第 4 章 関数の極限
1.4 右極限・左極限
数直線上で点aに近づく方法は，本質的には右から近づくか左から近づくかしかない．普段は両方を考えない といけないが，場合によってはこのどちらかだけを考えると便利なこともある．
定義1.15. （右極限）
関数f(x)は少なくとも開区間(a, a+ε0)で定義されているとする．
実数αが『任意のε >0 に対して，あるδ(ε)>0が存在して，a < x < a+δ(ε)をみたす任意のxについて f(x)−α < εをみたす』とき，関数f(x)の点aでの右極限はαであるといい
x→lima+0f(x) =α または f(x)→α (x→a+ 0) で表す．
一方，『任意のK > 0 に対して，あるδ(K)>0 が存在して，a < x < a+δ(K) をみたす任意の xについて
f(x)> K をみたす』とき，f(x)の点aでの右極限は∞に発散するといい
x→lima+0f(x) =∞
で表す．また，『任意のK <0に対して，あるδ(K)>0が存在して，a < x < a+δ(K)をみたす任意のxにつ
いてf(x)< K をみたす』とき，f(x)の点aでの右極限は−∞に発散するといい
x→lima+0f(x) =−∞
で表す．
定義1.16. （左極限）
関数f(x)は少なくとも開区間(a−ε0, a)で定義されているとする．
実数αが『任意のε >0 に対して，あるδ(ε)>0が存在して，a−δ(ε)< x < aをみたす任意のxについて f(x)−α < εをみたす』とき，関数f(x)の点aでの左極限はαであるといい
lim
x→a−0f(x) =α または f(x)→α (x→a−0) で表す．
一方，『任意のK > 0 に対して，あるδ(K)>0 が存在して，a−δ(K)< x < a をみたす任意の xについて
f(x)> K をみたす』とき，f(x)の点aでの左極限は∞に発散するといい
x→lima−0f(x) =∞
で表す．また，『任意のK <0に対して，あるδ(K)>0が存在して，a−δ(K)< x < aをみたす任意のxにつ
いてf(x)< K をみたす』とき，f(x)の点aでの左極限は−∞に発散するといい
lim
x→a−0f(x) =−∞
で表す．
右極限・左極限について，特にa= 0のときには lim
x→0+0f(x)を lim
x→+0f(x)と， lim
x→0−0f(x)を lim
x→−0f(x)と表 すことにする．a= 0\ のときには，このような略記はできない．
この定義を大雑把に述べると『関数 f(x)において，xが数直線上を右側からaに限りなく近づくとき，f(x) がある一定の値αに近づくときにf(x)の点aでの右極限はαに収束する』ということである．もちろん，xを
注意 1.17. 右極限・左極限についても，これまでに関数の極限の性質として述べた定理1.7，1.8，1.9，1.10， 1.13などと同様の定理が成り立つ．証明はほとんど同じなので省略する．
例題1.18. 次の片側極限を求めよ．
(1) lim
x→1+0
1
x−1, lim
x→1−0
1
x−1 (2) lim
x→+0
x
|x|, lim
x→−0
x
|x| (3) lim
x→+0
√x
（解答）
(1) 任意のK >0 に対して，δ1(K) = 1
K >0とおく．このとき，1< x <1 +δ1(K)ならば 1
x−1 > 1 δ(K) =K が成り立つから， lim
x→1+0
1
x−1 = +∞である．
次に，任意のK <0 に対して，δ2(K) =− 1
K >0 とおく．このとき，1−δ2(K)< x <1 ならば 1
x−1 <− 1
δ2(K) =K が成り立つから， lim
x→1−0
1
x−1 =−∞である．
(2) x >0のときには， x
|x| = x
x = 1であるから
xlim→+0
x
|x| = lim
x→+01 = 1 x <0のときには， x
|x| = x
−x =−1であるから
xlim→−0
x
|x| = lim
x→−0(−1) =−1
(3) 任意のε >0 に対して，δ(ε) =ε2>0 とおく．このとき，0< x < δ(ε)ならば 0<√
x <√ δ=ε が成り立つ．よって，右極限の定義より， lim
x→+0
√x= 0である．
（解答終）
練習問題1.3. 次の片側極限を求めよ．
(1) lim
x→−0
1
x (2) lim
x→1+0[x], lim
x→1−0[x] (3) lim
x→+0
1
x2, lim
x→−0
1 x2
練習問題1.4. 関数の極限に関する定理1.7，1.8，1.9，1.10，1.13の仮定と主張を右極限・左極限に関するもの に書き直してみよ．
定理1.19. （極限が存在するための必要十分条件）
αを実数とすると，lim
x→af(x) =αとなるための必要十分条件は
x→lima+0f(x) = lim
x→a−0f(x) =α となることである．
証明. lim
x→af(x) =αとする．このとき，任意のε >0 に対して，あるδ(ε)>0 が存在して 0=\ x−a < δ(ε) =⇒ f(x)−α < ε
が成り立つ．よって，もちろん
a < x < a+δ(ε) =⇒ f(x)−α < ε となるから， lim
x→a+0f(x) =αが成り立つ．また
a−δ(ε)< x < a =⇒ f(x)−α < ε となるから， lim
x→a−0f(x) =αも成り立つ．
逆に， lim
x→a+0f(x) = lim
x→a−0f(x) =αとする．このとき，任意のε >0 に対して，あるδ1(ε)>0が存在して a < x < a+δ1(ε) =⇒ f(x)−α < ε
が成り立つ．また，上と同じεに対して，あるδ2(ε)>0 が存在して
a−δ2(ε)< x < a =⇒ f(x)−α < ε も成り立つ．そこで，δ(ε) = min{δ1(ε), δ2(ε)}とおくと
0=\ x−a < δ(ε) =⇒ f(x)−α < ε が成り立つから，lim
x→af(x) =αである．
この定理1.19から，関数の極限の収束・発散を判定するためには，右極限・左極限を調べればよいことがわか る．これは前にも述べたように，数直線上を点aに近づくように動くには本質的には右から近づくか左から近づ くかしかないからである．後で学習する2変数関数の極限の場合にはこのような便利な定理はないので，たいて いの場合ε−δ 論法やはさみうち法に頼ることになる．
例 1.20. 例題1.18より，極限 lim
x→1
1
x−1，lim
x→0
x
|x| は存在しない．