基礎講座(工学院2017年度) 福川賢治のホームページ

基礎講座物理

(

工業力学及演習対応

)

第

6

回 （

11/24)

運動量と力積

担当

:

福川賢治

(https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin2017)

1.

運動量

2.

運動量 運動方程式

(

力積

)

(

以下時間 余

)

3.

角運動量

1. こ 授業 習熟度調査 勧告 基 設置さ います

物理 あま 慣 い い人向け そ 基本を解説す す

2. 初回 簡単 思 徐々 難しく い ます 継続した受講をお勧 します

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ま 基本問題を楽 解け ベルを目指しまし う

4. イ 私 HP ップし ます

本基礎講座 必要 の

1. 教科書を使います (問題演習用)

工業力学 青木弘・木谷晋著、森北出版、2160 円

2．関数電卓 3. ノート

注意事項

1. 私語 慎 く さい く 授業を行います 質問 い 構いませ (個別指導 質問 歓迎)

2 食事 控え く さい 水分補給 周囲 を汚さ い う 気を け 行 く さい 3. トイ 等 自由 行 い い 構いませ

参考文献を調べ

・ま 読 本(読 い 疲 い本) ・自分 相性 良い本(読 内容 分 ?)

・長く使え う いう観点 大事

・分 い 図書館 借 読 →自分 あ 本を購入 ・力学の演習書を一冊持っ 置く

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くわ 初等力学 前野昌弘 東京図書 2700円

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1.

運動量

運動量の定義式 [演習 7.1]

(運動量) [kg・m/s] = (質量)[kg]× (速度)[m/s]

p = mv …運動の激しさを表す量

2. 運動量と運動方程式 (力積)

運動方程式 (質量)[kg]×(加速度)[m/s2_]=(力_)[N]

ma = F

運動量 関係 け 加速度 速度 時間微分 _{� =} ��_�� あ こ を思い出す

2. 運動量と運動方程式 (力積)

(

続

)

◎ 前 ージ 式 �

��

�� = � ⇔

� ��

�� = � ⇔

��

�� = �

◎ t=t₁ 質量 m 物体 速度 v(t₁) 動い い 時 力 F(t) を加え

す 時間 経過し 時刻 t = t₂ 速度 v(t₂) を知 こ

◎ 具体的 上 真 中 式を時刻 t 積分す

mv(t₂)-mv(t₁)=_׬�� _{� � ��} 右辺 積分_׬�� _{� � ��}を力積と呼ぶ

[運動量変化]=[力積] [演習7.4, 演習7.5]

力 F(t) 一定 (時間 い)場合

mv(t₂)-mv(t₁)=_׬��2 ��� = � ׬_��2 �� = � � − � 書け [例題7.1, 演習 7.2, 演習7.3 ]

(注) 右辺 単位 [N・s]=[kg・m/s2・_s]＝_[kg・_{m/s] (}質量₎×₍速度₎ 単位 あ

3.

角運動量

角運動量

(角運動量) [kg・m2_{/s] = (}慣性 ー ント_)[kg・_m2_]× ₍角速度_)[rad/s]

L = Iω …回転運動の激しさを表す量

(※) おadian (長さ)/(長さ) 無次元量 あ こ 注意

4. 角運動量と回転運動の運動方程式 (角衝撃量)

回転運動の運動方程式

(慣性 ー ント)[kg・m2_]×₍角加速度_)[rad/s2_]=(力の ー ント_)[N・_m]

Iα= N

角運動量 関係 け

4. 角運動量と回転運動の運動方程式

(

角衝撃量

)(

続

)

◎ 前 ージ 式 �

��

�� = � ⇔

� ��

�� = � ⇔

��

�� = �

◎ t=t₁ 慣性 ー ント I 物体 角速度 ω(が₁) 動い い 時

力 ー ント N(t) を加え

時間 経過し 時刻 t = t₂ 角速度 ω(t₂) を知 こ

◎ 具体的 上 真 中 式を時刻 t 積分す

Iω(t₂)-Iω(t₁)=_׬�� � � �� 右辺 積分_׬�� � � ��を角衝撃量と呼ぶ

[角運動量変化]=[角衝撃量]

力 ー ント N(t) 一定 (時間 い)場合 Iω(t₂)-Iω(t₁)=_׬

� �₂

基礎講座物理

(

工業力学及演習対応

)

第

7

回 （

12/1)

運動量保存則と衝突

担当

:

福川賢治

(https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin2017)

1.

