基礎講座(工学院2016年度) 福川賢治のホームページ

(1)

基礎講物理 ₍ 業力学及び演習 _II 対応学部機械学科対象 ₎

第 ₇回第 ₈回 11/15,11/22 ^エネル

担当_:福川賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin) 1. ^定義

2. ^{運動エネル} ^関係

3. ^保 ^力 ^ポテン ^{ャルエネル} 4. ^ポテン ^{ャルエネル} ^計算 5. ^{力学的エネル} ^保 ^則

(2)

1. ^仕事 ^定義

一力物体動く時

床 _x

(^仕事 W)

= (^移動方向 ^た力)^×(^{動いた距離})

= Fx^Δx

力方向移動方向同時プラ逆時イナ

単位 [N m] = [kg m²/s²] = [J] ( ^ュール Joule)

(^問題)

xb ^x

Fx

O xa

力 _F_x 物体

x = xa x=xb ^動い ^時 ^事

W = Fx(xb-xa) =(^{青い四角形} ^面積)

x

質量 _{5 kg} 物体 _{x= 2 m}

x= 5 m ^引 ^張 ^あい

保運動さ時

力事 _?

2m ^床 5m

1

(3)

力一定い時仕事

x Fx

O ^x^a xb

力一定見せい細く区間を分割

x = xa x = xb ^進 ^時

細く区間割し極限

(^物体 ^さ ^事)

=( Fx = Fx(x) ^曲線, x ^軸, x = xa, x = xb

4 ^本 ^線 ^囲 ^面積) 数学的

例_. 物体 _{x=0 (}つあい位置₎ x = xa ^ま ^動く時

数 _k 物体さ事 _W

O x F = -kx

事角形面積イナス

(^運動方向 ^力 ^方向 ^逆向 ) W = -(1/2)kxa²

F xa

-kxa

O

(4)

運動エネルギー仕事関係

一 _x軸方向力 _F 物体作用さ

t=0 t=t ^{等加速度運動さ} ^時 ^考え

(^一般 ^場合 ^証明 ^微 ^必要) 進距離 _{x =(1/2)at}²_+v_i_t

t=t ^速度 vf = vi+at

t ^消去 (1/2)vf²- (1/2)vi²_{=ax … ①}

運動方程式 _{ma = F} 両辺 _x max = Fx

( ^辺) = (1/2)mvf²- (1/2)mvi²

K = (1/2)mv²^{を運動エネルギー} (kinetic energy) ^呼ぶ

従項運動エネル増加表

(^右辺) = Fx ^力 ^物体 ^事 W

従 ₍運動エネルギー増加分_{) = (}力物体た仕事₎ あ一般場合成立 W = (1/2)mvf²- (1/2)mvi²

v

O t

at+vi

vi

3

(5)

保存力テンャルエネルギー

A

B

W₁ W₂

W₃ 2 1 3

A ^点 B ^点 ^力 ^質点 ^動く時

一般質点事量 _W₁_{, W}₂_{, W}₃

経路異

し質点さ事運動経路い場合

質点動力保存力呼ぶ

時保存力事２点位置決

従位置関数 _{U (x,y)} 考え W = U(xA,yA) - U(xB,yB) ^考え

関数 _U(x,y) 力テンャルエネルギー (potential energy) 呼ぶ

1. ^{テンシャルエネル} ^スカラ ^関数 (^通常 ^数) ^あ

ベトル比扱い簡単あ

2. ^{力学的エネル} ^保存則 ^運動 ^詳細 ^わ ^く ^速度等

情報得

4

(6)

テンャルエネルギー計算 ₍₁₎ 重力

地上をテンャルエネルギー ₀ こ多い

地 _(z=0) _{z = z} 行く重力事 _W

一力 _{F= -mg} _z 動く _{W= -mgz}

W = 0 - U(z) ^∴ -mgz = -U(z) ^{U(z) = mgz}

( ^問 ) ^点 z = z ^地 ^物体 ^自由落 ^さ ^時

地到着時物体速度

(a) ^{等加速度運動} ^直接 ^析 ^方法

(b) ^{力学的エネル} ^保存則 ^用い ^方法

求さい

z

O z

6

(7)

