平均値の定理

導関数の性質を調べるのにはこの節で述べる平均値の定理が最も重要である．

定理5.1. （Rolleの定理）

 関数f(x)は閉区間[a, b]で連続，開区間(a, b)で微分可能で，さらにf(a) =f(b)であるとする．このとき f^′(c) = 0, a < c < b

をみたすcが存在する．

証明.  f(x)が定数関数のときは定理の主張は明らかに成り立つ（cは aと bの間の数なら何でもよい）ので，

定数関数でないとする．

f(x)は有界閉区間 [a, b]上の連続関数なので，第4章定理2.17（最大値・最小値の定理）より最大値と最小値 が存在する．ここでf(a) =f(b)であり，かつf(x)は定数関数でないから，x=a, b以外で最大値または最小値 をとる．そこで，f(x)がx=c(a < c < b)で最大値をとる場合を考える（x=c で最小値をとるときも同様に証 明できる）．

このとき，f(c)≧f(x) (a≦x≦b)であるから，0< h < b−c に対して f(c+h)−f(c)

h ≦0

が成り立つので，右極限をとると

f₊^′(c) = lim

h→+0

f(c+h)−f(c)

h ≦0

となる．一方，a−c < h <0 に対して

f(c+h)−f(c)

h ≧0

が成り立つので，左極限をとると

f₋^′ (c) = lim

h→−0

f(c+h)−f(c)

h ≧0

である．仮定よりf(x)はx=cで微分可能だから，f^′(c) =f₊^′(c) =f₋^′(c)なので 0≦f₋^′ (c) =f^′(c) =f₊^′(c)≦0

より，f^′(c) = 0が成り立つ．よって，このc が求めるものである．

注意5.2.  この定理の証明から，微分可能な関数f(x)について

f(x)がx=cで極値をとる =⇒ f^′(c) = 0 であることがわかる（極値の正確な定義は後で述べる）．

また，Rolleの定理の主張におけるcは1つだけとは限らず複数個存在することもあるので注意すること．定理 の主張は「少なくとも1個は条件をみたすcが存在する」というだけで，実際にc が何個あるかやその具体的な 値に関しては何もわからない．しかし，後で見るように 存在することを保証する だけで議論できることはた くさんあるので，必ず憶えてくこと．

定理5.3. （平均値の定理）

 関数f(x)は閉区間[a, b]で連続，開区間(a, b)で微分可能であるとする．このとき f(b)−f(a)

b−a =f^′(c), a < c < b を満たすcが存在する．

証明.  k= f(b)−f(a)

b−a とおく．関数F(x)を

F(x) =f(x)−k(x−a) (a≦x≦b)

で定める．このとき，F(x)も閉区間[a, b]で連続，開区間(a, b)で微分可能であり，さらに F(a) =f(a), F(b) =f(b)−k(b−a) =f(a)

より，F(a) =F(b)が成り立つ．よって，定理5.1（Rolleの定理）より F^′(c) = 0, a < c < b となるcが存在する．ここで，F^′(x) =f^′(x)−kであるから

F^′(c) =f^′(c)−k= 0 より

f^′(c) =k= f(b)−f(a) b−a である．ゆえに，このcが求めるものである．

平均値の定理は，閉区間[a, b] において

f(x)の[a, b]での平均変化率 = 点cでの接線の傾き

となるc が少なくとも1個は開区間(a, b)に存在するということを主張している．もちろん2個以上存在する可 能性を否定するものではなく，具体的なcの値についてはこの定理からはわからない．

定理の仮定は『関数 f(x) が閉区間 [a, b] で連続，開区間 (a, b)で微分可能』とやや複雑であるが，もし関数 f(x)が閉区間[a, b]で微分可能ならば自動的にf(x)は [a, b]で連続となるので，平均値の定理を適用することが できる．ただし，定理の仮定を『閉区間[a, b]で微分可能』としてしまうと，関数f(x) =√

xのような場合に適 用できなくなる．実際，f(x) =√

xは閉区間[0,1]で連続，開区間(0,1)で微分可能であるが，x= 0では微分 不可能である．このように閉区間の端点で連続であれば微分不可能でも平均値の定理は適用できるので，定理の 仮定は正確に理解しておくこと．

なお，たまに試験で仮定を「閉区間[a, b]で微分可能，開区間(a, b)で連続」と述べてある答案が見受けられる が，そのような定理の仮定は絶対にあり得ない．その理由がすぐにわからない場合にはここまでに述べた内容を しっかりと見直すこと．

定理5.4. （Cauchyの平均値の定理）

 関数f(x), g(x) は閉区間[a, b]で連続，開区間(a, b)で微分可能であり，さらに g(a)=\ g(b), |f^′(x)|+|g^′(x)|= 0^\ (a < x < b) とする．このとき

f(b)−f(a)

g(b)−g(a) = f^′(c)

g^′(c), a < c < b を満たすcが存在する．

証明.  k= f(b)−f(a)

g(b)−g(a) とおき，関数F(x)を

F(x) =f(x)−f(a)−k(g(x)−g(a)) (a≦x≦b)

で定める．このとき，F(x)も閉区間[a, b]で連続，開区間(a, b)で微分可能であり，さらに F(a) = 0, F(b) =f(b)−f(a)−k(g(b)−g(a)) = 0

より，F(a) =F(b)が成り立つ．よって，定理5.1（Rolleの定理）より F^′(c) = 0, a < c < b となるcが存在する．ここで，F^′(x) =f^′(x)−kg^′(x)であるから

F^′(c) =f^′(c)−kg^′(c) = 0

である．もしg^′(c) = 0と仮定すると，f^′(c) =kg^′(c) = 0となるが，これは仮定|f^′(c)|+|g^′(c)|= 0^\ に矛盾する．

ゆえに，g^′(c)= 0\ より

f^′(c)

g^′(c) =k= f(b)−f(a) g(b)−g(a) が成り立つ．従って，このc が求めるものである．

Cauchyの平均値の定理の主張のポイントは，f(b)−f(a)

g(b)−g(a) = f^′(c)

g^′(c) のように分母と分子で同じ cがとれると いうことである．もし分母と分子に別々に平均値の定理を適用すれば

f(b)−f(a)

b−a =f^′(c₁), a < c₁< b, g(b)−g(a)

b−a =g^′(c₂), a < c₂< b より

f(b)−f(a)

g(b)−g(a) = f^′(c1) g^′(c2)

が得られるが，c₁とc2は同じ値とは限らない．この問題がCauchyの平均値の定理によってクリアされる（同じ cが選べる）ことが，後で説明するロピタルの定理の証明において重要な道具となる．

なお，Cauchyの平均値の定理の図形的な意味は，曲線がx=g(t), y =f(t) と表されるときにわかりやすい．

曲線上の2点(g(a), f(a))と(g(b), f(b))を結ぶ直線の傾きが f(b)−f(a)

g(b)−g(a) であり，一方パラメータ表示された関 数の導関数の公式より dy

dx = f^′(t)

g^′(t) であるから f(b)−f(a)

g(b)−g(a) = f^′(c)

g^′(c), a < c < b

とは2点 (g(a), f(a))と (g(b), f(b))を結ぶ直線と等しい傾きをもつ接線が存在するということである．