運動量保存則

2.

え 係数

(

反発係数

)

3.

斜

衝突

(2

次元 衝突

)

(

以下時間 余

)

4.

偏心衝突

本基礎講座 必要 の

1. 教科書を使います (問題演習用)

工業力学 青木弘・木谷晋著、森北出版、2160 円

２ 式を両辺そ 足す

(m₁v‘₁-m₁v₁)+(m₂v₂し-m₂v₂)=_׬

� �₂

[−� � + � � ]��

(m₁v‘₁+m₂vし₂)-(m₁v₁+m₂v₂)=_׬

� �₂

�� =

∴ m₁vす₁+m₂v’₂ = m₁v₁+m₂v₂ (運動量保存則) [演習7.6]

衝突の前後 、運動量の合計 変わ い

1.

運動量保存則

２ 物体 1, 2 時刻 t=t₁ そ 速度 v₁, v₂ 運動し

互い 衝突し 時刻 t = t₂ そ 速度 vし₁, vし₂ 運動す し う

衝突 際 物体 1 物体 2 作用・反作用の法則 、

互い 逆向 同 大 さの力 働く

前回 式 [運動量変化]=[力積] 式を物体 1, 2 そ い 書く

物体 1: m₁vし₁-m₁v₁＝_׬

� �₂

−� � �� 物体 2: m₂vし₂-m₂v₂＝_׬

��2 � � ��

1

力 F(t)

力 -F(t)

作用・反作用の関係

2.

え の係数

(

反発係数

)

え の係数: e=�′ −�′

� −� =

分離速度

接近速度 … [演習 7.8]

運動量保存則: m₁vす₁+m₂v’₂ = m₁v₁+m₂v₂ …

質量 m₁, m₂, え 係数 e, 衝突前 速度 v₁, v₂ 分 い

, をv’₁, v’₂ の連立方程式とし 解くこ

衝突後 速度 vし1, vし2 求ま

�′ = � − _{� + �}� + � − � �′ = � + _{� + �}� + � − �

e＝０: 完全塑性衝突 (vし₁=vし₂ く く)

e = 1: 完全弾性衝突 (力学的エネルギー 保存)

0<e<1: 非弾性衝突

一方 壁 場合

3.

斜 の衝突

(2

次元の衝突

)

既知の量 v_1x=v₁ coかα₁, v_1y=v₁ かinα₁ v_2x=v₂ coかα₂, v_2y=v₂ かinα₂

求 たい量 vし1x=vし1 coかαし1, vし1y=vし1 かinαし1

vし2x=vし2 coかαし2, vし2y=vし2 かinαし2

(y 成分)

摩擦 い す y 方向 力 働 い

物体 1, 物体 2 速度 y 方向成分

衝突 前後 変わ い (慣性 法則)

vし1y = v1y …

vし2y = v2y …

時間の流

x

v₁ v‘₁

v₂ vし₂

α1

αし1 αし 2

α2

3.

斜 の衝突

(2

次元の衝突、続

)

(x 成分)

え の係数: e=�′ �−�′ �

� _�−� _� …

運動量保存則: m₁vす_1x+m₂v’_2x = m₁v_1x+m₂v_2x …

3 ページと同様 、 , をv’_1x, v’_2x の連立方程式とし 解くこ

衝突後 速度 x 成分 vし_1x, vし_2x 求ま

�′ = � − _{� + �}� + � − � �′ = � + _{� + �}� + � − �

物体 1, 2 衝突後 速度 x 成分, y 成分 そ 分

そ 大 さ �′ = �′ + �′ �′ = �′ + �′ ,

方向 _{�′ = tan}− �′

�′ , �′ = tan− �′

2

3.

斜 の衝突

(2

次元の衝突、続

)

(物体 2 壁の時) [例題 7.8, 演習 7.12, 演習 7.13]

前頁 式 m₂ =∞ v_2x = vし_2x = 0 す い す

4.

