イプシロン・デルタ論法による極限の定義

次にε−δ論法（数列の場合にはε−N論法）と呼ばれる概念により，厳密な数列の極限の定義を述べる．

定義1.2. （数列の極限）

(1)  数列{an}^∞_n=1 と実数αが『任意のε >0 に対して，ある自然数N(ε)が存在して，n≧N(ε)をみたす 任意の自然数nについて a_n−α < εをみたす』とき，数列{a_n}^∞n=1 の極限値はαであるといい

nlim→∞a_n=α または a_n −→α (n→ ∞) で表す．このとき，数列 {an}^∞_n=1 はαに収束するという．

(2)  数列 {an}^∞n=1 がどのような実数αにも収束しないとき発散するという．さらに『任意のK >0に対し て，ある自然数N(K)が存在して，n≧N(K)をみたす任意の自然数nについてan> K をみたす』とき，

数列{a_n}^∞n=1 は∞に発散するといい

nlim→∞a_n=∞

で表す．また『任意のK <0 に対して，ある自然数N(K)が存在して，n≧N(K)をみたす任意の自然数 nについてa_n < K をみたす』とき，数列{a_n}^∞_n=1 は −∞に発散するといい

nlim→∞an =−∞

で表す．

数列{an}^∞_n=1 がαに収束するということは，a_n がαに近づいていくこと，つまり『nが十分大きければ，a_n とαの誤差 a_n−α をいくらでも一様に小さくできること』であると考えられる．それを数式で表現したのが 上の定義である．

x

ε ε

a

₁

a

₃

… a

_N(ε)+1

α a

_N(ε)

a

₂

a

_n

(n ≥ N(ε))

この定義を簡単に述べれば，先にどんな小さな許容誤差ε >0を設定しても，その後から適切に（εに対応して 十分大きな）番号N(ε)を決めれば，その番号から先(n≧N(ε))では誤差 an−α が常にεより小さくできる ということである．定義において自然数をN(ε)と書いているのは，許容誤差ε >0に依存して決まることを強調 するためで，参考書によっては単にN やn0のように書かれていることもある． 限りなく近い という状況を無 限大といった概念や「近づく」といった曖昧な表現を用いずに，有限の値ε, N(ε)を用いた条件でうまく表した ものがこの定義である．最初はとっつきにくいと思うので，具体的な数列の場合に当てはめて考えてみてほしい．

なお，ε は非常に小さな正の数というイメージなので，例えば任意のε > 0に対して，ある自然数 N(ε)が存 在して

n≧N(ε) =⇒ a_n−α <2ε が成り立てば，lim

n→∞an=αとなる．また，定義において『n≧N(ε)』の部分は『n > N(ε)』としても同値な条 件となる．このあたりの定義は参考書によって微妙に異なるが，本質的な差異はない．

命題1.3. （極限の一意性）

 数列{an}^∞_n=1 が収束するならば，極限値は一意的である．

証明.  収束する数列{an}^∞n=1 に対して，実数αとβ が定義1.2の極限値の条件をみたすとする．

任意のε >0 をとる．このとき，lim

n→∞a_n=αであるから，ある自然数N₁(ε)が存在して n≧N₁(ε) =⇒ a_n−α < ε

となる．また，lim

n→∞an=β であるから，ある自然数N2(ε)が存在して n≧N2(ε) =⇒ an−β < ε

となる．そこで，N(ε) = max{N₁(ε), N₂(ε)}とおけば，n≧N(ε)ならば，三角不等式より α−β = (α−a_n) + (a_n−β) ≦ α−a_n + a_n−β < ε+ε= 2ε

が成り立つ．ε >0は任意なので，命題1.1よりα=β となるから，極限値は存在すれば一意的である．

これより極限値は存在すればただ一つという 当たり前の事実 が確認できた．

この章の最初に述べた数列

an=

( n⁻¹⁰⁰ (n= 2\ ^k, k= 1,2,3, . . .) 1 (n= 2^k, k= 1,2,3, . . .) について，その収束・発散を調べてみる．もし lim

n→∞an= 0 ならば，どのようにε >0を選んでも，適切に自然 数N(ε)を決めれば

n≧N(ε) =⇒ |a_n−0|< ε (1.1)