テンャルエネルギー計算 ₍₂₎ば復元力

力つあい位置 _(x=0) テンャルエネルギーを ₀ 場合多い

x = 0 x = x ^復元力 ^物体 ^行う ^事 W

角形面積イナス

(^運動方向 ^力 ^方向 ^逆向 ) W = -(1/2)kx²

W= 0 - U(x) ^∴ U(x) = (1/2)kx² (^問) ^物体 ^横向

あい位置初速度 _v 運動さ単振動振幅？

O x F = -kx

F x

-kx O

7

(8)

力学的エネルギー保存則

(^力 ^物体 ^し ^事) = (^{運動エネル} ^増加 ) W = (1/2)mvf²-(1/2)mvi²

力保存力時成立式 W = U(xA,yA) - U(xB,yB)

組合わ

(1/2)mvf²- (1/2)mvi²=U(xA,yA) - U(xB,yB)

(1/2)mvf²+U(xB,yB) = (1/2)mvi²+ U(xA,yA) = E ( ^数) 運動エネル _K=(1/2)mv²

テンシャルエネル _U 和 _{E = K+U} 一力学的エネルギー保存則呼ぶ

物理的重要物理量テンャルエネルギー差

テンャルエネルギー ₀ 点人間勝手決め良い

(^幾 ^力 ^い ^慣用的 ^決 ^い )

5

(9)

保存力非保存力

保存力_:重力万有引力弾性力ロン₍電磁気₎力

非保存力_:摩擦力抵抗力外力 ₍例え人外加え力₎

保存力保存さい力学的エネルギー

実際化学エネル熱エネル光エネル

質量エネル様々形態エネル存在し

全エネルギー保存考えい

力学的エネル種類エネル転換しい状態

力学的エネル散逸し状態あ呼ぶ

エネルギー転換い例

1. ^摩擦力: ^{力学的エネル} ^熱エネル

(= ^表面付近 ^子 ^{運動エネル} ) ^転換し ^い

2. ^物体 ^{非弾性衝突}: ^{力学的エネル} ^熱エネル ^転換 3. ^核融合 ^核 ^裂: ^原子核 ^{質量エネル}

熱や運動エネル転換

1 0

(10)

基礎講物理 ₍ 工業力学及び演習 _II 対応工学部機械工学科対象 ₎

第 ₉ 回 _11/29 摩擦

担当 _: 福川賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin)

1. ^べ ^摩擦

2. ^こ ^摩擦

3. ^ベルト ^摩擦

4. ^ブ ^ーキ ^摩擦

5. ^軸 ^摩擦

2016/11/29 ^{工学院大学} ^工業力学II^及び演習 ^{対応物理基礎講} 1

(11)

1. ^べ ^摩擦

物体接触い時接触面平行働く力

静摩擦力 ₍物体加えた力釣合静止い時₎

動摩擦力 ₍釣合い破物体運動時動を止めう力₎ あ力以上引張物体動出

動出前所働く摩擦力を最大摩擦力呼ぶ

静摩擦係数 _μ

s

最大摩擦力大さを _F,垂直抗力大さを _N _F=_μ

s^N

アントンクーロン法則 ₍近似的経験法則₎ 1. ^摩擦力 ^大 ^さ ^垂直抗力 ^比例

2. ^摩擦力 ^接触面積 ^接触面 ^様子 ^決ま 3. ^動摩擦力 ^物体 ^速 ^一定

4. (^{最大摩擦力})>(^動摩擦力)

F=_μ_kN < _μ_sN _μ_k ^{動摩擦係数}

(12)

mg sin _α

α

α _mg

mg cos _α N

静摩擦角

斜面を傾いたこ傾角 _α た時物体滑始めた物体静摩擦係数 _μ 幾 _?

こ _α こを静摩擦角₍また息角₎ 呼ぶ

μN

(^解答) ^物体 ^力を図示 ^右図 ^赤線 ^う重力を斜面垂直成分水平成分分解

右図緑線

物体滑始め直前力釣合い式を書く斜面水平成分: mg si α = μN

斜面垂直成分: mg cos α =N 辺々割算 _{μ = ta α}を得

(13)

2 ^．こ ^摩擦

床球完全剛体ば接触点変形い実際少物体変形あ大さ反力_R

A ^点 ^加わ

右図 _A点まわ力ーント釣合い_{:Fr = Pe} 従 _{F =(e/r)P=}_μ

r^P

μr^=(e/r)^をこ ^摩擦係数 ^呼ぶ

値 0.001 ~ 0.01 ^程 ^あ

また _eをこ摩擦係数呼ぶこあ一台機関車数十両客車引

客車こ摩擦働いためあ

A反力_R

(^垂直抗力P ^こ

摩擦力 _F 合力₎

距離 _e

垂直力 _P

球を転必要力 _F

A 半径ｒ

(14)

