講義ノート(法政2017年度) 福川賢治のホームページ

授業で配布した練習問題・レポートの解答例 ₍ 随時追加予定 ₎

練習問題 ₉ 月 ₂₈ 日 ₍ 光の反射・屈折 ₎

1. 光の反射

全身を写すのに必要な鏡の大きさは身長の何倍か説明しなさい。 (解答例)

AB を人の体、M を鏡、A’B’ を鏡に写った像とし、 人間の目は A にあるとする。自分の全身が鏡に写る には B から出た光線が鏡の中で一番下の点 C で反射 して、A に届く必要がある (この時人間の目 A にはあ たかも B’ から光が出たかのように見える)。

また、C から線分 BB’ におろした垂線の足を E とす る。この時、A’B’ は鏡 M に対して線対称な位置にあ るので、BC = B’C, BE = B’E。

C から 線分 AB に向かって下ろした垂線の足を D と すると、CD と B’B は平行である。また、AD が必要 な鏡の長さになる。したがって、∠ AB’B = ∠ ACD また、∠ ADC = ∠ ABB’ = 90^{◦ であるので、}△ AB’B と △ ACD は相似である。BB’ = 2BE = 2CD なので、この 2 つの三角形の相似比は 2:1 である。したがって、AB’ = 2AC であるので、AC = B’C = BC。

これと反射の法則 ∠ ACD = ∠ BCD から △ ACD ≡ △ BCD である。したがって、AD

= DB であるので、必要な鏡の長さ AD は人間の身長 AB の半分で良い。 2. 光の屈折 (1)

水中にある物体は、地上から見ると、浮き上がって見える。それはなぜか。光線の経路を 適当に作図して説明しなさい。

(解答例)

例えば人間 A が岸壁から 物体 B を見下ろすとする。こ の時、光が直進するのであれば、岸壁に阻まれて人間_{A に} は物体 B が見えない (図の点線) 。しかし、実際には太線 のように物体B から出た光は屈折して水面から出て行くの で、B → C → A のように進む。したがって、人間 A には 物体は B ではなく、浮き上がって B’ にあるように見える。

1誤植等ありましたら報告お願いします。

3. 光の屈折 (2)

上図の左右の場合のそれぞれについて空気中からガラスに入射した光線の進路を書き込 みなさい。入射光線の方向はどうなるか？ (レンズで光が曲がる原理)

(解答例)

屈折の法則 (スネルの法則) にしたがって、光線を書く。

ガラスの 2 つの辺が平行な場合にはガラスから出て行く光は、入った方向と同じ方向に 出て行く。したがって、この場合光を曲げることはできない _{(上左図)。}

ガラスの 2 つの辺が平行でない場合には、ガラスから出て行く光は、入った方向と異な る向きに出て行く (上右図)。レンズはこの性質を利用して光を曲げるものである。

練習問題 ₁₀ 月 ₅ 日 光の屈折・分散

1. 凸レンズ

焦点距離 40 cm の 凸 レンズの焦点から前方 10 cm のところに高さ 3.0 cm の物体を置い た。光線の進路を作図し、像のできる位置、像の種類と高さを求めなさい。

(解答例)

下図のような作図を行う。物体を_{AB (高さ HO}) とし、レンズによる像を CD (高さ Hi) とする。A から光軸に平行に出た光は、焦点 F1 ^{を通り、点} C に到達する。また、A か ら出て焦点_F2 を通る光は、G を通り光軸に平行に進み点 C に到達するので、像を結ぶ。 したがって 像 CD は倒立実像である。

AE, GC は光軸に平行であるので、AB = EO = H^O, CD = GO = H^{i である。}

また、_{△ ABF2} と _{△ GOF2} は相似なので、_{AB/BF2 = GO/OF2 .}

今 AB = 3 cm, BF2 =10 cm, OF2 = 40 cm を代入すると、3/10 = GO/40

∴GO = 12 [cm] . GO = Hi ^{なので、像の高さ} Hi ^は 12 cm である。

また、_{△ EOF1} と _{△ CDF1} は相似なので、_{EO/OF1 = CD/DF1 .}

今 EO = AB = HO = 3 cm, OF1 =40 cm, CD = Hi = 12 cm を代入すると、3/40 =

12/DF1

したがって、_{3 × DF1} = 12 × 40 . ^∴DF1 = 160 [cm] .

