗 電圧降下 求 い

120 [V]

1kΩ

2 kΩ

3 kΩ

I

(問 1３5) 内部抵抗 0３5 Ω１ 最⼤⽬盛 50 mA 電流計

分流器 い 300 mA 測定 う い 分流器 抵抗 何 Ω い

E[V]

素⼦

A 分流 器

2017４12４8

5. 電⼒

電流 電源 通過 時 電流 電源 電気的 ネ ー 得

電流 抵抗 通過 時 電流 電気的 ネ ー 失い [抵抗 電気 ネ ー 消費 ] 分熱 ネ ー( ュー 熱)

電荷 Q [C] 電圧 V [V] あ 2 点 間 運ぶ時 や 取 ネ ー QV [J] (問 1３1) 電⼒ P (elecがおic poweお)

単位時間当 や 取 電気的 ネ ー 量 単位 [W] = [J/か] (Waがが, ワット) QV [J] が [か] や 取 電⼒ P P = QV４が = V(Q４が) = VI

P=VI 書

抵抗 消費電⼒ ーム 法則 V=RI P = (RI)I=RI2 抵抗 消費電⼒ P=RI2

熱 仕事当量

熱 ネ ー 単位 cal (caloおie, ロ ー) ⽤い 多い 1 cal 1 g ⽔ 温度 1 ℃ 上昇させ 必要 熱量 定義

(問 ３6)

下 図 回路 2 Ω 抵抗 流 電流 I 及び Ω 抵抗 消費 消費電⼒ 求

2 Ω 抵抗 消費 消費電⼒ ⽔ 1 kg 温度 10 ℃ 上昇

程度 時間 必要 1 cal =0３24 J

100[V]

3 Ω

6 Ω 2 Ω

(問 1３7)

下 図 回路 端⼦対 ab 間 合成抵抗

12 Ω あ 末端 12 Ω 流 電流 全体 電流 1４3 あ いう

抵抗 お₁１ お₂ 値 いく あ

1 Ω

I お1

お₂ 12Ω a

b

物理基礎講座 電気回路 (全３回集中講座)

担当: 福川 賢治

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第 2 回 (12/11) 回路網解析 基本

0. 前回 復習

電流 I [A] … I = Q/が 電位 [V]=[J/C] … 1 [C] あ ポテン ャ エネ ー 電圧(電位差) V [V] … 2 点間 電位 差

電圧 存在 電流 電位 ⾼い⽅ 電位 低い⽅へ流

回路 基本法則

◎オーム 法則 (抵抗素⼦ 性質) V = RI ⇔ I = V/R

◎ ヒホッ 電流則

任意 節点 い (流⼊ 枝電流 和)= (流出 枝電流 和) 成 ⽴

◎ ヒホッ 電圧則 Σ(閉路 沿 起電圧)− Σ (閉路 沿 電圧降下) = 0

抵抗 合成

◎ 直列 合成抵抗 分圧 公式 R=R₁+R₂+…+R_n, V₁:V₂: … : V_n = R₁: R₂: … R_n

[(電圧降下 ⽐) = (抵抗 ⽐)] (応⽤:倍率器)

◎ 並列 合成抵抗 分流 公式

I₁:I₂: … : I_n = (1/R₁): (1/R₂): … : (1/R_n) [(電流 ⽐) = (抵抗 逆数 ⽐)]

各抵抗 R_n い (1/R_n) 電流 流 や さ 表 い 解釈 良い

◎電⼒ P=VI 抵抗 場合 P=(RI)I=RI2

� = � �_� +

�

�_� + ⋯ + � �_�

電気回路 解析

各枝 枝電流 枝電圧 (電流電圧分布) 決定

オーム 法則 合成抵抗 決定 良い

回路 複雑 決定 い場合 多い

グ …節点 枝 接続関係 指定

さ い (図 (b))