偏心衝突

衝突時 力 作用線 2物体 重心を通 い衝突 → 回転運動 生

球と棒の偏心衝突 1 [例題 7.9, 演習 7.14]

既知の量 球 棒 質量m₁, m₂, 球 衝突前 速度 v₁

棒 慣性 ー ント I_G (す わち k_G)

重心 衝突点 距離 a

棒 球 え 係数 e

求 たい量 衝突後 球 速度 vし1, 棒 衝突点 速度 vし2

ま 衝突時 棒 受け 力積を _{� = ׬ � ��} す

(作用・反作用 法則 球 受け 力積 －S)

棒 (質量 m₂),

慣性 ー ント I_G=m₂k_G2

質量 m₁, 速度 v₁ 重心 G

a

重心 G v_G

vし₁ vし₂

衝突直前 衝突直後

b

4.

偏心衝突

球と棒の偏心衝突 1 (続 )

球 つい (運動量変化) = (力積) m₁vし₁－m₁v₁ = －S

棒 つい (重心の運動量変化) = (力積) m₂v_G = S

棒 得 角衝撃量 _{׬ � �� = ׬ � � �� = � ׬ � �� = ��} あ 棒 重心周 角速度を ω し

角運動量 L= I_Gω 表さ こ を思い出す

棒 つい (重心の周 の角運動量変化)=(角衝撃量) I_Gω =aS

え の係数の式 _{�′ − �′ = �}

衝突点 速度 vし2 重心 速度 vG 関係式 vし2 = vG＋aω

~ を vし₁, v‘₂, S, v_G, ω い 連立方程式を し 解く

4.

偏心衝突

球と棒の偏心衝突 1 (続 )

v_G = S/m₂, ω= aS/I_G し

代入す こ v_G ωを消去

�′ = _{� +}� � �_�

� =

� � +

� �

� �_� = �

� + �

�_� =

�

�_{� �} ⟺ � = �� ��′ 但し _{�� � =} �2

+�2

��2

(離心軽減質量)

ここ S を消去す 代入 m₁vし₁+m_redvし₂ = m₁v₁

こ _{�′ − �′ = �} ( 式)

�′ = � − �� �

� +�_{� �} � , �′ =

� +

4.

偏心衝突

打撃の中心

衝突 時 速度 0 点 O 存在す こ あ

点 O 瞬間中心 あ 点 O を支え 反力を受け い

こ 時 点 P を点 O 対す 打撃の中心 呼ぶ

距離 OP = b を求 v_G=bω

b = v_G/ω = (S/m₂)/ (aS/I_G ) = I_G/(m₂a)= m₂k_G2_/(m

2a)= kG2/a ∴ab = kG2

こ 式 点 P を点 O 対す 打撃 中心 す

4.

偏心衝突

物体 外力 働い い い 働い い 外力 ー ント 和 0 あ

物体 角運動量 一定 保

(※) 内力 中心力 (2 物体 重心を結ぶベクトル 平行 力) あ 仮定し い

球と棒の偏心衝突 2 [演習 7.15]

[端点 A 棒 支え い 場合]

端点 A 反力 働い い

(運動量変化) = (力積) 式 使え い

端点 A 周 角運動量保存則 使え

衝突直前 衝突直後 質量 m₁, 速度 v₁

重心 G 重心G

vし₁ 棒 (質量 m₂),

慣性 ー ント I_A=m₂k_A2

l

4.

偏心衝突

球と棒の偏心衝突 2 (続 )

球 衝突直後 瞬間 点 A 周 角速度を ωし す

球 角運動量 _{� � �}′_{＝� � ��}′ _{= � ��′ 書け 棒 角速度を ω す}

点 A 周 の角運動量保存の式 _{� �� = � ��′ + ���}

え の係数の式 �′ − �′ = �

衝突点 速度 vし2 棒 角速度 ω 関係式 �′ = ��

~ を vし₁, v‘₂, ω い 連立方程式を し (ωを消去し ) 解く

� = �′2 _{こ を 代入し 両辺 l 割}

� � = � �′ + �_� �′2

2 = � �′ + � �� 2 2 �′

� ��2

2 = �� � く � � = � �′ + �� ��′

こ を連立させ

�′ = � − �� �

� +� � , �′ =

� +

基礎講座物理

(

工業力学及演習対応、工学部対象

)

第 8 回 12/8 事 エネル

担当: 福川賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin2017)

1. 事 定義

2. 運動エネル 事 関係

3. 保存力 ポテン ルエネル

4. ポテン ルエネル 計算

5. 力学的エネル 保存則

6. 動力

1.