とできなければならない．そこで，許容誤差をε= 1

2 と設定してみる．このとき，どのように自然数N を決め て固定しても，必ず2^k≧N となる自然数kがあり

|a₂k−0|= 1−0 = 1> 1 2 =ε となる．よって，ε= 1

2 のときに(1.1)をみたす自然数N 1

2

は存在しない．ゆえに，lim

n→∞an= 0\ である．こ のように，限りなく近づくという概念を厳密に定式化することにより，あいまいな議論を排除することができる．

なお，この数列は発散することがわかるので，その証明についてこの節を読み終えた後に各自で考えてみよ．

例題1.4.  次の数列の極限が成り立つことを示せ．

(1) lim

n→∞

1

n = 0 (2) lim

n→∞

1 n² = 0

（解答） 

(1)  任意のε >0 に対して，自然数N(ε)を N(ε) = h1

ε i

+ 1 と決める．このとき N(ε)> 1

ε (1.2)

である．よって，n≧N(ε)となる任意の自然数 nに対して 1

n −0 = 1

n ≦ 1

N(ε) < ε ∴ 1

n −0< ε が成り立つから，極限の定義より lim

n→∞

1

n = 0である．

(2)  任意のε >0 に対して，自然数N(ε)を N(ε) = √1

ε

+ 1と決める．このとき N(ε)> √1

ε (1.3)

である．よって，n≧N(ε)となる任意の自然数 nに対して 1

n² −0 = 1

n² ≦ 1

N(ε)² < ε ∴ 1

n² −0< ε が成り立つから，極限の定義より lim

n→∞

1

n² = 0である．

（解答終）

上の例題において，任意のε >0 に対して，自然数N(ε)をガウス記号を用いて定義したが，証明の中身を読 めば実際には(1)では(1.2)を，(2)では(1.3)をみたすように決めれば何でもよいことがわかる．証明を考える際 には先に条件(1.2)などが頭にあって，それをみたすように後からN(ε)を1つ決めたのである（なお，条件(1.2) をみたす自然数N(ε)が存在するのは第2章命題3.2（アルキメデスの公理）が成り立つからであるが，最初のう ちは特に気にしなくてよい）．

例えばε= 10⁻¹ とすると

(1)ではN(10⁻¹)≧11, (2)ではN(10⁻¹)≧4 をみたすようにN(10⁻¹)を1つ決めればよく，ε= 10⁻² とすると

(1)ではN(10⁻²)≧101, (2)ではN(10⁻²)≧11

をみたすようにN(10⁻²)を1つ決めればよい．このことより，与えられた許容誤差ε >0に対して，それを満足 することを保証する自然数N(ε)を比較することにより， 1

n よりも 1

n² の方がより速く0に近づいていること が数式的にわかる．

例題1.5.  数列の極限 lim

n→∞

3n+ 5

n+ 1 = 3 が成り立つことを示せ．

（解答） ε >0 に対して

3n+ 5

n+ 1 −3 = 2 n+ 1 < ε とすると，これはn > 2

ε −1ならば成り立つ．

そこで，任意の0< ε <2に対して，自然数 N(ε)をN(ε) = h2

ε

iとすれば

N(ε)> 2 ε −1 である．よって，n≧N(ε)となる任意の自然数nに対して

3n+ 5

n+ 1 −3 = 2

n+ 1 ≦ 2

N(ε) + 1 < ε が成り立つ．よって，極限の定義より lim

n→∞

3n+ 5

n+ 1 = 3である．

（解答終）

上の例題の解答では0< ε <2の場合しか考えていないが（そうしないとN(ε)が自然数にならないので），別 にN(ε) =

h2 ε i

+ 1とおけばそのような制限はいらない．ただし，この論法ではε >0が小さい場合が問題であ るから，このように最初からεは小さいとしてもよい．実際，上の例題では常に 3n+ 5

n+ 1 −3 = 2

n+ 1 ≦1で あるから， 大きい許容誤差 εについてはすでに不等式が成り立っているので考える必要がないのである．

練習問題1.1.  次の数列

an = 1

n³, bn = 1

2ⁿ , cn=− 1 n²+ 1

はすべて0に収束する．そこで，次の各 ε >0 に対して，定義1.2の条件をみたすような自然数N(ε) のうち最 小のものをそれぞれの数列について求めよ．

(1) ε= 0.1 (2) ε= 0.01 (3) ε= 0.001

練習問題1.2.  次の数列の極限が成り立つことを示せ．ただし，aを実数とする．

(1) lim

n→∞a=a (2) lim

n→∞(2n+ 1) =∞ (3) lim

n→∞

2n+ 5 n+ 1 = 2

練習問題1.3.  数列 {an}^∞_n=1 が収束し，その極限値を lim

n→∞an =αとする．このとき bn =an+1 (n= 1,2,3, . . .)