T₂

T₁ 半径 _r

A B

D C

O θ

3 ^．ベルト ^摩擦

円柱巻つたベルト ₍上図₎

微小長さ _{CD (}長さ _r_dφ) 半径方向力釣合い ₍ 図_): (T+dT) sin (dφ/2)+Tsin(dφ/2)=dP

d_φ ^微小角 x ^小 ^時 ^近似 sin x ~ x ^を使い更 ₂次微少量を無視 _Tdφ=dP ...

周方向力釣合い: (T+dT) cos (dφ/2)=T cos(dφ/2)+dF cos (_{dφ/2) ~ 1} dF = dT ...

滑 ₍ベルト共円筒回転₎トルクを伝え限界 dF^＝_μ_sdP ...

, , dF, dP ^を消去 _μ_s_dφ=(1/T)dT

従両辺を積分

� �_� _{� =}_�^�² _� � ^∴ �_�� = log^�_�² ^従 � = � ^�^�^� バンブーキ応用あ

上図_:ベルト摩擦

O 半径 _r

C D

角 _dφ/2 角 _dφ/2

dP dF

T T+dT

dφ

図_{: CD} 拡大図

(15)

4. ^ブ ^ーキ ^摩擦

a

b P

F P’

c

回転軸

ブーキ胴

ブーキ片 (^黄色)

A

ここブロックブーキを上

ブーキ胴外力_Pを加えブーキ片を回転軸押付こ回転軸回転を減速させ

ブーキ片動摩擦力_{: F=}_μ

k^P^’^∴ ^P’=F/μk^…...

点 _A周ブーキ掛力ーント釣合い_: cF+bP’-aP=0 …...

を代入 _(c+b/_μ_k_)F=aP ∴ _F=_μ_k_aP/( _+μ_k_c) 回転軸逆回い時摩擦力 _F 逆向

対応式 _-cF+bP’-aP=0 …... ’ F=_μ_kaP/(b-_μ_kc)

(16)

5. ^軸 ^摩擦

5-1. ^ラ ^アル軸 ^摩擦

ラアル軸 _... 常軸直角方向荷重を支え

θ

W R

plRdθ

長さ _l

圧力 _p

W ^軸 ^く ^を一様 ^反力 ^{単位面積当た} ^p

圧力いう

長さ _l 接触面うち _dθ 方向反力部分面積 _dA=lR _dθ _plR _dθ 従こ荷重方向成分 _W つ合う

� = ^�� sin � � = ��[−cos �]^�= 2��

た p=W/(2Rl). ^こ ^を軸 ^平均圧力 ^呼ぶ ^軸

� = �_�� = ^{� �}^�^� � = ^��^�^� ^摩擦力 ^そ ^ー ^ント � = ^��^�^�� ^発生

実際軸潤滑さたい

F=μ’W, N=μ’RW ^い μ’ ^{値を実験的} ^求め ^い

(17)

5-2. ^ラ ^ト軸 ^摩擦

ラト軸 _…軸方向荷重を支え

半径 _R 軸接触面一様垂直圧力 _{p=W/ πR}²₎ 働く軸軸間摩擦係数を_μ

k

小さ幅 _dr を持つン状面積働く摩擦力_:dF=_μ

k^p ^{2πr dr}

dF ^軸 ^中心 ^周 ^生 ^力 ^ー ^ント: dN=r^×dF=_μ_kp _2πr²) dr

た接触部分全体働く摩擦力ーント

� = � = ^� �_�� 2�� = ^� �_� _��^�₂ 2�� = �_��

W

圧力 _p

dr R r

(18)

基礎講物理 ₍ 工業力学 _II 及演習対応工学部機械工学科対象 ₎

第 _10,11 回 12/6,12/13) ^こ ^滑車 ^輪軸 ^斜面 ^仕事 ^効率

担当 _: 福川賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin)

1. ^こ

2. ^滑車

2-1 ^．定滑車 ^動滑車 ( ^仕事 ^原理 ) 2-2. ^複合滑車 2-3. ^差動滑車

3. ^輪軸 ( ^こ ^応用 )