右 回路 枝 数 3 本

決 べ 電圧 電流 ぎ₁~ぎ₃１ i₁~i₃ 計６個

し 2×3 = 6 個 ⽅程式 得 こ 良い

⼀般 枝 数 b 本

2 b 個 ⽅程式 得 必要 あ

1. 基礎解析法

グ 理論 以下 う し ⽅程式 作 良い(証明略)

枝 数 b 本 節点 数 n 個 し

1. b-n+1 (上 例 3-2０1 = 2) 個 ー 対 ヒホッ 電圧則 ⽤い

2. n-1 (上 例 2-1 = 1) 個 点 対 ヒホッ 電流則 ⽤い

3. 素⼦ 性質 枝 い b 個 電圧 電流 関係式 作 (素⼦⽅程式)

こ (b-n０1)-(n-1)０b = 2b 個 ⽅程式 得

図 (a) 電気回路

図 (b)

回路 対応 グ b₁

b₂

b₃

n1 n2

2Ω 5Ω

22V 15V

ぎ_1１ i₁

ぎ_2１ i₂

ぎ_3１ i₃

基礎解析法 例

⽮印 向 注意

こ 講座 上 う 書い 節点 n₂ 節点 n₁ v 電位 ⾼く

n₁ n₂ 向 電流 i 流 い

(※) 計算し 結果 i 負

実際 n₂ n₁ 向 − i 電流 流 い 考え

1. ー L₁, L₂ 対 ⾃分 ー 向 決

ヒホッ 電圧則 ⽤い

(こ う ー 中 枝 含ま い ー 選び⽅ 網⽬閉路 呼ぶ)

L₁ -ぎ₁０ぎ₂ = 0 L₂ -ぎ₂０ぎ₃ = 0 ∴ L ぎ₁ = ぎ₂ = ぎ₃

2. 節点 n₁ 対 ヒホッ 電流則 ⽤い N i₁０i₂０i₃ = 0

3. 枝 対 素⼦⽅程式 ⽴ b₁ ぎ₁ = -5i₁０15 b₂ ぎ₂ = -2i₂ b₃ ぎ₃ = -3i₃０22

式 b₁~式 b₃ 式 L₁・式 L₂ 代⼊し L₁ (-5i₁０15)-(-2i₂) = 0 L₂ (-2i₂)-(-3i₃０22) = 0

式 L₁１ 式 L₂１ 式 N i₁ ~i₃ い 連⽴⽅程式 し 解 i₁= 1[A] １ i₂ = −5 [A]１ i₃ = 4 [A]