事

(Work)

定義

力

一定

時

(

例題

8.1)

例

.

重力

mg

力

合いを保

高さ

h

け動

時、

外

け

力

行う

事

(

例題

8.3,

問

8.1,

問

8.2)

床 x

Ԧ� = � , �

∆ = ∆ ,

(

事

Δ

Ｗ

)

= (

動い

距離

)

×

(

そ

方向

掛け

力

)

=

� ∆

単位

: [N m]=[J] (Joule,

ュ

ル

)

基本単位

表

、

[kg m

/s

]

質量 m

重力 mg 外力 mg

高さh

外力 mg

位置 [m] 力 [N]

(

事 Ｗ

)

= (

動い

距離

h)

×

(

外力

mg)

= mgh [J]

壁

壁

壁

O

Aだけ伸ばす

A

B

|B|=-Bだけ縮める

F=-kA(<0)

F=-kB (>0)

力

が

一定

で い

場合

ば

よる

力

フック

(Hooke)

法則

ば

変形

あ

大

く

い限

、ば

伸び縮

力

比例関係

あ

釣

合い

位置

x

あ

大

く

い時

、

F = -kx (

単振動

)

k [N/m]

ば

定数

呼ば

例. ば 力 –kx 釣 合う力 kx を外 加え、

x = 0 (自然長 位置) x = A 物体を移動

(例題 8.2, 問 8.3)

距離 A 力 kA

力 [N]

[m]

(

事 Ｗ

)

区間 Δx → 0 極限 、

A B 間 力 Ԧ� 行う 事を足し合わ

� = න

�= �=

�� �� = න �=�_�

�=�_�

�� ��_{�� ��}

= ׬_�=��=�_�� _�

� �� ��

x A Ԧ� = � , B

Ԧ� = � , �

一般

場合

例1. ば 力 –kx 釣 合う力 kx

を外 加え、x = 0 (自然長 位置)

x = A 物体を移動

� = ׬� � � = � � = ��

前 結果 一致

例2.

ば 力 –kx 釣 合う力 kx を外

加え、x = A x = B 物体を移動

2.

運動エネル

事

関係

(

例題

8.4,

問

8.4)

運動方程式 �

��

�� = � 速 v 積を 、

� = �_� (始 ) � = �� (終わ ) 積分を実行

初速 を ��, 終わ 速 を��

׬_�=��=�_�� � ��_�� � �� = ׬_�=��=�_�� �� �� 右辺 事 W を表 ( ライ 4 目)

�

�� �� = � �

�� � = ��

��

�� = �

��

�� � あ 、

( 辺)=׬

�=�_� �=�_� �

�� �� �� = ��� − ���

� = �� を運動エネル 呼ぶ

従 、 ��� − ��� = �

3.

保存力

ポテン

ルエネル

A 点 B 点 力を け 質点 動く時、

一般 質点 け 事量 W

1, W2, W3 経路 異

し、質点 うけ 事 運動経路 い (W

1= W2 = W3 ) 時、

質点を動 力を保存力 呼ぶ

保存力 事 、位置 従 、

� = � � , − � � ,

位置 関数 U(x,y) を考え こ

こ 関数 U(x,y) を力 F ポテン ル(エネル ) 呼ぶ

1. ポテン ル カラ 関数 あ 、 ル 扱い 簡単

2. エネル 保存則 、運動を解 く 、速 等 情報を得 こ

A

B

W

W

W

1

2

座標 ｘ 点 、座標 ｘ+Δｘ 点 、保存力 動く際 事ΔW 、

ΔW = F_x Δx = U(x) – U(x+Δx)

ここ 、� =

− � +∆ −�

∆ (Fx Δx 間 一定 場合)

実際 F_x 運動中変わ え

式 Δx → 0 、 � = −

�� �

従 、-U(x) F

x x い 原始関数 � = − ׬ � �

物体 点A (座標 x

A) 点B (座標 x

B ) 動く 物体 さ 事

� = ׬ _� � � = −� _� = � � − � (※、前 式 一致)

多く 場合慣用的 、U(O) = 0 点O 決 い

� = − න

� � �

( =x, x =O

4.