4 ^{．斜面}

5. ^斜面 ^応用

5-1. ^くさび 5-2. ^ネ

6. ^機械 ^効率

2016/12/6 ^{工学院大学} ^工業力学II^{及演習物理基礎講} 1

(19)

h_A

1. ^こ (lever)

^力 ^ー ^ント ^つ ^{あいを利用} ^た機械

O B

A

a _b

W F

(^第一種₎ ^こ ^小さ ^力 _F ^大 ^物体を動

支点_O まわ力釣合い _Wa=Fb

従 _W/F=b/aこ比を力比呼ぶ

わち _aを小さく _bを大く

あいそ両方小さ力

大物体を動せ ₍く抜 ₎

またこを回転させた _A,B点変位 _h

B^{, h}A

角形相似 _h_B_/h_A_=b/a 関係あ 2 ^つ ^点 ^運動 ^た時間 _{Δ t)} ^等 ^い

そ速 _v_A_,v_B 間 _v

B^/vA^=(hB^/Δt)/(hA/Δt) =^b/a 関係 ₍速比₎ あ

B A O

h_B

(20)

2. ^滑車 (pulley)

定滑車 (fixed pulley)... ^軸 ^{位置を固定} ^た滑車 ( ^図 )

動滑車 _... 軸位置一定い滑車 ₍ 右図 ₎

W ^F=W

(^力 ^大 ^さ変わい₎

W A

A’

B B’

F^＝W/2

滑車働く重力を無視物体を引上重さ

F/2 ^{ロープを引} ^上 h ^高さ ^物体を持ち上う思う _AA’ 長さ _h _BB’ 長さ _h 分つま長さ _2h ロープを引く必要あ

従物体を _h 持ち上必要仕事

( ^図) Wh

(^右図) W/2^×2h = Wh

あ動滑車定滑車場合変わいここを仕事原理呼ぶ

F=W/2

(^力 ^大 ^さ ^半分)

(21)

2-2. ^複合滑車

W

W/2

W/2 W/4 W/4

W/8

F=W/8

図 _(a)

W

W/4 W/4

F=W/4

図 _(b)

W

F F

2F ^2F

4F 4F 8F 8F

図 _(c)

大ま ₃種類分

複雑くあわせ

基本前定滑車動滑車場合尽一つ部分注目

そこ力倍あい半分 ₎

半分数えいく

(22)

2-3. ^差動滑車

¥¥¥¥¥

W

r R

半径 R, r (R>r) ^軸 ^固定さ ^た2^個 ^定滑車 A,B 1^個 ^{動滑車を鎖} ^連結 ^た

チーンブロック応用

定滑車中心まわ力ーント釣合い (W/2)R=(W/2)r+FR ^∴F=W(R-r)/(2R)

R-r ^を小さく ^{ば小さい力} O.K. 物体を _h引上必要力仕事原理 _Fs=Wh を解く

s =h(2R)/(R-r) F

W/2 W/2

(23)

3. ^輪軸

r _R

W

O

こ原理を利用た機械

円筒₍半径 _R 車輪呼ぶ₎ 小さい円筒₍半径_r 軸呼ぶ₎ を同軸固定たを輪軸呼ぶ

車輪巻たロープを_F 力引軸重力 _W 重い物体を吊

回転軸回力ーント釣合い _FR=Wr ∴_F=(r/R)W 従 _r/R 小さば小さ力物体を引上こ

(^問題) ^仕事 ^原理 ^成 ^立 ^い ^こ ^を確 ^め ^さい F

(24)

4 ^．斜面

(^斜面 ^引 ^あ )

mg sin _α

α

α _mg

mg cos _α N

μs^N

F θ

質量_m 物体を傾角_α 粗い斜面沿引上必要力 _Fを求め

物体斜面静摩擦係数を _μ_s₌_ta _s 斜面垂直方向力釣合い N^＋F si θ=mg cos α

斜面平行方向力釣合い F _cosθ=μ_sN+mg _{si α}

＝_μ_s _{mg cosα}ー_Fsi θ +mg si α

∴ _{� =}

�� _� c �+ i � c �+�_s i �

静摩擦摩擦_μ_s₌_ta _sを代入

� = ^{�� a}_{c �+ a}^�^{c �+ i �}

� ^{i �} ⁼

�� i _� c �+c _� i � c � c _�+ i _� i �

=^{�� i} ^�^+�

c �− _� ^…

Θ=0 (^斜面 ^平行 ^力⁾ ^時

� = ^{�� i}_c ^�^+�

� ^,

Θ=-α ^力 ^水平方向⁾ ^時 F=mg tan ( _s_+α

2016/12/6 工学院大学工業力学II及演習物理基礎講座 7

(25)