22V 15V

ぎ_1１ i₁

ぎ_2１ i₂

ぎ_3１ i₃

3Ω

ぎ１ i

n₁ n_{2 L}

1

n_{1 n2} b₁

b₂

b₃

L2

2. 節点解析法

基礎解析法 ⻑所 … 電気回路 基本 ⽅程式 全 揃 い

短所 … 未知数 多い 回路 複雑 時 ⼿計算 解け

現実的 解析⼿法 し 節点解析法 ー 電流法 存在

節点解析法 … 節点 電位 ( ー 巡回 電流) 未知数 し 必要 ⽅程式 作

あ 1 節点 電位 0 (基準点) し 他 節点 電位 未知数

節点電位 仮定 ⾃動的 ー け ヒホッ 電圧則 満 さ

1. 素⼦⽅程式 ⽤い 枝電流 表

b₁ e₁ - 5i₁０15 = 0 → i₁ = (e₁０15)/5

b₂ e₁ - 2i₂ = 0 → i₂ = e₁/2 b₃ e₁ - 3i₃０22 =0 → i₃ = (e₁０22)/3

2. 節点 n₁ 対 ヒホッ 電流則 ⽤い

N i₁０i₂０i₃ = 0 → (e₁０15)/5 ＋e₁/2＋(e₁０22)/3 = 0

整理 (31/30)e₁０(31/3)=0

分⺟ 払う 31e₁０310 = 0 ∴ e₁ = -10

並列 部分 多い時 未知数 少 く 有効 解析⼿段

15V

2Ω 5Ω

n₁

(e₁) n(0)2

3. ー 電流法

ー 電流法 … ー 電流 ( ー 巡回 電流) 未知数 し

必要 ⽅程式 作 閉路( ー ) し

枝 交差し い う 簡単 回路 い 網⽬閉路 ⼗分

こ 時 特 網⽬電流 網⽬電流法 呼ぶこ あ

ー 電流 仮定

⾃動的 節点 け ヒホッ 電流則 満 さ

例) i₁ = -I₁１ i₂ = I₁-I₂１ i₃ = I₂

4 ページ 式 N i₁０i₂０i₃ = 0 (-I₁)０(I₁-I₂)０I₂ = 0

ー 電流 具体的 値 わ 満 さ

1. 枝電圧 素⼦⽅程式 ⽤い ー 電流 表

b₁ ぎ₁ = -5i₁０15 = 5I₁０15 b₂ ぎ₂ = -2i₂ = -2(I₁-I₂) b₃ ぎ₃ = -3i₃０22=-3I₂０22

2. ー L₁, L₂ 対 ヒホッ 電圧則 ⽤い

L₁ -ぎ₁０ぎ₂ = -(5I1０15)-2(I₁-I₂)＝ ∴ 7I₁-2I₂ = -15

L₂ -ぎ₂０ぎ₃ = 2(I₁-I₂)０(-3I₂０22)=0 ∴ -2I₁０5I₂ =22 こ 解い I₁= -1[A] １ I₂= 4 [A]

22V

15V

2Ω 5Ω

L₁１ I₁

L₂１ I₂ ぎ₁

ぎ₂

ぎ₃

4.

ッ 回路

図 う ッジ回路 ー 電流法 使 解析

枝 数 6 本 枝 1~6 名前 け

図 う 枝電圧 ぎ₁ 〜 ぎ₆ 名付け

ま 網⽬閉路 考え ー 3 あ

ー L₁ ~ L₃ 閉路電流 I₁ ~ I₃ 図 う 名付け

1. 枝電圧 ー 電流 表

ぎ₁ = E１ ぎ₂ = −R₁I₂１ ぎ₃ = −R₃(I₁-I₂)１

ぎ₄ = −R₂I₃１ ぎ₅ = −R₄(I₁-I₃)１ ぎ₆ = −R₅(I₂-I₃)

2. 各 ー 対 ヒホッ 電圧則 ⽤い

L₁ ぎ₁０ぎ₃０ぎ₅ = 0 → E−R₃(I₁-I₂)−R₄(I₁-I₃) = 0 ∴ (R₃０R₄)I₁−R₃I₂−R₄I₃ = E

L₂ ぎ₂−ぎ₃＋ぎ₆ = 0 → −R₁I₂ ０ R₃(I₁-I₂)−R₅(I₂-I₃) = 0 ∴−R₃I₁０(R₁０R₃０R₅)I₂−R₅I₃ = 0

L₃ ぎ₄−ぎ₅−ぎ₆ = 0 → −R₂I₃ ０ R₄(I₁-I₃)０R₅(I₂-I₃) = 0 ∴−R₄I₁−R₅I₂０(R₂０R₄０R₅)I₃ = 0

式 L₁ ~ L₃ I₁~I₃ い 連⽴⽅程式 し 解

R_{1 R2}

R₃ R₄ R₅

L₁１ I₁ L₂１ I₂ L₃１ I₃

E [V] ぎ₁

ぎ₂

ぎ₃

ぎ₄

ぎ5

4.