ポテン

ルエネル

計算

具体的

例

例 1. 高さ h あ 物体 位置エネル (問8.5)

重力 場合基準点 高さ 0 点 (U(0)=0)

U(h)=− ׬ℎ −�� � = �� ׬ℎ � = ��ℎ

例2. 自然長 x け伸ばし 時

ば 物体 位置エネル

ば 場合、基準点 自然長 点 (U(0) = 0)

例3. 質量 M 物体 R 離 位置 あ 質量 m 物体

万有引力 位置エネル (例題8.8)

万有引力 場合無限遠点 (R = ∞) ポテン ル 基準 (U(∞) = 0)

U(R)=− ׬ ∞

�

− ��₂ �� = ׬_∞� ��₂ �� = − �� � = ��

重力 (大 さ mg)

z

壁

O (自然長の位置)

x

U(x) = − ׬ −� � = ׬ � � = �

5.

力学的エネル

保存則

(例題 8.6,例題 8.8, 問8.6, 問8.7, 問 8.8, 問 8.9)

7 目 ライ 最後 式 ��� − ��� = �

こ 前 力 保存力 場合 成 立 式

� = � � , − � � ,

を組 合わ

��_� − ��_� = � �, � − � , 、

��_� + � �, � = ��� + � , = (定数)

、運動エネル � = �� 、

ポテン ルエネル U 和 K+U=E 一定

保存力

非保存力

保存力： 重力、万有引力、弾性力、 ロン (電磁気) 力

非保存力: 摩擦力、垂直効力、抵抗力、人 加え 力 (外力)

保存力 保存さ い 力学的エネル

実際 、化学エネル 、熱エネル 、光エネル 、原子核エネル

様々 形態 エネル 存在し、全エネル 保存 考え い

こ う 、力学的エネル 種類 エネル 転換し い 状態を、

力学的エネル 散逸し 状態 あ 呼ぶ

例. 1. 摩擦力: 力学的エネル 分子 熱エネル 変換さ

動力 [ 事率 ] P (Power) (例題 8.10, 問 8.12 ~ 問 8.17

単位時間内 く い 事 行わ い を表 物理量

� = ��_�� ( 事 W 時間微分 表さ )

単位: [J/s] = [kg m2/s3] = [W] (Watt, ワッ ) 表さ � = ׬_�=��=�_�� �� �� (4 目 式) 、� =

��

�� = ��

場 概念

場 時間的、空間的 分布し い 物理量

一般 、時間 t 位置 (x,y,z) 関数 表さ

力 F

半径 r

Θ

回転

物体

事、運動エネル

、動力

角速 ω =

�� ��

慣性 ン � = ��

速さ v = (動い 距離)/(経過時間)

= ���

�� = � ��

�� = ��

事 Ｗ=(動い 距離)×(そ 方向 掛け 力)

= rΘF = rFΘ = NΘ (N=rF 回転 中心周 力 ン )

運動エネル 例題 8.5, 例題8.7

K=(1/2)mv 2 = � �� = �� � = ��

動力 (例題 8.11, 問8.18)

基礎講座物理

(

工業力学及演習 対応

)

第

9

回 （

12/15

すべ 摩擦ところ

摩擦

担当

:

福川賢治

(

https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin2017

)

1.

すべ 摩擦

2.

こ

摩擦

(

以下 時間 余

)

3.

ベルト 摩擦

1.