とおけば，lim

n→∞b_n=αであることを定義1.2に基づいて証明せよ．

発展問題1.4.  数列 {a_n}^∞_n=1 が収束し，その極限値を lim

n→∞a_n=α とする．このとき，数列{b_n}^∞_n=1 が有限 個の自然数nを除いてan=bn をみたすとすれば， lim

n→∞bn=αとなることを示せ．

2 数列の極限の性質

ここでは高校数学で直感的に認めてきた極限に関する種々の定理について，極限の正確な定義に基づいた証明 を与える．この節の内容をより深く理解したい場合には関連図書[14]を参照すること．

よく知られているように，数列の和および実数倍の極限については次が成り立つ．最初はこの証明を完全に理解 しようとせず流し読みをして，次ページの解説と注意を読んでからもう一度証明を読み進めてみることを勧める．

定理2.1. （数列の和の極限）

 数列{an}^∞n=1,{bn}^∞n=1 が収束するならば，c∈Rに対して{an+bn}^∞n=1,{can}^∞n=1 も収束し，次が成り立つ．

(1) lim

n→∞(an+bn) = lim

n→∞an+ lim

n→∞bn (2) lim

n→∞can=c lim

n→∞an

証明.   lim

n→∞an =α, lim

n→∞bn =β とおく．

(1)  任意のε >0 をとる．lim

n→∞an=αなので，ε

2 >0 に対して，ある自然数N1

ε 2

が存在して

n≧N1

ε 2

=⇒ an−α < ε 2 が成り立つ．また， lim

n→∞bn=β より，ε

2 >0 に対して，ある自然数N2

ε 2

が存在して

n≧N2

ε 2

=⇒ bn−β < ε 2 も成り立つ．そこで，N(ε) = max

n N1

ε 2

, N2

ε 2

oとおけば

n≧N(ε) =⇒ an−α < ε

2, bn−β < ε 2 となる．よって，n≧N(ε)ならば，三角不等式より

(a_n+b_n)−(α+β) = (a_n−α) + (b_n−β) ≦ a_n−α + b_n−β < ε 2 + ε

2 =ε が得られる．ゆえに，数列{an+bn}^∞n=1 は収束し，lim

n→∞(an+bn) =α+β が成り立つ．

(2)  c= 0のときは両辺とも0となり明らかなので，c= 0_\ とする．

 任意のε >0 をとる．lim

n→∞a_n=αなので， ε

|c| >0に対して，ある自然数N₁ ε

|c|

が存在して

n≧N1

ε

|c|

=⇒ an−α < ε

|c|

が成り立つ．よって，N(ε) =N1

ε

|c|

とおけば，n≧N(ε)ならば can−cα = c(an−α) =|c| an−α <|c| · ε

|c| =ε が得られる．ゆえに，数列{can}^∞_n=1 は収束し，lim

n→∞can =cαが成り立つ．

定理2.1の意味を考えてみる．(1)についてはどんな小さな許容誤差ε >0 を与えられても，それに応じて適切 に自然数N(ε)をうまく決めれば

n≧N(ε) =⇒ (an+bn)−(α+β) < ε

とできることを示せばよい．つまりa_n+b_n とα+β の誤差を十分大きな番号について一様にε未満にできれば よいことになる．ここで，an とαの誤差およびbn とβ の誤差が番号 nを大きくすればいくらでも小さくでき ることを利用したいが，もしan とα，b_n とβ の誤差をε未満にしてみてもうまくいかない．実際，同じ許容誤 差ε >0に対して，ある自然数N₁(ε), N₂(ε)が存在して

n≧N₁(ε) =⇒ a_n−α < ε, n≧N₂(ε) =⇒ b_n−β < ε

が成り立つ．この両方の不等式を利用したいから，n≧N1(ε)かつn≧N2(ε)とすれば，三角不等式より (an+bn)−(α+β) = (an−α) + (bn−β) ≦ an−α + bn−β < ε+ε= 2ε

となるが，これでは右辺が最初に設定した許容誤差εを超えてしまう．

これは当たり前の話で，誤差は各項ごとに加算・累積されるからである．a_n+b_n と α+β の誤差を見積もる には，an と α の誤差とbn と β の誤差を加えればよいはずであるから，an と αの誤差および bn とβ の誤差 を，設定した許容誤差εの半分未満に評価しておけばうまくいくと考えられる．そこで，a_n については許容誤差 を ε

