基礎講座(工学院2016年度) 福川賢治のホームページ

基礎講 ₍ 物理学 ₁ 対応 ₎

学習支援セン 講師 ₍ 物理 ₎ 福川賢治

第一回 単位 次元

第 回 標

第 回 速 加速

第四回 加速 速 求 ₍₁₎

第五回 加速 速 求 ₍₂₎

1. ^{こ 授業 習熟 調査 勧告 基 設置さ い}

物理 あ 触 い い人向け そ 基本 解説

2. ^{初回 簡単 思 徐々 く い 講 奨}

応用 展問題 楽 解け 人 大 う

3. ^{単位 こ 保 あ 補助 最終的 皆さ 勉強 い}

4. ^{そ ほ く い 一歩一歩や い う 基本問題 楽 解け 目指 く さい}

5^{． イ 私} Google HP (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/kogakuin) う

注意 項

1. ^{私語 慎 く さい く 授業 行う 質問 い 構い}

(^{個別指 質問 歓迎})

2. ^{食 え く さい 水 補給 周 汚さ い う 気 け 行 く さい}

3. ^{イ 等 自由 行 い い 構い}

4. ^{フ ン 携帯電話類 電源 願い}

1-0. ^{単位 基礎的 項}

単位 物 量 測 必要 基準 示

本来測 人 異 い い

例_:イ ア ヤ ン 法 日本_: 尺貫法

陽暦 陰暦

人 使う単位 異 い 会話 便

何 統一さ 単位系 必要

SI ^{単位 通常使わ}

( ^{慣例的 理由} SI ^{単位系以外 単位 使わ こ あ} )

仏 : Système international _d‘unites

英 : International System of Unit

1-1. SI ^{単位 非} SI ^単位

SI ^基本単位 --- ^{基本 物理量 結び け 覚え う！} 力学 く出 く _SI 基本単位 _{3 !}

長さ _{--- m (} meter, metron=^{測 由来}) 時間 _{--- s (}秒_{, second)}

質量 _{--- kg (} , kilogram)

電流 _{--- A (}アン ア_{, Ampere)} 電磁気学 回路等 場 温 _{--- K (} ビン, Kelvin) ^{熱力学 場} 物質量 _{--- mol ( mole)} 原子 何個集 ? ^光 --- cd ( ^{ン ）}

非_SI 単位 _SI 属 い い 現在 慣用的 使わ い 時間 _{--- m (} minute), h (^時間 hour), d (^日 day) yr (^年, year) 質量 _{--- t (} ン ton) 1 t = 1000 kg

注意 _!!

異 物理量₍次元₎ 表 単位 持 量 足 引 い₍掛け算 割 算 _OK) (3 kg+5 s ^や 3 m +5 m^{2 計算 誤 あ} )

1-2. SI ^接頭辞

非常 大 い数や 非常 さ 数 表 後 桁数 表 称 け

例_. 東京_→ 距 _Expedia 9,904.55 km = 9904550 m

恐 く _m 単位 こ 距 言 い 言う人 殆 い い う

有効数字 べ 表示

有効数字 (Significant figure ^或い s.f. )

精 考慮 値 信頼 数値

例_{. 100 m}走 イ 測定

A. ^{一般的 腕時計 測}11 ^{秒 ／}0^{秒 近い 数点以下 情報 曖昧} 10^秒 (^０桁) B. 1/100^{秒 測定 計器} 10.33 ^{秒 数点第０位 信頼} 10.33^秒 (^４桁)

使用 機器 得 精 異

有効数字 表 精 考慮 結果 得 必要 あ

2015/9/17 ^{大阪 業大学 物理学実験 イ ン} 6

有効数字 ₌ 信頼 桁 ₊ 誤差 持 ₁桁_”

1 cm 1.00 cm ^{精 異}

有効数字 桁数 い 注意

簡単 場合 _{1.5 2}桁 _{1.58 3}桁 _{1.50 3}桁

数字 ₀ 測定 結果決定 ₀ け く 大 さ 示 い い ₀ あ

(^位 0)

考え い 値 大 さ 対 精 有効数字 桁数 決 例 単位 換算 有効数字 桁数 変わ い

1. 11.0cm = 110 mm = 0.000110 km = 3^桁 2. 3.0 kg = 3000 g = 2^桁

単 _{3000 g} 書い 精 程 い

そ う 曖昧さ さけ 指数 使 位 ₀ 表

誤差 _{1 g} 程 _3.000×₁₀³ _{g (4}桁₎ 誤差 _10g 程 _3.00×₁₀³ _{g (3}桁₎ 誤差_100g程 _3.0×₁₀³ _{g (2}桁₎