( ^斜面 ^滑 ^落ち ^を支え ^場合 )

摩擦力逆向働く _μ

s ^わち s ^{符号を変え} ^ば ^く ⁽ s^→- s⁾

� = ^{�� i �−}_c _�+ ^�

… �

Θ=0 (^斜面 ^平行 ^{力を加えた}⁾^時 _{� =} ^{�� i �−}_c ^�

s

Θ=-α (^水平 ^{力を加えた}⁾^時 F=mg ta α^ー s⁾

斜面摩擦力上向働いい分小さ力

( ^斜面 ^物体を押 ^場合 )

力摩擦力向最初ケー比べ逆 Θ→Θ+π, s→ - s ^ば良い

� = �� sin � − �_�

cos � + � + �_� ^{= −}

�� sin � − �_�

cos � + �_� ⁼

�� sin �_� − � cos � + �_� Θ=0 (^斜面 ^平行 ^{力を加えた}⁾^時 _{� =} ^{�� i}_c ^�^−�

s

Θ=-α (^水平 ^{力を加えた}⁾^時 ^{F=mg tan(} _s^ーα

(26)

5. ^斜面 ^応用

5-1. ^くさび

F

P’ F_’

角 _{2 α} くさび

(^{くさびを打ち込} ^時, ^図)

くさび斜面静摩擦係数を _μ

s ⁼ta s

くさび働く鉛直方向力釣合い F=2P’ si α+2F cosα=2P’si α^＋2μsP’cosα

=2P’ si α+μ_s^cosα = 2P’ si α+ta _scosα

=2�′ sin � + _cⁱ ^�

� ^{cos � = 2�}

i � c _�+c � i _� c _�

=_2�′ ^{i �+} ^�

c _� ^∴ ^�^′ ⁼

�

i �+�_� c � ⁼

� c _� i �+ _�

(^{くさびを抜く時})

F _F’ ^向 ^反対 μ_s→-μ_s^, _s→- _s^{, F}→ -F

F= 2P_{’ μ}_scosα-si α = 2�′ ⁱ_c ^�^−�

�

(27)

5-2. ^ネ

斜面₍ネ面₎を円柱まつた考え

ネピッチ _(pitch)p _{... 1}巻進行長さ

斜面傾 : ta α = p/ πd ^摩擦係数 μs=ta

W

πd d ^ネ ^直径

上ネを巻く場合 N p

P

α

μ_s^N

を巻くため力 _P 必要垂直方向力釣合い

P=N si α+μ_s^N cos α^＝N si α+ ta cos α 平行方向力釣合い

W= N cos α -μs^N si α = N cos α- ta si α

∴_P=_W

c �+ a i �

c �− a i � = � tan � + � = � _{− a � a}^{a �+ a}

=_W ^�^�^��+�

��−�_��

画像 _Wikipedia 引用

(28)

( ^ネ ^を緩め ^時 )

P _μ_s, ^わち ^符号 ^変わ -P=� tan � − �

∴ _P=� tan � − � = � _{+ a � a}^a ^{− a �} = ^�_��+�^�^��−�

�^�

≦_{α μ}

sπd^≦^p) ^時 ^P^≦⁰→ ^ネ ^自然 ^緩

従固定用ネ _α 小さく作い

(29)

6. ^機械 ^効率

実際機械摩擦あため仕事原理成立たい

従機械有効仕事こ供給さエネルギー₍仕事₎ 比を

機械効率 (mechanical efficiency)

^呼ぶ

複数物体あ機械効率そ機械効率積

例_.ネ効率

ネた仕事_{... W} 力ピッチ _p 押込 _Wp ネ与えた仕事_...力 _P _πd 動 _P_πd

従効率 _Wp/ Pπd =Wp/ � tan � + � πd =_{�� a �+}^� = _{a �+}^{a �} = ⁻^��^��

+^��_�

あ

(30)