2 として，これに対して自然数N1

ε 2

を

n≧N1

ε 2

=⇒ an−α < ε 2

となるように選んでおけばよい．b_n についても同様にすれば，a_n と αの誤差および b_n とβ の誤差が ε 2 未満 であるから，これらを加えてもan+bn とα+β の誤差は高々εとなり，証明が上手くいく．これが前ページの 証明の背景である．

(2)についても，ca_n と cαの誤差を見積もるには，a_n と αの誤差を |c|倍すればよい（c >0とは限らないか ら，絶対値であることに注意）．そこで上と同様の考察を踏まえたものが証明となる．ここまでの解説を読んだ上 でもう一度証明を見直してみること．この内容を理解せずに証明を丸暗記することには何の意味もないので，数 式で表現しようとしている内容に目を向けてそれを把握することを目指すこと．

注意2.2.  数列 {an}^∞_n=1,{bn}^∞_n=1 のどちらかが発散するときには

nlim→∞(an+bn) = lim

n→∞an+ lim

n→∞bn

が成り立つとは限らない．例えば

• an=n, bn= 1−nとおくと

nlim→∞(an+bn) = lim

n→∞1 = 1, lim

n→∞an+ lim

n→∞bn=∞+ (−∞)

• an=n², bn=−nとおくと

nlim→∞(a_n+b_n) = lim

n→∞n²

1− 1 n

=∞, lim

n→∞a_n+ lim

n→∞b_n =∞+ (−∞)

• a_n=n, b_n=−n²とおくと

nlim→∞(an+bn) = lim

n→∞ −n²

1− 1 n

=−∞, lim

n→∞an+ lim

n→∞bn =∞+ (−∞)

となり，右辺は形式的にはすべて∞ − ∞となるが，左辺は収束する，∞に発散する，−∞に発散するとすべて の可能性がある．これより，∞を 文字 のように考えて∞ − ∞= 0と計算してはいけないことがわかる．

定理2.3. （はさみうちの定理）

 数列{an}^∞_n=1,{bn}^∞_n=1,{cn}^∞_n=1 に対して

an ≦cn≦bn (n∈N) が成り立ち，さらに {an}^∞_n=1,{bn}^∞_n=1 は収束し

nlim→∞an= lim

n→∞bn=α であるとする．このとき，{cn}^∞_n=1 も収束し

nlim→∞cn =α が成り立つ．

証明.  任意のε >0 をとる．lim

n→∞an=αなので，ある自然数 N1(ε)が存在して n≧N1(ε) =⇒ an−α < ε ∴ α−an< ε が成り立つ．また，lim

n→∞bn =αより，ある自然数N2(ε)が存在して

n≧N₂(ε) =⇒ b_n−α < ε ∴ b_n−α < ε も成り立つ．そこで，N(ε) = max{N1(ε), N2(ε)}とおけば

n≧N(ε) =⇒ a_n> α−ε, b_n< α+ε となる．

よって，n≧N(ε)ならば

α−ε < an≦cn≦bn< α+ε より

−ε < c_n−α < ε

つまり，cn−α < εが得られる．ゆえに，数列{cn}^∞n=1 は収束し，lim

n→∞cn =αが成り立つ．

注意2.4.  定理の証明からわかるように，ある自然数n₀ で

an ≦cn≦bn (n≧n0)

となるものが存在すれば，はさみうち法は適用できる（例えばnが5以上ならa_n ≦c_n ≦b_n である場合など）．

つまり，必ずしもすべての自然数nに対してan ≦cn≦bn である必要はない．なお，証明についてはその途中 でN(ε) = max{N₁(ε), N₂(ε), n₀} と修正すれば，他の部分は全く同じである．

（余談）

この定理は日本では「はさみうちの原理」と呼ばれることが多い．どうやら高校数学において「証明できないが 用いてよい事実と認められている」から 原理 と呼ばれているようである．ただし，英語ではsqueeze theorem

（またはpinching theoremや the sandwich theorem）であり， 定理 と呼ばれるのが普通である．第1章定義 1.23でも述べたように，大学数学では（日本に限らず世界的に）補集合の記号でAを用いることはまずない．A は位相空間論においてはA の閉包を，統計学においてはA の平均を表す．高校数学の常識が世界の非常識であ ることはいくつかあるので，そのような事項は必要に応じて新しく知識を上書きしていくこと．

ドキュメント内 微分積分学入門 この (ページ 36-50)