2015/9/17 ^{大阪 業大学 物理学実験 イ ン} 7

3.0^×10³ g

1.10^×10^-4 km

1.3 SI ^組立単位

SI ^組立単位 : SI ^{基本単位 組 合わ 表さ 単位}

代表的 例 _. 実 イ 納得 う！

面積 _(m

_), 体積 _(m

_), 密 _(kg/m

_), 運動 関係 量 _: 速 _(m/s), 加速 _(m/s

₎

電気量 _: ン (C = A s, Coulomb, ^ン )

注意： _{1 km}

_{1000 m}

く _{1 (km)}

_{=1000000 m}

あ

非 _SI 組立単位

面積 _{: ha (} hectare) 1 ha =1 hm

= 10

m

体積 _{: L (} ッ Litre) 1 L = 1 dm

= 10

m

=1000 cm

く使わ い いく 固有 前 え い あ ₍ 問 ₄₎

注意 必要 _SI 組立単位

角 _{: rad (} アン, radian) = (^長さ)/(^長さ) ^{単位 い量} (^無次元量)

立体角_{: sr (} アン, steradian) = (^面積)/(^面積) ^{あ 無次元量}

1 rad ^定義

い い 形 角 大 さ

1 sr ^定義

画像 _Wikipedia 各項目 引用

1-4. ^次元解析

物理量的次元 調べ こ 物理量 士 関係 予測 方法 ₍問₁₀₎ 物理学的次元 基本 物理量 組 合わ 単位 やや抽象的 表 長さ _{L (Length} 略_), 質量 _{M (mass),} 時間 _{T (time),}

電流 _I, 温 _Θ, 物質量 _N, 光 _J 表 物理量 _Q 対 次元 書 方 _[Q]=[L^a_M^b_T^c_]

面積 _[L²_], 体積 _[L³_], 密 _[ML^-3_], 運動 関係 量_: 速 _[LT^-1_], 加速 _[LT^-2_] 電気量_: ン (C = A s, Coulomb, ^ン) = [IT] ^等

再 注意_: 次元 異 物理量 基本的 物理量 違う 足 引 い _!! (^{特 文字式 場合 注意})

問_. 気体定数 次元 う 表さ _{? (}問₇₎

cf. ^{数学的次元 例えば空間 点 あ わ 何個 数 必要} ?

(^{次回 標 扱う})

次元解析 例 ₍ 振 子 等時性 ₎

振 子 運動 糸 長さ _{l [m],} 重 質量 _{m [kg],} 重力加速 _{g [m/s}²_] 関係 周期 _T こ 関数

l, m, g 2 ^量 3 ^{量 単位 作 こ い}

T=C ^ｌx m^y g ^z (1) (C ^{次元 い定数}) ((1)^{式 辺 次元}) = [T]

((1)^{式 右辺 次元}) = [L^x]^×[M^y]^×[L^z T^-2z] = [L^x+z M^y T^-2z]

物理的 正 い式 あ 両辺 次元 等 い必要 あ

→ x, y, z ^{い 方程式 立 こ}

[L] ^い x+z= 0 [M] ^い y=0, [T] ^い -2z=1 x=1/2, y=0, z=-1/2

� = � _�^{� 実際は C= π}

重 質量 違 い 糸 長さ あ ば 振 子 周期 ！

質量 _m 長さ _l

注意 べ 計算

問 _{6 (} 標準問題 ₎

指数関数 _e^x _{x (}指数 引数₎ 単位 問わ い

指数関数や 角関数 引数 無次元 あ 何故 _? 説明_1. アン 定義 戻 _(→ 板書₎

説明_2. 微 考え

�

� ^{= ��,}

2 _{si �}

�² = − sin � , ^{2 c s �}_�2 = − cos �

説明_3. 指数関数や 角関数 以下 足 算 表さ ₍微 扱うさい触 ₎ e^x=1+x+x²/2

sin x = x-x³/6+x⁵_{/ …} cos x =1- x²/2+x⁴_{/ 4…}

各々 例 _x 次元 持 う こ 起こ _?

