第 5 章 微分法
5.5 微分法の応用その 5 ：微分法の方程式・不等式への応用
高校数学でも微分法を用いて関数のグラフを描くことで『方程式の解の個数の判定』や『不等式の証明』へ応 用することは学習済みであるが，ここでも復習を兼ねて例題を挙げておくことにする．
例題5.33. kを定数とする．方程式logx=kxの異なる実数解の個数を求めよ．
（解答） 真数条件よりx >0 で考えればよい．このとき，方程式は logx
x =kであるから，f(x) = logx
x とお
く．f(x)の導関数を計算すれば
f′(x) = 1
x ·x−logx·1
x2 = 1−logx x2 より，f′(x) = 0となるのはx=eのときである．また，x→ ∞では ∞
∞ の不定形なので
xlim→∞f(x) = lim
x→∞
logx x = lim
x→∞
1 x
1 = lim
x→∞
1 x = 0
となる（ロピタルの定理を適用し，等号は右からさかのぼって成り立つ）．以上のことより，増減表は x (0) · · · e · · · (∞)
f′(x) + 0 −
f(x) (−∞) % 1
e & (0) となる．
方程式 f(x) =k の異なる実数解の個数はy=f(x)のグラフと直線y=k の異なる共有点の個数に一致する．
ゆえに，求める実数解の個数は
k > 1
e のとき 0個
k≦0, k= 1
e のとき 1個
0< k < 1
e のとき 2個
（解答終）
例題5.34. 0< a < bのとき，不等式 1 b < 1
b−a log b a < 1
a が成り立つことを示せ．
（解答） f(x) = logxとおくと，区間[a, b] で微分可能なので平均値の定理を適用すれば，f′(x) = 1
x より
1
b−a log b
a = f(b)−f(a)
b−a =f′(c) = 1
c, a < c < b となるcが存在する．ここで，1
x は x >0で狭義単調減少であるから 1
b < 1 c < 1
a より，示すべき不等式 1
b < 1
b−a log b a < 1
a が成り立つ．
（解答終）
例題5.35. kを定数とする．方程式x2=kex の異なる実数解の個数を求めよ．
（解答） 方程式はx2e−x=k であるから，f(x) =x2e−x とおく．f(x)の導関数を計算すれば f′(x) = (2x−x2)e−x=x(2−x)e−x
より，f′(x) = 0となるのはx= 0,2 のときである．また，x→ ∞では ∞
∞ の不定形なので
xlim→∞f(x) = lim
x→∞
x2 ex = lim
x→∞
2x ex = lim
x→∞
2 ex = 0
となる（ロピタルの定理を2回適用し，等号は右からさかのぼって成り立つ）．以上のことより，増減表は x (−∞) · · · 0 · · · 2 · · · (∞)
f′(x) − 0 + 0 −
f(x) (∞) & 0 % 4e−2 & (0) となる．
方程式 f(x) =k の異なる実数解の個数はy=f(x)のグラフと直線y=k の異なる共有点の個数に一致する．
ゆえに，求める実数解の個数は
k <0 のとき 0個
k= 0, k >4e−2 のとき 1個
k= 4e−2 のとき 2個
0< k <4e−2 のとき 3個
（解答終）
例題5.36. x >0 のとき，不等式 x
1 +x2 <Tan−1x < xが成り立つことを示せ．
（解答） f(x) =x−Tan−1xとおく．x >0 のとき f′(x) = 1− 1
1 +x2 = x2 1 +x2 >0
であるから，f(x)はx≧0で狭義単調増加である．また，f(0) = 0より，x >0のとき f(x)>0となる．
g(x) = Tan−1x− x
1 +x2 とおく．x >0のとき g′(x) = 1
1 +x2 − (1 +x2)−x·2x
(1 +x2)2 = 2x2
(1 +x2)2 >0
であるから，g(x)はx≧0で狭義単調増加である．また，g(0) = 0 より，x >0 のときg(x)>0となる．
従って，x >0 のとき，示すべき不等式 x
1 +x2 <Tan−1x < xが成り立つ．
（解答終）
例題5.37. aを定数とする．方程式ax2−2(a+ 1)x+ 3a+ 1 = 0について (1) 異なる実数解の個数を求めよ．
(2) 実数解をもち，さらに解がすべて正となるような定数aの範囲を求めよ．
(3) 正と負の解をもつような定数aの範囲を求めよ．
(4) 実数解をもち，さらに解がすべて1より大きいような定数aの範囲を求めよ．
（解答） 方程式はa(x2−2x+ 3) = 2x−1 であり，x2−2x+ 3 = (x−1)2+ 2>0より 2x−1
x2−2x+ 3 =a となる．そこで，f(x) = 2x−1