ッ 回路 (続 )

◎ 特殊 ケー

I₂ = I₃ = I 場合 真 中 抵抗 R₅ 流 電流 I₂−I₃ = 0 あ

電流 流 い 真 中 抵抗 R₅ 上下 節点 等電位 あ

こ 時 ッ 平衡 い 呼ぶ こ 時

L₁ (R₃０R₄)I₁−(R₃０R₄)I = E L₂ −R₃I₁０(R₁０R₃)I = 0 L₃ −R₄I₁０(R₂０R₄)I = 0 式 L₂ I₁ = )_*+)_,

)_, I こ 式 L3 代⼊

)_- )_*+)_,

)_, I = �0 + �1 I

ここ 式 L₁ I₁ = I = 0 いう解 存在し い I 0 い

し )_- )_*+)_,

)_, = �0 + �1 → R4(R1０R3)=R3(R2０R4)

∴ R₁R₄ = R₂R₃ ( ッ 平衡条件)⇔ R₁ : R₂ = R₃ : R₄ (電圧降下 同 ⽐ 起こ い )

ッジ 平衡 あ 場合 真 中 抵抗 R₅ 上下 節点 等電位 電流 流 い

等電位 あ 節点 短絡 こ 便利 ケー

例題 2.1 左図 下 流 い 電流 I 求 抵抗 値 全部等し 4Ω あ

(解答) 中図 実線 結 節点 等電位 あ 短絡し 電流電圧分布 変え い

し こ 左 2本 4本 4本 2本 抵抗 並列

直列 い 回路 等価 (右図)

し 全合成抵抗 (4/2)０(4/4)０(4/4)０(4/2) = 6 [Ω]

流 電流 I = 24/6 = 4 [Ω]

24 [V] I

≡

4[Ω]

2[Ω]

≡

2[Ω]

1[Ω]

(問題 2.0)

下図 回路 い 枝 b₁~b₆１ 節点 n₁~n₃１

閉路 L₁~L₃ 選び基礎解析法 式 全 書 さい

(問題 2.1)

下図 回路 い 枝電流 i₃

ー 電流法 ⽤い 求 さい

b₂

b_{1 b}

3

i_3１ぎ₃

L₁１ I₁ L2１ I2 ぎ2 ぎ₁

L₃１ I₃

b₄ ぎ₄ b5 ぎ5

b₆ ぎ₆ 5Ω 2Ω

3Ω

1Ω 7Ω

3Ω

18[V]

L₂１ I₂ L3１ I3

ぎ₁

11 [V] 1 1 4 4 5

L₁１ I₁ ぎ₆

ぎ₂ ぎ4

ぎ₃ ぎ5

(問題 2.2)

ー 電流法 ⽤い 下図 ッジ回路

け ぎ₆ 求 さい し 四⾓ 中 数字

抵抗値 表し 単位 Ω

n₁

n₂

(問 2.4)

下図 ⽴⽅体 い 合成抵抗 R_ag 求 さい し 辺 抵抗 皆等し 12 Ω

a

b

c d

e _f

h g

4 (問 2.3)

下図 ッジ回路 い

下 枝 流 電流 I 求 さい

6

6 9

30 [V]

し 四⾓ 中 数字 抵抗値 表し 単位 Ω

1

物理基礎講座 電気回路 (全３回集中講座)

担当: 福川 賢治

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第 3 回 (12/18) 重 合わせ 理 テ ナン 定理

0. 前回 復習

1. 重 合わせ 理

2. テ ナン 定理

0. 前回 復習

電気回路 解析 …

枝 枝電流 枝電圧 (電流電圧分布) を決定

枝 b 本あ 本来⽴式 べ 式 本数 2b 本 あ 効率 良い未知数 設定 仕

⽅を⾏い 連⽴⽅程式を解 や く

◎ 節点解析法 …節点 電位 未知数 (未知数 数 n-1 個) 並列部分 多い 有効

[1. キルヒホッ 電圧則 ⾃動的 満 さ ]

2. 素⼦⽅程式を⽤い 節点 電位 枝電流を表

3. 必要 数 節点 対 キ ヒホッ 電流則を⽤い

◎ ー 電流法 … ー 電位 未知数 (未知数 数 b-n+1 個) ⽤い こ 多い

[1. キルヒホッ 電流則 ⾃動的 満 さ ]