基礎講 ₍ 物理学 ₁ 対応 ₎

学習支援センタ 講師 ₍ 物理 ₎ 福川賢治

第一回 単位 次元

第二回 ベクトル 標

第三回 速 加速

第四回 加速 ら速 を求 る ₍₁₎

第五回 加速 ら速 を求 る ₍₂₎

物体 位置を表す _?

原理的 一つ つ位置 前を指定する必要 ある

例_. 学習支援センタ 位置

東京都八王子市中 _2665-1 八王子キャンパス 総合教育棟 ₁ 階 _1W-111 号室

た し こ 物体 運動を表現する 非常 面倒

簡単 位置を言い表すこ い _?

ある点₍原点_{, Origin)}を基準 し 方向 け離

いる を指定し や ば い

こ 標 (Coordinate) ^{考え方 ある}

基準 る点 そこ ら 位置 指定 仕方を 標系(Coordinate system) ^呼ぶ

八王子キャンパス キャンパスマップ

標系 例

直交 標系 ₍最 簡単 標系₎

O

2^{次元直交 標} ₃

次元直交 標 3

ｙ_[m]

x [m] 5

(5 m,3 m)

O

x [m]

ｙ_[m] z [m]

(5 m,3 m, 4 m)

5

3

標系一般 性質

点を表す 必要 数 個数 数学的 空間 次元 一致する 原点 軸 選び方 ( ^{標系を る 標系を張る 言う})^{自由 選べる}

問題 うまく軸を取る必要 ある

原点 直交する軸を書 各軸 ら 距離

位置を指定

極 標系

O _{x [m]}

ｙ_[m]

r [m] ^{r , Θ} Θ

3^{次元極 標} (^{球 標})

像 _Wikipedia ら 引用

2^{次元極 標} ( ^標)

考える運動 ₍ 運動 ₎ 原点 ら 距離

ある軸 _(x 軸_{, z} 軸₎ ら 角 表したほう 簡単 位置を 表 る

一般 筒 標や

高次元極 標 考えら る

直交 標 対応 x=r _{cos Θ}

y_{= r sin Θ} (^{た し} r>0)

を用いた三角関数 定義

問：直交 標 対応 う ？

三角関数 値

定義： 単位 ₍原点を中心 する半径 _{1 )}

x ^{軸 ら角} _Θ ^{回 た 標} cos Θ, sin Θ

代表的 三角関数 値 覚え う_!!

O _x

ｙ

1 cos Θ, sin Θ Θ

O _x

ｙ

r

弧 長さ _{L=r Θ} 角 _Θ＝_L/r

ラジアン 定義 Θ

1

Ｌ

スカラ ベクトル

スカラ _: 大 さ を持 た 標軸 変更 大 さ 変わら い 例_: 質 長さ 電荷 絶対温 ベクトル 大 さ

ベクトル_: 大 さ 向 を両方 た 標軸 回転 成分 変わる 例_: 位置 力 電場 磁場

例_: 位置ベクトル ₍₂次元 場合₎

O _{x [m]}

ｙ_[m]

(r cosΘ, r sinΘ) Θ

� _� ^{= (rx,ry)} = r cos Θ, r sin Θ ^{ベクトル 成分表示}

ベクトル 太字を用い _r 書 る

ベクトル 大 さ

� = � = �_� + � = � cos � + � sin �

性質 異 る 異 る記号 表す

ベクトル 図形表示

ベクトル 演算 そ ₁

� = � , � , … … , �_� ^, = , , … … , _� ^{, 与えら た する}

以 演算 定義さ いる

1^{．ベクトル 大 さ}

� = � = � + � + ⋯ + �_� ^{(三平方 定理)}

2. ^{スカラ 倍}

� � = �� , �� , … … , ��_�

特殊 ベクトル_: 逆ベクトル − � = −� , −� , … … , −�_� ロベクトル = , , … … ,

3^{．ベクトル 足し算 引 算}

+ = � + , � + , … … , �_� + _�

− = � − , � − , … … , �_� − _� 分配法則_{: � + = � + �}

�

ベクトル 演算 そ ₂

ベクトル 積 ₍ スカラ 積 scalar product)

簡単 た を _x軸 _� す角を_Θ する

つま � = � cos � , � sin � , = ,

� ^積 � ∙ = � cos � × + � sin � × = � cos �

意味_: 二つ ベクトル 程 同 向 を向い いる を表す � ∙ = ↔ � = ^また = ^また � ^垂直

一般 ベクトル � = � , � , … … , �_� ^, = , , … … , _� ^{対し 積} � ∙ = � + � + ⋯ + �_{� �}

定義さ る

1^{． 積 スカラ ある}.