x2−2x+ 3 とおく．f(x)の導関数を計算すれば f′(x) = 2(x2−2x+ 3)−(2x−1)(2x−2)
(x2−2x+ 3)2 = −2x2+ 2x+ 4
(x2−2x+ 3)2 = −2(x−2)(x+ 1) (x2−2x+ 3)2 より，f′(x) = 0となるのはx= 2,−1のときである．よって，増減表は
x (−∞) · · · −1 · · · 2 · · · (∞)
f′(x) − 0 + 0 −
f(x) (0) & −1
2 % 1 & (0) となる．
(1) 方程式f(x) =aの異なる実数解の個数はy=f(x)のグラフGと直線l:y=aの異なる共有点の個数に 一致する．ゆえに，求める実数解の個数は
a <−1
2, 1< a のとき 0個
a=−1
2,0,1 のとき 1個
−1
2 < a <0, 0< a <1 のとき 2個 (2) Gと直線l の異なる共有点がすべてx >0 の範囲にあればよいから0≦a≦1 (3) Gと直線l がx >0の部分とx <0の部分で共有点をもてばよい．f(0) =−1
3 なので，−1
3 < a <0 (4) Gと直線l がx >1の部分のみで共有点をもてばよい．f(1) = 1
2 なので，1
2 < a≦1
（解答終）
このような問題を a >0, a= 0, a <0 にわけて判別式や頂点のx座標，解と係数の関係などを用いて計算す ることもできるが，定数分離すればすべての場合を視覚的に網羅できる．最初に習ったときの解法に固執せずに，
新しい知識はどんどん利用していくこと．
例題5.38. 関数f(x) =x4−4x3−12x2 とおく．
(1) y=f(x)のグラフの2重接線（2点で接する接線）を求めよ．
(2) aを定数とする．点(0, a)を通るy=f(x)のグラフの接線の本数を求めよ．
（解答）
(1) f′(x) = 4x3−12x2−24xであるから，(t, f(t))におけるy=f(x)のグラフの接線は y=f′(t)(x−t) +f(t) = (4t3−12t2−24t)x−3t4+ 8t3+ 12t2
である．これがy=f(x)のグラフとx=t以外でも接するようなtの値を求めればよい．よって x4−4x3−12x2= (4t3−12t2−24t)x−3t4+ 8t3+ 12t2
∴ (x−t)2{x2+ 2(t−2)x+ 3t2−8t−12}= 0
であるから，これがx=t以外の重解をもつためには2次方程式x2+ 2(t−2)x+ 3t2−8t−12 = 0 の判別 式D が0であることが必要である．よって
D/4 = (t−2)2−(3t2−8t−12) =−2t2+ 12t+ 16 =−2(t−4)(t+ 2) = 0
より，t= 4,−2となる．このときの重解は x=t,2−t であるから，tがどちらの値でも接点のx座標は x= 4,−2 となり，これが求める2重接線の接点である．ゆえに，上の接線の方程式にt= 4またはt=−2 を代入すれば，求める2重接線の方程式はy=−32x−64となる．
(2) (t, f(t))における接線y= (4t3−12t2−24t)x−3t4+ 8t3+ 12t2が点(0, a)を通るので
−3t4+ 8t3+ 12t2=a
となる．この方程式の異なる実数解の個数を求めるためにg(t) =−3t4+ 8t3+ 12t2 とおく．このとき g′(t) =−12t3+ 24t2+ 24t=−12t(t2−2t−2) = 0
より，t= 0,1±√
3である．また，整式の除法により
g(t) = (t2−2t−2)(−3t2+ 2t+ 10) + 24t+ 20 であることを利用すれば，増減表は
t (−∞) · · · 1−√
3 · · · 0 · · · 1 +√
3 · · · (∞)
g′(t) + 0 − 0 + 0 −
g(t) (−∞) % 44−24√
3 & 0 % 44 + 24√
3 & (−∞) となる．
4次関数に直線が3点以上で接することはないから，2重接線以外に関しては接点の個数と接線の本数が 一致する．ゆえに，(1)よりa=−64のときは方程式g(t) =−64はt= 4,−2と2個の解をもつが，この 場合は2重接線なので1本である．a=\ −64のときは方程式g(t) =aの異なる実数解の個数はy=g(t)の グラフと直線y=aの異なる共有点の個数に一致する．ゆえに，求める接線の本数は
a >44 + 24√
3 のとき 0本
a= 44 + 24√
3, a=−64 のとき 1本
a <−64, −64< a <0, 44−24√
3< a <44 + 24√
3 のとき 2本
a= 44−24√
3, a= 0 のとき 3本
0< a <44−24√
3 のとき 4本