すべ 摩擦

物体 接触し い 時 接触面 平行 働く力

静摩擦力 (物体 加え 力 釣 合 静止し い 時)

動摩擦力 (釣 合い 破 物体 運動す 時 動 を止 う す 力

動 出す前 所 働く摩擦力を最大摩擦力 呼ぶ

静摩擦係数 μs 最大摩擦力 大 さを F,

垂直抗力 大 さを N し F=μ_sN (例題 9.1, 演習 9.8 [遠心力とのつ 合い])

ア ントン・クー ンの法則 (近似的 経験法則)

1. 最大摩擦力 大 さ 垂直抗力 比例

2. 摩擦力 接触面積 接触面 様子 決ま

3. 動摩擦力 物体 速度 一定

4. (最大摩擦力)>(動摩擦力)

mg sin α

α

α _m

g

mg cos α N

静摩擦角

斜面を傾け い こ 傾角 α 時 物体 滑 始 物体 静摩擦係数 μ 幾 ?

こ α こ を静摩擦角(ま 息角) 呼ぶ

μN

(解答)

物体 滑 始 直前

物体 力を図示す (右図 赤線)

重力を斜面 垂直 成分と水平 成分 分解す

(右図 緑線)

斜面 水平 成分 垂直 成分そ い 力 合い 式を書く

斜面 水平 成分: mg かin α = μN

斜面 垂直 成分: mg coか α =N 辺々割 算し μ = がanα を得 類題: 水平 床 あ 物体を引く時 最小 力 ひく 角度 (演習 9.4)

斜面上 働く動摩擦力 (演習 9.5)

2

．ころ

摩擦

床 球 完全 剛体 い 接触点 少し変形し あ 大 さ 反力 Rし A 点 加わ

A 点のまわ の力の ー ントの釣 合い

Fr = Pe ∴ F =(e/r)P=μ_rP (演習9.9, 演習 9.10)

μr=(e/r) をころ 摩擦係数 呼ぶ

e をこ 摩擦係数 呼ぶこ あ (演習9.10, 演習 9.11)

例題 9.3、演習 9.11 こ 摩擦 い 静摩擦角(前 ージ) 対応す 角度を求 一台 機関車 数十両 客車 引け

客車 こ 摩擦し 働 い あ

A

反力R

(垂直抗力P

こ 摩擦力 F 合力)

距離 e

垂直力 P

球を転 すの 必要 力 F

A

T₂

T₁

半径 r

A B C D O θ

3

．ベルトの摩擦

円柱 巻 つけたベルト (上図)の

微小長さ CD の半径方向の力の釣 合い (下図)

(T+dT) sin (dφ/2)+Tsin(dφ/2)=dP

dφ 微小角 し 近似 sin x ~ x (x 微少量) を用い

2 次 微少量を無視す T dφ=dP ...

円周方向の力の釣 合い

(T+dT) cos (dφ/2)=T cos(dφ/2)+dF

cos (dφ/2) ~ 1 を用い dF = dT ...

静止摩擦

滑 トルクを伝え 限界 dF＝μ_sdP ...

, , dF, dP を消去す μ_sdφ=(1/T)dT

׬� �_� �� = ׬_��2

� �� ��� = log �₂

� ∴ � = � ����

バン ブ ーキ の応用 (演習 9.16)

上図: ベルトの摩擦

O 半径 r

C D

角 dφ/2

4.

ブ ーキの摩擦

a

b P

Pし

F

c 回転軸

ブ ーキ胴

ブ ーキ片

(黄色)

A

ブ ックブ ーキ (演習 9.15)

ブ ーキ胴 外力 P を加え

ブ ーキ片を回転軸 押し付け こ 回転軸 回転を減速させ

回転軸 反力を Pし し 摩擦力 F を 外力 P 表す

ブ ーキ片 動摩擦力 F=μ_kPし ∴ Pし=F/μ_k …

点 A 周 の力の ー ントの釣 合い cF+bPし-aP=0 …

, Pし を消去し F=μ_kaP/(b+μ_kc)

回転軸 逆 回 い 時 摩擦力 F 逆向

5.