2^{．交換法則} � ∙ = ∙ � ^分配法則 � ∙ + = � ∙ + � ∙ ^{成 立つ} �

Θ

ベクトル 外積 ₍ ベクトル積 vector product)

対し

� × = � − � , � − � , � − � 例_. � = � cos � , � sin �, , = , , ^時

� × = ab sin � ^{ある 別 標系を 成 立つ}

意味_: を _�辺 する平行四辺形 面積 大 さを持つ 垂直 近いほ 大 さ 大 い

ベクトル 外積 性質

0. ^{外積 結果 ベクトル ある}

1. � × � = ^2. � × = − × � ^反交換性 3. _{� ×} + = � × + � × ^分配法則

4^． _{� ∙ � × = ∙ � × = � ×} ^は _� ^{垂直 ベクトル}

� = � , � , �₃ ^, = , , _�

� ×

基礎講 ₍ 物理学 ₁ 対応 ₎

学習支援センタ 講師 ₍ 物理 ₎ 福川賢治

第一回 単位 次元

第二回 ベクトル 標

第三回 速 加速

第四回 加速 ら速 を求 る ₍₁₎

第五回 加速 ら速 を求 る ₍₂₎

( _{速度 前に)関数} ?

運動学 物体の運動を調べ _… 物理的 記述の基礎 各時刻 位置 速度 ^{(次ペー 以降 説明) わか}

物体の運動 決ま 時刻 位置や速度を対応させ 必要 あ

関数 _(function) 通常の

数と数との対応関係 ^{思え 良い} 例. x=x(t)= 4.9t²

(^物理学 x ^{標の値 い}

く_x=f(t) く _x=x(t) いう書き方をす ₎

具体的 以 の う 表を作る

t [s] x [m] 0.1 0.049 0.2 0.196 0.3 0.441 0.4 0.784 0.5 1.225 0.6 1.764 0.7 2.401 0.8 3.136 0.9 3.969 1.0 4.900

合成関数

u = u(x), x=x(t) ^の時 u=u(x(t)) ^を u x ^の_合成関数 ^いう

例 ^u(x)=x3, x(t)=2t+1 ^の時 u(x(t))=(2t+1)³

速 (velocity) (^{高校 復習})

以 簡単のた 一次元 運動を考え (2次元以上の場合ベクトルの概念 必要₎

速度 ₍量子力学的 こ を考え け ₎ 素朴 定義 良い 速 一定 場合 ₍速 ₎₌₍位置 変化_)/(時間₎

速 速さ

速 … 負 方向 動く マイナス 速 る 速さ … 速 大 さ ₍絶対 ₀ 以 ₎

問_{. t = 2 s x = 5 m} いた物体 _{t = 5 s x = -4 m} 移動した 速さ 速度 ？

t x

O x-t ^ラフ

x=v0t (^直線の式) 傾 速 _v0

t ^t

v v0

O

v-t ^ラフ

(^時刻 t ^{ま の移動距離} v0t)

= ^{(四角形 面積)}

速 ₍続 ₎

疑問_: 速さ 一定 見 せ い場合 の う す 良いか_? 答え_: 速さ 一定 見 る ₍一定の場合 識別 き いく い ₎

程 時間を細 くわける → 微積分 考え方

微小 物理量 物理量の前 _{Δ (}デ タ_{, delta)}を け 表す ₍Δt_, Δx 等₎ 注意_: Δt Δ×_t い_{!! ( f(x) f}×_x い 同 ₎

(^{進 距離)=(大体青い短冊 面積 和)}

極限ま 刻 幅を細かくす 厳密 _{v=v(t) t}軸 ま た 形の面積 (^定積分そ )

t

t v

O

平均速 瞬間速 ₍ 微分 定義 ₎

平均速 _{v = Δx/Δt}

Δt ^{小さけ 小さい 良い}

( ^{沢山位置を測定した方 良い} )

Δt ^{0 い 頭の中}

0 ^{いくら 近 ける こ き}

の中の操作を Δt → 0 極限 _(limit) を る

呼び 書く

瞬間速 _:

最後 定義 教科書 出 くる微分 定義

t [s] x [m]

t x

t+Δt _x

+

_Δx

v [m/s]