2. 素⼦⽅程式を⽤い ー 電流 枝電圧を表

3. 必要 数 ー (多く 場合網⽬閉路) 対 キ ヒホッ 電圧則を⽤い

◎ ッ 回路

R₁R₄ = R₂R₃ ( ッ 平衡条件)⇔ R₁ : R₂ = R₃ : R₄ (電圧降下 同 ⽐ 起こ )

等電位 電流 流 い 抵抗 導線 置 換え も(短絡)

1. 重 合わせ 理

多数 起電⼒ 存在す

線形 回路網

(抵抗値やイン ーダン

⼀定 素⼦

)

い

枝電流・枝電圧 分布

起電⼒

単独 存在

い 時 電流分布を⾜ 算

も

あ

22V 15V

v_1, i₁

v_2, i₂

v_3, i₃

3Ω 5Ω

2Ω

15V

vʼ₁, iʼ₁

vʼ_2, iʼ₂

vʼ_3, iʼ₃

3Ω 2Ω

5Ω vʼ1=vʼ2 = vʼ3 =

90/31 [V]

iʼ₁ = 75/31 [A] iʼ₂ = − 45/31 [A] iʼ₃ = − 30/31 [A]

22V

vʼʼ_1, iʼʼ₁

vʼʼ_2, iʼʼ₂

vʼʼ_3, iʼʼ₃

3Ω 5Ω

2Ω

vʼʼ₁=vʼʼ₂ = vʼʼ₃ = 220/31 [V]

iʼʼ₁ = −44/31 [A] iʼʼ₂ = −110/31 [A] iʼʼ₃ = 154 /31 [A]

v₁ = v₂ = v₃

= 90/31+220/31 = 310/31 = 10 [V] i₁ = iʼ₁+iʼʼ₁= 1 [A] iʼ₂ = iʼ₂+iʼʼ₂ = −5 [A] iʼ₃ = iʼ₃+iʼʼ₃= 4 [A]

上 電源 残し 下 電源 除去 (短絡) 下 電源 残し 上 電源 除去 (短絡)

(※)重 合わせ 理 前回紹介し 回路 ⽅程式 線形(電圧や電流 1 次式)

あ こ い 線形性 あ こ 重 合わせ 原理 成 ⽴

振動・波動論 電磁気学・量⼦⼒学等 物理学 幅広い分野 現 原理 あ

10 [V] 4

4 4

1[A]

v 4

(例 2) 図 v 求

電流源 (真 中 ) 存在す 時 10 [V] 電源 考え 場合 電流源 取 去 (開放) す 良い

4

4 4

1[A]

vʼ =2[V] 4

4

4 4

vʼʼ = −5 [V] 4

2. テ ナン 定理

回路中 任意 線形 1 端⼦対回路N₀ (端⼦ 出⼝ ⼊⼝ あ )を

起電圧 E₀ 内部抵抗 お₀ 直列回路 置 換え も

外部 1 端⼦対回路 電流電圧分布 変わ い ここ

E₀ … N₀ 端⼦対を開放 時 電圧

お₀ … N₀ 電圧源を取 除い 短絡 電流源を取 除い 開放 端⼦対 ⾒ 時 合成抵抗

あ

≡

お₀

E0 お₀ = 開放

(証明)

線形 1 端⼦対回路 N

電圧源 E₁, E₂, …, E_m 電流源 J₁, J₂, …, J_n

i

線形 1 端⼦対回路 N 電流源 接続し 強制的 電流 i 流 すこ 考え (上図) 回路 N 線形性 端⼦間電圧 v v = A₀ i + A₁E₁+A₂E₂+…+A_mE_m+B₁J₁+B₂J₂+…B_nJ_n ...