したがって、_{OD = OF1+DF1} = 40 + 160 = 200 [cm] なので、像 CD はレンズの後方 200 cm の位置にある。

2. 人間の眼

眼鏡をかける場合、近視の人は凹レンズ、遠視の人は凸レンズの眼鏡を使うがそれはなぜ か。理由をつけて答えなさい。

(解答例)

一般に近くにあるものを見るほど、水晶体での屈折作用を大きくし光を収束させる必要が あり、逆に遠くにあるものを見るほど、水晶体での屈折作用は小さくする必要がある。前 者の機能が強すぎるのが近視であり (網膜の前で焦点を結ぶ)、後者の機能が強すぎるの が遠視である (網膜の後ろで焦点を結ぶ)。したがって、近視の人は凹レンズの眼鏡を用 い、あらかじめ光を発散させておき、遠視の人は凸レンズの眼鏡を用い、あらかじめ光を 収束させておく。

練習問題 ₁₀ 月 ₁₉ 日 波

1. 波のグラフ

スライドの 2 ページ目のグラフを参考にしながら、時刻 t = ³

4T の波形のグラフを書き なさい。

(解答例)

図は上のようになる。半周期前の t = T /4 の波が 実際に講義スライドに書かれているので、その波を実 際に半周期分進めてみる、その波の媒質中の幾つかの 点を半周期分動かす、また、t = T /4 の波とは位相が 180^◦ ずれているので、上下反転させるなどの方法があ り、いずれかの方法で書けば良い。

2. 波の基本式 (音波)

音速は摂氏 15 ℃ の時、約 340 m/s であると言われている。耳に聞こえる範囲 (=可聴 域) の音波の周波数 (= 振動数) は個人差があるが、 20 Hz から 20000 Hz 程度であると されている。ちなみに、より高い周波数の音波は超音波、より低い周波数の音波は超低周 波音と呼ばれる。可聴域の音波の波長は何 cm から何 m までか。

(解答例)

波の基本式 v = f λ に与えられた数値を代入する。 波長の最大値を _{λmax, 最小値を λmin} とすると、

音の周波数が20 Hz の時は、340 [m/s] = 20 [Hz] ×λmax [m],

周波数 20000 Hz の時は、340 [m/s] = 20000 [Hz] ×λmin [m] となる。 ここから、_λmax= 17 [m], λmin = 0.017 [m] = 1.7 [cm] となる。 したがって、求める答えは 1.7 cm から 17 m までである。 3. 固有振動

長さ1.2 [m] の弦がある。弦の一端を張って音叉をつなぎ、もう一つの端を壁に固定した。 音叉で弦に一定の振動を与えて波を発生させると、両端の間に _{4 個の腹ができた。} (1) この定常波の波長を求めなさい。

(2) この波の伝わる速度は v = 60 [m/s] であることが分かった。 この音叉の振動数を求めなさい。

(3) この時の弦の基本振動 (= 腹が 1 個の振動) の振動数は幾つか。 (解答例)

(1) 両端が固定されているので、両端は定常波の節に なる。この状況で4 個腹があるので、右図のような波 ができているはずである。この時、 _{1 個腹があると、} 波の波長 λ の半分の波がある。

今の場合 4 個あるので、弦の長さは (λ/2) × 4 = 2λ である。

これが 1.2 [m] に等しいはずなので 2λ = 1.2 ^∴λ = 0.6 [m] .

(2) 音叉の振動数が波の振動数であることに注意して、

波の基本式 v = f λ に代入する。(1) の結果を用いて、60 [m/s] = f [Hz] × 0.6 [m] .

∴f = 100 [Hz] .

(3) 弦の基本振動が起きている時は、半波長 λ/2 が 1.2 [m] に等しいので、 λ/2 = 1.2 ^∴λ = 2.4 [m] .

したがって、波の基本式 v = f λ に代入して、60 [m/s] = f [Hz] × 2.4 [m] .

∴f = 25 [Hz] .