Δx/Δv

微分結果を_t 関数 し 意識する時 dx/dt(t) ^書く

微分 意味

前の ライドの微分の定義式 _{Δt → 0} を忘 (^{二重の〜 近似的 成 立 いう意味}) x-t ^{ラフを拡大する 直線 近 く}

t x

O t _t+Δt

x(t) Δt x t+Δt

1 ^階微分 (1 ^{回微分す こ をこう呼ぶ}) 関数を ₁ 次関数 微分す こ 対応

(^{速 ラフ 傾 対応})

= (^赤い直線 x=x(t) ^{のグラフの傾き})

地球 狭い生活範

平 見 せ

加速 (acceleration)

(^加速 )=(^{速 変化})/(^時間)

Newton ^{運動 法則 る 力 加速 を生 る}

注意_: 減速し い 加速 呼ぶ

数学的 速度 位置の場合 同様 考え

定義さ

ここ 速度 位置を時間微分した の あ の _{( ),}

加速度 位置を ₂回連続 微分した の

このこ を位置 加速度の ₂階微分 (second derivative) ^{あ 呼ぶ} 2^階微分 (^一般 n ^{階微分の書き方})

2^{階微分 近くの関数を}2^次関数

表し い こ 対応

多項式 微分

例_{. x(t)=t}² の時の v(t)= dx/dt 微分の定義 従っ 計算す

STEP I. ^{ま Δx} = x(^t+Δt)-x(t) ^{を計算する}

(^{分配法則を用い 展開})

STEP II. ^{次 Δt 割る}

STEP III. ^{最後 Δt → 0 する}

基礎講 ₍ 物理学 ₁ 対応 ₎

学習支援センタ 講師 ₍ 物理 ₎ 福川賢治

第一回 単位 次元

第二回 ベクトル 標

第三回 速 加速

第四回 加速 ら速 を求 る ₍₁₎

第五回 加速 ら速 を求 る ₍₂₎

前回の復習 ₍ 詳しく 前回の ライドを参照す こ ₎

速 定義 _{v= (}位置 変化_)/(時間₎₌Δx_/Δt その時刻の速度を考え ₍瞬間速度₎

仮想的 _{Δt → 0} の極限を い

加速 定義 _{a= (}速 変化_)/(時間₎₌Δv_/Δt

1 ^{階微分 関数を} 1 ^{次関数 近似} す こ 対応

定積分

� � �

�� ^{= � � る う F(x) を f(x) 定積分 び}

積分記号 インテ ラル _(integral)を用い � � = � � �� ^書く

例_. 位置 関数 _x(t) 速 関数 _v(t) 定積分 一つ ある ₍

� � �

�� ^{= � � )}

F(x) f(x) ^{定積分 ら 定数}C^を加えた F(x)+C ^{定積分 る} ( ^{� � � +�}

�� ^{= � � る )}

定積分を書く 通常定数 _C を加え 書く ₍積分定数 呼ば る₎ 例_. � �� = � + � (C ^{積分定数)}

具体的 計算 微分 ら推測する

複雑 計算 対し 置換積分や部分積分 を実行する₍ うまくいく場合 ある₎

微分 積分 関係

近似式 を

t=t

^か t=t

^{ま 足し合わせ}

x(t

)-x(t

) ~ dx/dt(t

)× _Δt

x(t

)-x(t

) ~ dx/dt(t

)× _Δt

x(t

)-x(t

) ~ dx/dt(t

)× _Δt

x(t

)-x(t

) ~ dx/dt(t

)× _Δt

x(t

)-x(t

) ~ (Σ

(dx/dt)(t

))Δt

t

t v

O

t [s] x [m]

a=t^０＝0 x0

t1^＝Δt x1

t2_=2Δt x2

(n-1)_Δt

xn-1

b=tn=_nΔt xn

v [m/s] v1

v2

vn +

脚注 _Σ 添字 ₍この場合 _i) を変化させ 足し合わせ いう意味の記号

移動距離 速 ×時間を細 く 足し合わ た

微分 積分 関係 (続 )