[ し A₀, A₁…,A_m, B₁, B₂, …, B_n N 中 抵抗 接続関係等

決 定数 ] 書け

i = 0 時 v 開放電圧 E₀ 等しい す わ E₀ = A₁E₁+A₂E₂+…+A_mE_m+B₁J₁+B₂J₂+…B_nJ_n ...

更 電源 すべ 働 い時 E₁ = … = E_m = J₁ =… = J_n=0 あ こ 時 v = A₀i

し こ 時 合成抵抗 お₀ お₀ = v/i= A₀ …

あ こ 分

し , 代⼊し v = お₀i+E₀

こ 上図 回路 下図 回路 等価 あ こ ⽰し い

v

お₀

≡

(例 1)

2

10 10 3

25 [V]

I

上図 抵抗 3 [Ω] 流 電流 I 求

(解法 1) 合成抵抗を⽤い ⽅法

2 [Ω] 3 [Ω] 抵抗 ５[Ω]

こ 回路 合成抵抗 R 10 [Ω], 10 [Ω], 5 [Ω] 並列 考え 1/R = 1/10+1/10+1/5 = 2/5 → R = 2.5 [Ω] あ

し 回路 流 全電流 25/2.5 = 10 [A]

10 [Ω], 10 [Ω], 5 [Ω] 並列部分 流 電流 ⽐

(1/10) : (1/10) : (1/5) = 1:1:2 あ

求 電流 10 [A]×[2/(1+1+2)] = 5 [A]

(解法 2) テ ナン 定理を⽤い ⽅法

下図 開放電圧 v 電源電圧 25 [V]

端⼦対 ⾒ 時 合成抵抗 2 [Ω]

し 抵抗 3 [Ω] 流 電流 I

I = 25/(2+3) =5 [A] 10

10

2

v

25 [V]

(例2)

22V 15V

v_1, i₁

v_2, i₂

v_3, i₃

3Ω 5Ω

2Ω

22V 15V

3Ω

v

5Ω 左上図 真 中 枝 流 電流 i2 求

合成抵抗 5 Ω 3 Ω 並列

1/お₀ = 1/3+1/5 =8/15 し お₀=15/8[Ω] 求 い枝 開放し 開放電圧 v 求

(右上図)

開放し 時 流 電流 I し

キルヒホッ 電圧則 ルー 適⽤す

−3I+22−15−5I = 0 → 8I = 7 ∴ I = 7/8 [A] v = −3×7/8+22 = 155/8 [V]

し 右上図 1 端⼦対回路

下図 I 端⼦対回路 (⾚ 囲 部分) 等価

し 2 Ω 流 電流

i₂ = −(155/8)/[2+(15/8)] = − 5 [A]

I

15/8[Ω] _{155/8 [V]}

2Ω

(問題 3.0) 図 1 回路 い ルー 電流法 ⽤い 3 [Ω]

抵抗 流 電流 求 さい

(問題 3.1) 図 1 回路 い

重 合わせ 理 ⽤い 3 [Ω]

抵抗 流 電流 求 さい

(問題 3.2)図 1 回路 い

テ ナン 定理 ⽤い 3 [Ω]

抵抗 流 電流 求 さい

60V 35V 3 Ω

20Ω

30Ω

(問題 3.3) テ ナン 定理 ⽤い

図 2 等価回路 求 さい し 四⾓

中 数字 抵抗値 表し 単位 Ω す

30

30 60

60 2 [A]

(問題 3.4) あ 線形 1 端⼦対回路N 含 回路 あ (図 3)

抵抗 R い 抵抗 流 電

流 I 測定し こ

R = 0.5 Ω 時 I = 4 [A] あ R ＝ 1 Ω 時 I = 3 [A] あ

R = 2 Ω 時 I 求 さい

線形 1 端⼦

対回路 N R

図 1

図 2

I

図 3

(問題 3.5) テ ナン 定理 ⽤い

図 4 中央 5 [Ω] 抵抗 流 電流 求

1

1 4

4

5