練習問題 ₁₁ 月 ₉ 日 波 ₍₃₎ 解答例

1. 赤方偏移 (ドップラー効果)

遠方銀河光線のスペクトル光線を計算すると、地上で λ = 600 nm (1 nm = 10⁻⁹ m (10 億分の 1 m)) の波長を持つ光線が λ^′ = 660 nm の光線として観測された。

(1) 赤方偏移 z = ^{λ′ − λ}

λ ^{はいくらか。}

(2) 銀河が地球から後退している速さ v (後退速度) を求めなさい。

ただし、ここでは相対論的な効果を無視してドップラー効果に対する通常の式 λ^′ = ^{c + v}

c λ を用いなさい。また、光速 c = 30 万 km/秒 とする。

(3) 1 光年 (1 ly, 1 light-year) は光が 1 年間に通過する距離であり、おおよそ 9.46 ×10¹⁵ m = 9 兆 4600 億 km である。また、 1 pc = 3.26156 光年であり、M は 10⁶ = 100 万 を表す。したがって、1 Mpc = 326,1560 光年 ≒ 30 兆 km × 100 万 = 3000 京 km である。

ハッブルの法則_{v = H0}D は地球から 1 Mpc 離れるごとに地球から離れる速さが秒 速 67.15 km/s 増すと言う法則である。この銀河は何 Mpc 遠方にあると考えられる か。それはまた何光年か。

(解答例)

(1) 与えられた式に数値を代入する。z = ^{660 − 600} 600 ⁼

60

600 ^{= 0.1 となる。} (2) あらかじめ、z を c, v で表しておく。z = ^λ

′_{− λ}

λ ⁼

c+v c ^{λ − λ}

λ ⁼ c + v

c ^{− 1 =} v c ^. したがって、v = zc = 0.1c = 3 万 km/秒 となる。

(注) 相対論を考慮した式 λ^′ =^{√ c + v}

c − vλ を用いると、やや値がずれ v ≒ 0.095c となる (興 味のある人は各自確かめなさい_)。

(3) 遠方銀河と地球との距離は、問題文中にあるように地球から 1 Mpc 離れるごとに地 球から離れる速さが秒速 67.15 km/s 増すので、30000/67.15 ≒ 446.76 Mpc である。 これは、すなわち446.76 × 321656 ≒ 14.6 億光年に対応している。

入門物理学 _B レポート問題 (2017/11/16 ( ^木 ), ^{福川 出題} )

注意事項

1. 紙の場合は、A4 で提出してください。電子機器で作成したものか、手書きかは問い ません。氏名と学籍番号を記入してください。授業中に提出できない場合は、メー ルでの提出でもかまいません。連絡先は[email protected] です。講義 スライドは https://sites.google.com/site/kfukukawa00/hosei2017 にあります。 (メールでの提出の場合、講義のレポートと分かるように件名を書いてください。) 2. 希望者にはレポートを返却します。解説後の授業後に来てください。

3. レポートはコピーを取っておくことを勧めます。

4. 計算問題は途中計算がある場合は、過程も含めて書いてください。単位がある量は 単位もつけてください。また、電卓は自由に使ってください。試験も電卓持ち込み 可にする予定です。

提出締切 _{11/30 (} 木 ₎ 授業の最初に回収します。

I. ヤングの実験 (10 点)

授業では第 6,7 回目 (10/26,11/9) にヤングの実験を取り扱った (次ページの図)。 2 本のスリット S1, S2 に光波を同位相で入射させ、スクリーン上に縞模様を作ること を考える。まず _{S1, S2} に入った光は ア を起こし、球面上に広がる。すなわち、_S1, S2 は新たな波源として振る舞う。

この時、_{S1, S2} から等距離にあるスクリーン上の点 _{O では、S1, S2} から出た光波の振 動状態は{ 同位相・逆位相 } であるので、光は { 弱め合う・強め合う } 。したがって、ス クリーン上には { 明るい光の線が映る・何も映らない }。S1, S2 ^{からの距離が波長の} (整 数+1/2) 倍ずれているスクリーン上の点では、S1, S2 から出た光波の振動状態は _{{ 同位} 相・逆位相} であるので、スクリーン上には { 明るい光の線が映る・何も映らない } 。 (1) 空欄 ^ア に入る物理現象を答えなさい。_{(2 点)}

(2) 後段中に 5 個ある中カッコの中の選択肢を選んで、文章を完成させなさい。(4 点) (3) スクリーンの距離を OQ = L = 1 m, スリットの間隔を S1S2 = d = 0.2 mm とする。 また、点 O からスクリーン上の別の点 P までの距離を OP = x とすると、2 つのスリッ トから点 P までの距離の差は |S1P − S2P | ≒ x_L^d と近似できることが知られている。波 長 600 nm = 0.0006 mm の光を用いると、1 番目の暗線と 2 番目の暗線はそれぞれスク リーンの点 O からどの距離にできるだろうか (4 点)。