基礎講物理 ₍ 工業力学 _II 及演習対応工学部機械工学科対象 ₎

第 ₁₂ 回 _12/20) 振動

担当 _: 福川賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin)

1. ^単振動

2. ^単振動 ^応用

2-1. ^ば ^つ ^た物体 ^運動

2-2. ^単振 ^子

2-3. ^振 ^子

2-4. ^円錐振 ^子

2-5. ^実体振 ^子

(31)

１．単振動

等速円運動単振動

等速円運動を真横見直線上を往復運動いこ往復運動を単振動呼ぶ

等速円運動 _x軸方向単振動 _y軸方向単振動を合成た振動現象物理広く見

(^例: ^音波 ^電波 ^運動領域 ^{小さい結晶中} ^{原子や分子} ^運動)

画像金沢工業大学_KIT 物理ナビゲーョン物理単振動ー

(32)

振動を表現ラーター

振幅 _{A [m]...}振動いい状態位置変化 ₍変位₎ 最大値

周期 _{T [s]...}円周を一周 ₍物体一回振動 ₎ 必要時間

振動数 f [Hz] (Hertz, ^ルツ)...^{等速円運動} (^単振動) ^一 ^間 ^周回 (^往復) ^回数

角振動数 _{ω rad/s} _{... 1} 間円周上を角何動く

1 ^{ｆ回転} ^円周上を _{ω= πf} ^動く

例_. ₂ １往復 ₁ 間 _1/2=0.5往復 ₍片道₎進

T 1 ^往復 1 ^間 f = 1/T ^往復進

T = /f = π/ω ^書

注_.厳密意味角速ベクトル量あ角振動数角速大さ ₍ ラー量₎ あ

(33)

円運動 ₍ 単振動 ₎ 数式記述

x = A cos (ωt) dx/dt = - Aω sin (ωt) ^d²^x/dt² ^=-Aω²^cos(ωt) = ^-ω²^x y = A sin (ωt) → dy/dt = Aω cos (ωt) → d²^y/dt² ^=-Aω²^sin(ωt) = ^-ω²^y 従位置ベクトルを _{� = ,}

加速 _{� = −�}^�_� _{= −� , −�} 向心加速呼ばュートン運動方程式 _{� = � �} を思い出

� = �� = −��^�� ⁽^向心力⁾

(^力)^＝ ^比例定数 ^× ^位置

単振動場合物体元位置戻う力い

復元力呼ば

(34)

2. ^単振動 ^応用

2-1. ^ば ^つ ^た物体 ^運動

Hooke ^法則 ^釣 ^合い ^位置 x ^あま ^大 ^く ^い F=-kx k [N/m] ^ば ^定数 ^呼ば � = � � = −�� ^比較 � = ��

壁

O

� = _�^� � = ^2�_{� = 2�} ^�_� _{= � = 2�} _�^�

F=-kA(<0)

F=-kB(>0)

^A

B

(35)

2-2. ^単振 ^子 ^運動

長さ_l 糸吊さた質点 _m 運動

質点大さ_mg 重力大さ _T 糸張力_(tension)を糸鉛直向時質点位置を原点円弧長さを _s

(^右向 ^を正 ^向 ^標軸を )

重力を円弧方向糸方向分解 ₍ 図₎ 2^つ ^紫 ^直角 ^角形 ^う ^形 ^同 (^相似)

た軌道方向力大さを _-F_s _-F_s/(mg) = (d/l) 質点位置変化小さい時 _d ほ _s 同

-Fs/(mg) = (s/l) ^∴ -Fs = (s/l)mg

い力方向ま考え _F_s _{= -(mg/l)s}

こ単振動形方程式い

l

s ^mg

T

O

d

-F

s

mg

(36)

振子等時性

を � = � � = −�� ^比較 -mg/l=-_mω² ^あ _{� =} ^� _{, � =} ^�

� ^{= 2�} � ^, ⁼ � ⁼ �

�

こ振子振幅十分小さい場合単振子周期質点重さや振幅大さいこを示い

(^振 ^子 ^等時性 (isochronism), ^イ ^発見)

こ式振子周期長さ糸長さを測ば

重力加速値決めこ分

(^実際 ^{注意深く測定} ^ば 9.8 m/s²^く ^いま ^決定 ) そ他振子時計 ₍ イン発明₎や

トロー用いい

Fs = -(mg/l)s

(37)