前のペー の式 _{x(tn)-x(t0) ~ (}Σ_{i=0(dx/dt)(ti))}Δt Δt → 0 ^{の極限を 近似式 厳密 等式}

この左辺の無限和 定積分を表し 書く

従っ 積分記号を使っ 上の式を書き表す

書け

こ こ 微分 積分 逆演算 関係 あるこ を表し いる 右辺 _v(t) の _t=a か _t=b の定積分 呼ぶ

速 _v(t) 時間 関数 し 書けた時 _t=a 時 位置 _{x(a) (} 初期条件 ₎

与えら た場合 _t=b ける位置 _x(b) 求 方

ＥＰ Ｉ_. 都合 い 定積分 _X(t) を求 る

� � = � � ��

こ _X(t) 位置 _x(t) X(t)=x(t)+C (C ^積分定数) ^{関係 ある} X(b)-X(a)=[x(b)+C]-[x(a)+C]=x(b)-x(a)

ら 前 ジ 式 あわ る

� ^{� � �� = � − � � = �} − � � = [� � ]_� る

ＥＰ _II. 初期条件 つま 位置 _x(a) 情報 ら _x(b) を求 るこ る

� = [� � ]_� = � − � � + � �

加速 _a(t) 時間 関数 し 与えら いる場合 速 _v(t) を求 る 手続 全く同様 ある

微分 _{: x(t)} → v(t) → a(t) ^{積分 : a(t)} → v(t) → x(t)

基礎講 ₍ 物理学 ₁ 対応 ₎

学習支援センタ 講師 ₍ 物理 ₎ 福川賢治

第一回 単位 次元

第二回 ベクトル 標

第三回 速 加速

第四回 加速 ら速 を求 る ₍₁₎

第五回 加速 ら速 を求 る ₍₂₎

前回ま 復習 ₍ 詳しく 前回ま スライ を参照 ₎

速 _{: � = lim}

∆�→

∆�

∆� ⁼

��

�� ^{加速 : a = lim}_∆�→

∆�

∆� ⁼

��

�� ⁼

�

��

��

�� ⁼

�²�

��²

定積分_: � � = � � �� ^{時 � � �}_�� = � � ^{F ｔ をf(t) 原始関数 呼ぶ} 微分方程式を解く _… 微分を含 方程式

� � �

�� ^{= � � ら x(t) を求 るこ}

初期条件 _t=a 時 _{x(a) (}微分方程式を解く 必要 最初 状態₎ 積分 微分 関係

微分方程式 解

� � = [� � ]_�^� + � � = � � − � � + � �

X(t) v(t) ^定積分

加速 _a(t) 時間 関数 し 与えら いる場合 速 _v(t) を求 る 手続 全く同様 ある

微分_{: x(t)} → v(t) → a(t) ^{積分: a(t)} → v(t) → x(t)

初等関数 微積分

� �

�� = ��

^{↔ �}

^{�� =}

1

� �

^{+ �}

�

�� sin � = cos � ↔ cos � �� = sin � + �

�

�� cos � = − sin � ↔ sin � �� = − cos � + �

�

�� ^�

⁼

^↔

^{�� =}

^{+ �}

�

��

^{log � =}

^↔

�� = log � + �

微積分 公式

1. ( ^{積の微分公式} ) ^⇔ ( ^{部分積分 公式} )

f(t), g(t) ^を t ^{関数 し}

2. ( ^{合成関数の微分公式} ) ^⇔ ( ^{置換積分 公式} )

u=u(x)=u(x(t)) ^する

注意すべ 微分方程式 ₍₁₎ 変数分離型微分方程式

��

�� ⁼

�

� ^する

こ 微分方程式を解くこ を考える 与えら た微分方程式 ら

� ^��_�� = � �

こ 両辺を _t 積分する

� ^��_�� �� = � � �� + � (C ^{積分定数)} 左辺 置換積分 公式 ら

� �� = � � �� + �

初期条件 ら _C を決定し _v つい 式を解く v ^を v = ^{ｖ ｔ し} t ^{関数 し 求 ら る}

注意すべ 微分方程式 ₍₂₎

振動 ₍ 指数関数的 ₎ 発散を表す微分方程式

ここ 三角関数 微分 ら微分 方程式解 形を予測する

�

�� sin �� = �

�

�� cos �� = −� sin ��

�

�� cos �� = −�

�

�� sin �� = −� cos ��

�

�� ^{�� = �}

�

�� ^{�� = � ��}

従 微分方程式

�²�

��^{2 = −� � 解} � = � sin �� + � cos ��

�²�

��^{2 = � � 解 � = � �� + � ��}

C₁, C₂ ^初期条件(^{スタ ト時点 位置 速} ) ^決まる