図 1: ヤングの実験の原理図 (解答例)

(1) 回折

(2) (前半) 同位相・強め合う・明るい光の線が映る (後半) 逆位相、何も映らない [2 点× 2]

(3) n 番目の暗線が OP = xⁿ の場所にできるとする。また光の波長を_{λ とすると、一番} 目の暗線は _{|S1P − S2P | ≒ x1}

d L ⁼

1

2λ, 二番目の暗線は |S1P − S2P | ≒ x2

d L ⁼

3

2^{λ, とな} る点P にできる。したがって、x1 = ^L

2d^{λ, x2 =} L

3d^{λ となる。}

ここに、d = 0.2 mm, L = 1 m = 1000 mm, λ = 0.0006 mm を入れて計算を行うと、 x1 = 1.5 mm, x2 = 4.5 mm が得られる。

(解説)

(1) 意図した答えは回折だったのですが、干渉と書いていた人が結構いました。回折は波 が障害物の後ろにも到達する現象、干渉は 2 つの波が強めあったり弱めあったりする現 象です。区別して覚えておきましょう。

(2) は強調した甲斐があって、ほぼ全ての人ができていました。

(3) は 4.5 mm, 7.5 mm と書いていた人が数多くいました。|S1P − S2P | = (m + 1/2)λ の 時干渉が起こるわけですが、m = 0, 1, 2 · · · の値を取ることができることに注意しましょ う。

II. A レンズ, B 共振・共鳴 (10 点)

次の質問 A. B. のいずれかを選んで答えなさい。

A. 授業では第 3, 4 回目 (10/5, 10/12) にレンズについて取り扱った。

凹レンズを用いたとき、必ず元の物体より小さな像が見られるが、それはなぜか説明しな さい。必要なら図を書くこと。

B. 授業では第 5 回目 (10/19) に共振現象を取り扱った。

共振・共鳴現象の例を知る限り答えなさい。 何と何が共振・共鳴しているのか明記する こと。(資料等調べても良いですが、引用元を明記してください。なお、授業中に出した 例以外の例には高評価を与えます_)。

(解答例)

A. 凹レンズは光を発散させる作用を持つ。物体の大きさを Ho = AB, 像の大きさを Hi

= CD とする。また、焦点距離を OF1=OF2 = f とする。左図で A を出発して光軸に平 行に進む光(A → E) は左側の焦点 F1 ^から E に進んだかのように見える。一方、A から 焦点_F2 に向かう向きに進む光はG で屈折しその後光軸に平行に進む。

この レンズで屈折した後の光の進む方向を表す 2 直線の交点が点 A の像 C である。こ こから左の図 (解答例 1) を用いるか、右の図 (解答例 2) を用いるかで解答が分かれる。 (解答例 1) 更に、左の図で BF2 = So ^{とする。 ここで、点} B と 点 F2 ^{はレンズの反対}

側にあるので、_{BF2 = So > OF2} = f . △ ABF2 ^と △ GOF2 は相似なので、像の倍率を m = CD_AB ^{とすると、}m = CD_{AB =} ^GO_{AB =} ^OF_BF²

2 ⁼

f So

< 1 となる。

(解答例 2) 更に、右の図で A → O と進む光を考え、BO = a, DO = b とする。 直線_{AO と直線 EF1} の交点C が点 A の像になる。

△ ABO と △ CDO は相似なので、m = CD_{AB =} ^DO_{BO =} ^b

a ^{. 更に △ EOF1 と △ CDF1} は相似なので、_{m = CD}

AB = ^CDEO = OF^DF11 ⁼

f − b

f ^{. したがって、} b a ⁼

f − b

f ^{= 1 −} b f ^. f > 0, b > 0 なので、 m = ^b

a < 1 よって、倍率 m は常に 1 より小さい。

(コメント) 数式で書くことを期待していましたが、下線を引いているところが本質的な ので、そこが表現できている答案には合格点を与えました。

B. こちらが勉強になるものも多く、楽しく読ませていただきました。授業中に出した例 は 2 点、新しい例は 3 - 4 点、共鳴ではないが固有振動に関係するものは 1 点として採点 しました。授業中に出した例以外の解答を挙げる。カッコ内は等しくなる振動数である。

• 声でグラスを割る (声の振動数とグラスの固有振動数)