2-3 ^． ^振 ^子

棒付た円板を離棒弾性元状態

戻う振動運動を

円板棒復元ーントを _N N = -_Cθ ^書 (C ^軸 ^バネ定数)

� ^を角加速 ^N^{を角運動方程式}� � = � ^代入

� � = −�� ^∴ � = − ^�_� � ^こ � = −� � ^対応 ^式 ^あ ^系

いう振動運動をこ分

θ

N

� = ^�_{� ,} � = ^2�_{� = 2�} _{� ,}^� _{= � = 2�} ^�_�

(38)

2-4. ^円錐振 ^子

糸物体をつ水平面半径 _r 等速円運動をうた物体

振子共動く標系考え糸張力 _S 遠心力 _mrω²_, 重力 _mg 釣合う

従 _Sを水平成分 _S

// ^垂直 ^成分 ^S^⊥ ^分解

S ^糸 ^方向 ^働い ^い ^力 ^釣 ^合うため S⊥^/S_// = h/r = (mg _{/ mrω}² _{=g/ rω}²) ^必要

たこを _ω つい解く _{� =}

� ℎ S

mrω² mg h

r

� = ^2�_{� = 2�} _{� ,}^ℎ _{= � = 2�} ^�_ℎ

(39)

2-5. ^実体振 ^子

物体を重心 _G 異点 _Oを通水平軸支え吊

回転うた物体

θ ^微小 ^時 ^Ｏ軸回 ^重力 ^ー ^ント ^大 ^さ -mg hsin _θ^≒ -_mghθ

物体 _O軸回慣性ーントを _I

0

角運動方程式 � � = −��ℎ� ^∴ � = −^��ℎ_�

0 ^�

振子場合同様考え

こ物体 _O軸回回転半径を _I

0^=mk0² � = 2� _�ℎ^�⁰² l = k₀²/h (^相当単振 ^子 ^長さ) _{� = 2�}

� ^単振 ^子 ^周期 ^同

OG ^延長線上 _{OO’ = l} ^う ^点を ^こ ^こ _O’^を振動 ^中心 ^呼ぶ

l h

k_G²/h O

G

O’ mg θ

� = ^��ℎ_{� ,} � = ^2�_{� = 2�} _{��ℎ ,}^� _{= � = 2�} ^��ℎ_�

基礎講座(工学院2016年度) 福川賢治のホームページ

基礎講 物理 ( 業力学及び演習 II 対応 学部機械 学科対象 )

1. 仕事 定義

一 力 物体 動く時

力 一定 い時 仕事

運動エネルギー 仕事 関係

保存力 テン ャルエネルギー

テン ャルエネルギー 計算 (1) 重力

地上を テン ャルエネルギー 0 こ 多い

地 (z=0) z = z 行く 重力 事 W

一 力 F= -mg z 動く W= -mgz

W = 0 - U(z) ∴ -mgz = -U(z) U(z) = mgz

( 問 ) 点 z = z 地 物体 自由落 さ 時

地 到着 時 物体 速度

(a) 等加速度運動 直接 析 方法

(b) 力学的エネル 保存則 用い 方法

求 さい

基礎講 物理 ( 工業力学及び演習 II 対応 工学部機械工学科対象 )

第 9 回 11/29 摩擦

担当 : 福川賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin)

1. べ 摩擦

2. こ 摩擦

3. ベルト 摩擦

4. ブ ーキ 摩擦

5. 軸 摩擦

1. べ 摩擦

静摩擦角

2 ．こ 摩擦

3 ．ベルト 摩擦

4. ブ ーキ 摩擦

5. 軸 摩擦

基礎講 物理 ( 工業力学 II 及演習 対応 工学部機械工学科対象 )

第 10,11 回 12/6,12/13) こ 滑車 輪軸 斜面 仕事 効率

担当 : 福川賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin)

1. こ

2. 滑車

2-1 ．定滑車 動滑車 ( 仕事 原理 ) 2-2. 複合滑車 2-3. 差動滑車

3. 輪軸 ( こ 応用 )

4 ． 斜面

5. 斜面 応用

5-1. くさび 5-2. ネ

6. 機械 効率

1. こ (lever)

2. 滑車 (pulley)

定滑車 (fixed pulley)... 軸 位置を固定 た滑車 ( 図 )

動滑車 ... 軸 位置 一定 い滑車 ( 右図 )