軸受の摩擦

5-1. ラジアル軸受の摩擦

ラジアル軸受 ... 軸 直角方向 荷重を支え

θ

W

R

plRd

θ _{長さ l}

圧力

p

W 軸受_{単位面積当}く 反力を一様 し_{p い 仮定す}

接触面 長さをl す dθ 部分

反力 面積 dA=lR dθ plR dθ

こ 荷重方向 成分 W 合う

� = න���� sin � �� = ���[−cos �]�= 2���

∴ p=W/(2Rl) [軸受平均圧力]

軸受 _{� = ׬ ��� �� = ׬}� ��� _{�� =} ���� _摩擦力

そ ー ント _{� =} ����� _発生す

5-2. ラ ト軸受の摩擦

ラ ト軸受…軸方向 荷重を支え

半径 R 軸 接触面 一様 垂直 圧力 p=W/ (πR2₎ 働く

軸 軸受 間 摩擦係数をμk す

小さ 幅 dr を持 ン 状 (下図赤色) 面積 働く摩擦力 dF= μ_kp (2πお)dr

dF 軸 中心 周 生 力 ー ント: dN=r×dF=μ_kp (2πお2_{) dr}

し 接触部分全体 働く摩擦力 ー ント � = ׬ �� = ׬� �_�� 2�� �� = ׬� �_{� ��}�₂ 2�� �� = �_���

W

圧力

p

R dr

基礎講座物理

(

工業力学及演習対応

)

第

10

回 （

12/22)

簡単 機械

担当

:

福川賢治

(https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin2017)

1.

こ

2.

滑車

[2-1

．定滑車 動滑車

(

仕事 原理

) 2-2.

複合滑車

2-3.

差動滑車

]

3.

輪軸

(

こ 応用

)

(

以下時間 余

)

4

．斜面

h_A

1.

こ

(lever)

O B

A

a b

F W

(第一種) こ 小さ 力 F 大 物体を動 す

支点 O のまわ の力の ー ントの釣 合い

Wa=Fb ∴ W/F=b/a [演習10.1、演習10.2]

こ 比を力比 呼ぶ

aを小さくす b を大 くす す

小さ 力 大 物体を動 せ (く 抜 )

こを回転させ

A,B 点 変位 h_B, h_A h_B/h_A=b/a 関係 あ 2 点 運動し 時間(Δ t) 等しい

v_B/v_A=(h_B/Δが)/(h_A/Δが) =b/a 関係

(速比) あ

B O

A

2.

滑車

(pulley)

定滑車

(fixed pulley)

...

軸 位置を固定し 滑車

(

左図

)

動滑車

...

軸 位置 一定

い滑車

(

右図

)

W F=W

(力 大 さ _W A

Aし

B

Bし

F＝W/2

物体を引 上 重さ F/2 h 高さ け物体を持ち上 時 AAし 長さ h BBし 長さ h

ま 長さ 2h けロープを引く必要 あ

従 物体を h 持ち上 必要 仕事 (左図) Wh

(右図) W/2×2h = Wh

あ 動滑車 定滑車 場合 変わ い こ こ を仕事の原理 呼ぶ

F=W/2

2-2.

複合滑車

図 (a) W

W/4

W/4W/4 W/4

F=W/4

図 (b)

W F F 2F 2F 4F 4F 8F 8F

図 (c)

大ま 左 3種類 分

複雑 組 合わせ 基本 前頁 定滑車 動滑車 場合 尽 一 部分 注目し そこ 力 倍

2-3.

差動滑車

¥¥¥¥ ¥

W

r _R

半径 R, r (R>r) 軸 固定さ 2個 定滑車 A,B

1個 動滑車を鎖 連結し

定滑車の中心のまわ の力の ー ントの釣 合い

(W/2)R=(W/2)r+FR ∴F=W(R-r)/(2R) [演習 10.6]

R-r を小さくす 小さい力 O.K.

物体を h 引 上 くさ をひく距離 s

仕事の原理

Fs=Wh を解く s =h(2R)/(R-r)

F

3.

