第 4 章 関数の極限
3.3 逆三角関数
定義3.10. （逆三角関数）
三角関数は周期関数であるから，その定義域全体では単調関数ではない．そこで，定義域を制限すれば sinx は閉区間 h
−π 2 , π
2
i で狭義単調増加かつ連続
cosx は閉区間 [0, π] で狭義減少増加かつ連続
tanx は開区間
−π 2 , π
2
で狭義単調増加かつ連続
となるから，定理2.21よりそれぞれ逆関数が存在する．
sinx: h−π
2 , π 2
i−→[−1,1] の逆関数を Sin−1x (−1≦x≦1)
cosx: [0, π]−→[−1,1] の逆関数を Cos−1x (−1≦x≦1) tanx:
−π 2 , π
2
−→R の逆関数を Tan−1x (x∈R)
で表し，これらをまとめて逆三角関数という．
Sin−1x,Cos−1x,Tan−1xはそれぞれアークサイン，アークコサイン，アークタンジェントと呼ばれる．別の記 号としてarcsinx,arccosx,arctanxのように書くことも多い．
逆三角関数については次の性質が知られている．グラフの概形については三角関数のグラフを y=xに関して 対称移動して確認せよ．
(1) Sin−1xは [−1,1]上で狭義単調増加かつ連続 (2) Cos−1xは[−1,1]上で狭義単調減少かつ連続 (3) Tan−1xはR上で狭義単調増加かつ連続 (4) lim
x→∞Tan−1x= π
2 , lim
x→−∞Tan−1x=−π 2
逆三角関数の値の計算するには，以下のように三角関数の問題に直せばよい．
例題3.11. 次の値を求めよ．
(1) Sin−11
2 (2) Tan−1(−√
3)
（解答）
(1) θ= Sin−11
2 とおくと
sinθ= 1 2
−π
2 ≦θ≦ π 2
よって，これを満たすθは θ= π
6 であるから，Sin−11 2 = π
6 (2) θ= Tan−1 −√
3
とおくと
tanθ=−√ 3
−π
2 < θ < π 2
よって，これを満たすθは θ=−π
3 であるから，Tan−1 −√ 3
=−π 3
（解答終）
慣れてくればこの解答のようにいちいち置き換えをしなくても，暗算で計算すればよい．
複雑な逆三角関数の値は加法定理を用いて計算する．その際，角度の範囲には注意すること．
例題3.12. 次の値を求めよ．
(1) Tan−12 + Tan−13 (2) 2 Tan−1(√
2−1) (3) Sin−11
7 + Sin−111 14
（解答）
(1) α= Tan−12, β= Tan−13とおくと tanα= 2
−π
2 < α < π 2
, tanβ= 3
−π
2 < β < π 2
である．よって
tan(α+β) = tanα+ tanβ
1−tanαtanβ = 2 + 3 1−6 = 5
−5 =−1 となる．ここで，条件より1<tanα <tanβ なので π
4 < α < β < π
2 であるから，π
2 < α+β < πとな る．これより
tan(α+β) =−1
π
2 < α+β < π
=⇒ α+β= 3 4 π が得られる．従って，Tan−12 + Tan−13 =α+β= 3
4 π (2) α= Tan−1(√
2−1)とおくと
tanα=√ 2−1
−π
2 < α < π 2
である．よって
tan 2α= 2 tanα
1−tan2α = 2(√ 2−1) 1−(√
2−1)2 = 2√ 2−2 2√
2−2 = 1 となる．ここで，条件よりtanα >0 なので0< α < π
2 であるから，0<2α < πとなる．これより tan 2α= 1 (0<2α < π) =⇒ 2α= π
4 が得られる．従って，2 Tan−1(√
2−1) = 2α= π 4
(3) α= Sin−11
7, β= Sin−111
14 とおくと
sinα= 1 7
−π
2 ≦α≦ π 2
, sinβ= 11 14
−π
2 ≦β≦ π 2
である．ここで，条件より0<sinα <sinβ なので 0< α < β < π
2 であるから cosα=p
1−sin2α=
√72−12
7 = 4√
3
7 , cosβ= q
1−sin2β=
√142−112 14 = 5√
3 14 であり，さらに0< α+β < πである．よって
cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ= 4√ 3 7 · 5√
3 14 − 1
7 · 11
14 = 60−11 98 = 49
98 = 1 2 となる．これより
cos(α+β) = 1
2 (0< α+β < π) =⇒ α+β = π 3
1 11 π
例題3.13. 次の値を求めよ．
(1) Sin−1
sin 3 5 π
(2) tan
Sin−11 5
（解答）
(1) α= Sin−1
sin 3 5 π
とおくと
sinα= sin 3 5 π
−π
2 ≦α≦ π 2
である．よって，α= 2
5 πが得られる．従って，Sin−1 sin 3
5 π
=α= 2 5 π (2) α= Sin−11
5 とおくと
sinα= 1 5
−π
2 ≦α≦ π 2
である．ここで，条件よりsinα >0なので 0< α < π
2 であるから cosα=p
1−sin2α= r
1− 1
25 = 2√ 6 5 なので
tan
Sin−11 5
= tanα= sinα cosα = 1
2√ 6
（解答終）
例題3.14. 方程式Sin−1x= Cos−14
5 を解け．
（解答） α= Sin−1x= Cos−14
5 とおくと
sinα=x
−π
2 ≦α≦ π 2
, cosα= 4
5 (0≦α≦π) である．よって，0≦α≦ π
2 となるから，sinα≧0より x= sinα=p
1−cos2α= r
1− 16 25 = 3
5
（解答終）
例題3.15. −1≦x≦1 のとき，次の等式が成り立つことを示せ．
Sin−1x+ Cos−1x= π 2
（解答） y= Sin−1xとおくと
siny=x
−π
2 ≦y≦ π 2
である．このとき
cos π
2 −y
= siny=x となり，0≦ π
2 −y≦πであるから π
2 −y= Cos−1x ∴ y+ Cos−1x= π 2 従って，Sin−1x+ Cos−1x=y+ Cos−1x= π
2
（解答終）