• メスシリンダーに水を少しずつ入れて気柱を作る。空気の気柱に音叉を近づけて共 鳴させる（メスシリンダーの気柱の固有振動数と、音叉の振動数）

• 二つの糸の長さが同じ振り子の共振

• ブランコの固有振動数とブランコを押す回数が同じになった時の共振

• マリンバを叩いた際の鍵盤の固有振動数と共鳴パイプ中の気柱の固有振動数が等し くなり、共鳴が起きる

2

• コンデンサとコイルによる共振回路  (LC 共振回路、コンデンサは高い周波数の信 号をよく通し、コイルは低い周波数の信号をよく通す。したがって、コイルとコン デンサが同時に存在するときは、信号を一番通しやすい共振周波数が存在する。交 流電源の周波数と電気回路の持つ共振周波数が等しくなると、共振が起こる₎

• マイク・スピーカー間で起こるハウリング (マイクで振動している音波とスピーカー で振動する音波が同位相になり、音が消えにくくなる₎

• 洗濯機や乾燥機における共振

他には、共鳴というよりは固有振動の例ですが、グラスハープ等の楽器を上げている人が いました(弦楽器における弦の振動と同じ原理)。

練習問題 ₁₁ 月 ₂₃ 日 相対性理論 ₍₂₎ 解答例

1. 相対論的な速度の合成

(1) 宇宙空間中を速さ 0.5 c で動いている天体 A 上で、同じ方向に速さ 0.5 c で物体 B が打ち上げられた。ただし、c は光速度である。静止している人からは、物体 B の 速さはどのように見えるか。

ただし、相対性理論では、速さ _vA の物体 _{A 上で速さ vB}で打ち上げられた物体 _B の合成速度は

β = ^{βA+ βB}

1 + β^Aβ^{B で与えられ、βA=} vA

c ^{, βB=} vB

c ^である。

(2) 天体 A 上で光が発せられたとすると、光の速さは誰が見ても c なので、βB = 1 で ある。静止している人から見た光の速度を、上に与えた速度の合成公式で計算して、 やはり c になることを示しなさい。

(解答例)

(1) この場合、v^A= 0.5c は静止した人から見た宇宙船 A の速さであり、v^B = 0.5c は宇 宙船A から見た打ち上げ速度である。したがって、β^A = β^B = ^0.5c

c ^{= 0.5 である。} この時の、静止した人から見た物体B の速さを c で割った量である β は速度の合成の公 式から、_{β =}

β^A+ β^B 1 + βAβB

= ^{0.5 + 0.5}

1 + 0.5 × 0.5 ^{= 0.8 である。} したがって、速さ v は v = βc = 0.8c となる。

2_参考URL: https://www.yamaha.com/ja/musical instrument guide/marimba/mechanism/mechanism002.html

(2) 上の問題で、β^B = 1 とすれば良い。したがって、静止した人から見た光の速度を光 速 c で割った量である β は速度の合成の公式から、β = ^{βA+ βB}

1 + β^Aβ^{B =}

βA+ 1

1 + β^A× 1 ^{= 1 .} したがって、天体A がどのような速さで動いていても、天体 A から発せられた光は静止 した人から見て _{c の速度を持つ。}

2. 静止エネルギー

1945 年に落とされた長崎型原爆は爆薬 TNT (トリニトロトルエン) 換算で 22 kt の威力 であったと言われている。TNT 1 kt は 4.184 × 10¹² [J] のエネルギー放出に相当する。

(1) 長崎型原爆が放出したエネルギーはいくらか。

(2) 原子核が他の原子核に変わることによって失われる質量が原子爆弾のエネルギーの 原因である。1 g の質量が失われ、それが E = mc² によってエネルギーに変わった とすると、どれだけのエネルギーになるか。光速 c = 30 万 km/s = 3.0 × 10⁸ m/s を用いて計算しなさい。

(多量の原子核の分裂現象は非常に危険であることが分かる。) (解答例)

(1) TNT 1 kt は 4.184 × 10¹² [J] のエネルギー放出に相当するのだから、22 kt では、 (4.184 × 10¹²) × 22 = 9.2048 × 10¹³ [J] のエネルギーが放出される。

(2) 1 g = 0.001 kg = 10⁻³ kg であるので、1 g に相当するエネルギーは、

E = mc² = (10⁻³) × (3.0 × 10⁸)² = (3.0)²× (10⁻³× (10⁸)²) = 9.0 × 10⁻³⁺⁸⁺⁸ = 9.0 × 10¹³ [J] となり、(1) でもとめたエネルギーとほぼ等しい。