輪軸

r R

W

O

この原理を利用した機械 [例題 10.3]

円筒(半径 R 車輪 呼ぶ) 小さい円筒(半径r 軸 呼ぶ)

を同 軸 固定し を輪軸 呼ぶ 車輪 巻 ロープをF 力 引

軸 重力 W 重い物体を吊 す

回転軸 回 力 ー ント 釣 合い FR=Wr

∴F=(r/R)W

4

．斜面

mg sin α

α

α _mg

mg cos α N

μsN

F

θ

質量m 物体を 傾角α 粗い斜面 沿 引 上 必要 力 F を求

物体 斜面 静摩擦係数を μs= がan s す

斜面 垂直 方向の力の釣 合い

N＋F かinθ=mg coか α

斜面 平行 方向の力の釣 合い

F coかθ=μ_sN+mg かinα

＝μs(mg coかαーF かinθ)+mg かinα

∴ _{� =} �� �� c �+ i �

c �+�_s i � [演習 10.10]

静摩擦摩擦μs=がan sを代入す

� = �� a �c �+ i �

c �+ a _� i � =

�� i _� c �+c _� i � c � c _�+ i _� i �

=�� i �+�

c �− _� …

Θ=0 (斜面 平行 力) 時

� = �� i �+�

c _� ,

(

斜面

滑 落ち のを支え 場合

)

摩擦力 逆向 働く μs す わち s 符号を変え く ( s→- s)

� = �� i �− �

c �+ _�

…

Θ=0 (斜面 平行 力を加え ) 時 � = �� i �− �

c _s

Θ=-α (水平 力を加え )時 F=mg がan(αー _s)

斜面の摩擦力 上向 働い い 分、小さ 力 す

(

斜面

物体を押し下

場合

)

Θ→Θ+π, s→ - s す 良い

� = �� sin � − �_{cos � + � + �}�

� = −

�� sin � − �_�

cos � + �� =

�� sin �_� − � cos � + ��

Θ=0 (斜面 平行 力を加え ) 時 � = �� i �−�

c _s

5.

斜面の応用

5-1.

くさび

F

P’

F’

頂角 2 α くさ

(くさびを打ち込 時, 左図)

くさ 斜面 静摩擦係数を μs = がan s す

くさ 働く鉛直方向 力 釣 合い

F=2Pし かinα+2F coかα=2Pしかinα＋2μsPしcoかα

=2Pし(かinα+μscosα)= 2Pし(かinα+がan s coかα)

=2�′ sin � + i �

c _� cos � = 2�

i � c _�+c � i _� c _�

=2�′ i �+ �

c _� ∴ �′ =

�

i �+�_� c � =

� c _� i �+ _�

[例題10.4, 演習10.12]

(くさびを抜く時) F Fし 向 反対

μs→-μs, s→- s, F→ -F し

F= 2Pし(μ_scosα-かinα)= 2�′ i �−�

5-2.

ネジ

斜面(ネジ面)を円柱 ま け 考え

ネジ ピッチ (pitch)p ... 1巻 進行す 長さ

斜面 傾 : がan α = p/(πd) 摩擦係数 μs=がan す

Mg

πd （d ネジの直径

下 上 ネジを巻く場合

p

N

F

α

μsN

を巻く 力 P 必要

平行方向の力の釣 合い

F=N かin α+μ_sN coか α＝N(かin α+ がan coか α)

上下方向の力の釣 合い

Mg= N coか α -μ_sN かin α = N(coか α- がan かin α)

∴F=�� i � + a c �

c �− a i � = �� tan � + �

= �� _{− a � a}a �+ a =�� ����+�

��−�_�� [例題 10.5, 演習 10.16]

(

ネジを緩

時

)

F μ_s, す わち 符号 変わ -F=Mg_{tan � − �}

∴F=Mg_{tan � − � = ��} a − a �

+ a � a = ��

�_���−�

��+��� [演習10.15]

≦α (μsπd≦p) 時 F≦0 → ネジ 自然 緩

6.

機械の効率

実際 機械 摩擦 あ 仕事 原理 成 立 い

従 機械 す 有効 仕事を こ 供給さ エネルギー(仕事)

割 を 機械の効率 (mechanical efficiency) 呼ぶ

複数 物体 あ 機械 効率 そ 機械 効率 積

例. ネジの効率 [演習 10.17]

ネジ し 仕事... Mg 力 ピッチ p け押し込 Mgp

ネジ 与え 仕事...力 F πd け動 す Fπd

従 効率 Mgp/ Fπd =Mgp/ �� tan � + � πd)

= �

�� a �+ =

a �

a �+ =