2-2. 複合滑車

2-3. 差動滑車

3. 輪軸

4 ．斜面

( 斜面 滑 落ち を支え 場合 )

( 斜面 物体を押 場合 )

5. 斜面 応用

5-1. くさび

5-2. ネ

( ネ を緩め 時 )

6. 機械 効率

機械 効率 (mechanical efficiency)

基礎講 物理 ( 工業力学 II 及演習対応 工学部機械工学科対象 )

第 12 回 12/20) 振動

担当 : 福川賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin)

1. 単振動

2. 単振動 応用

2-1. ば つ た物体 運動

2-2. 単振 子

2-3. 振 子

2-4. 円錐振 子

2-5. 実体振 子

１．単振動

等速円運動 単振動

円運動 ( 単振動 ) 数式 記述

2. 単振動 応用

O

F=-kA(<0)

F=-kB(>0)

2-2. 単振 子 運動

l

s mg

T

O

基礎講物理 ₍ 業力学及び演習 _II 対応学部機械学科対象 ₎

1. ^仕事 ^定義

一力物体動く時

力一定い時仕事

運動エネルギー仕事関係

保存力テンャルエネルギー

テンャルエネルギー計算 ₍₁₎ 重力

地上をテンャルエネルギー ₀ こ多い

地 _(z=0) _{z = z} 行く重力事 _W

一力 _{F= -mg} _z 動く _{W= -mgz}

W = 0 - U(z) ^∴ -mgz = -U(z) ^{U(z) = mgz}

( ^問 ) ^点 z = z ^地 ^物体 ^自由落 ^さ ^時

地到着時物体速度

(a) ^{等加速度運動} ^直接 ^析 ^方法

(b) ^{力学的エネル} ^保存則 ^用い ^方法

求さい

基礎講物理 ₍ 工業力学及び演習 _II 対応工学部機械工学科対象 ₎

第 ₉ 回 _11/29 摩擦

担当 _: 福川賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin)

1. ^べ ^摩擦

2. ^こ ^摩擦

3. ^ベルト ^摩擦

4. ^ブ ^ーキ ^摩擦

5. ^軸 ^摩擦

1. ^べ ^摩擦

2 ^．こ ^摩擦

3 ^．ベルト ^摩擦

4. ^ブ ^ーキ ^摩擦

5. ^軸 ^摩擦

基礎講物理 ₍ 工業力学 _II 及演習対応工学部機械工学科対象 ₎

第 _10,11 回 12/6,12/13) ^こ ^滑車 ^輪軸 ^斜面 ^仕事 ^効率

担当 _: 福川賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin)

1. ^こ

2. ^滑車

2-1 ^．定滑車 ^動滑車 ( ^仕事 ^原理 ) 2-2. ^複合滑車 2-3. ^差動滑車

3. ^輪軸 ( ^こ ^応用 )

4 ^{．斜面}

5. ^斜面 ^応用

5-1. ^くさび 5-2. ^ネ

6. ^機械 ^効率

1. ^こ (lever)

2. ^滑車 (pulley)

定滑車 (fixed pulley)... ^軸 ^{位置を固定} ^た滑車 ( ^図 )

動滑車 _... 軸位置一定い滑車 ₍ 右図 ₎

2-2. ^複合滑車

2-3. ^差動滑車

3. ^輪軸

4 ^．斜面

( ^斜面 ^滑 ^落ち ^を支え ^場合 )

( ^斜面 ^物体を押 ^場合 )

5. ^斜面 ^応用

5-1. ^くさび

5-2. ^ネ

( ^ネ ^を緩め ^時 )

6. ^機械 ^効率

機械効率 (mechanical efficiency)

基礎講物理 ₍ 工業力学 _II 及演習対応工学部機械工学科対象 ₎

第 ₁₂ 回 _12/20) 振動

担当 _: 福川賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin)

1. ^単振動

2. ^単振動 ^応用

2-1. ^ば ^つ ^た物体 ^運動

2-2. ^単振 ^子

2-3. ^振 ^子

2-4. ^円錐振 ^子

2-5. ^実体振 ^子

等速円運動単振動

円運動 ₍ 単振動 ₎ 数式記述

2. ^単振動 ^応用

2-2. ^単振 ^子 ^運動

s ^mg

振子等時性

2-3 ^． ^振 ^子

2-4. ^円錐振 ^子

2-5. ^実体振 ^子