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第 1 回 7 月阪大本番レベル模試 （2019 年 7 月 7 日実施)
採点基準 数学（文系・理系）
【共通事項】
１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる
【文系】（100点満点）
第1問（35点満点）
(1)（配点18点）
nをn=1000a+100a+10b+b (1≤a ≤9 0, ≤b≤9, ,a bは整数)のように設定して6点
( : )
n= N2 N 自然数 のようにおき，さらにNが11の倍数となることを示して9点 証明できて3点
(2)（配点17点）
a+b=11であることを述べて6点
条件を満たすa b,の組が( , )a b =( , )7 4 であることを導いて9点 逆を述べ，結論を述べて2点
第2問（30点満点）
(1)（配点12点）
AB = AC の始点をOに変更し，両辺を2乗し展開して9点 証明できて3点
(2)（配点18点）
OD,OEを OA OB OA OC OD
OD + ,OE + +
= =
2 3 と表して6点(各3点)
CD OE• をOA,OB,OCのみで表し，展開して9点 証明できて3点
2/4 第3問（35点満点）
(1)（配点6点）
指数法則から4x =(2x) ,2 2x+1 = •2 2xと変形できて4点(各2点) 答えに2点
(2)（配点14点）
tの2次方程式t2 −2at−a2 +8a =0が異なる2つの正の実数解をもつ条件を考えるという 方針が立てられて4点
2つの正の実数解をもつための条件式を立てて8点 答えに2点
(3)（配点15点）
α+βをaで表して9点
a a
− 2 +8 の変域を示して3点 答えに3点
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【理系】（250点満点）
第1問（50点満点）
(1)（配点25点）
( ) log( ) ( ) ( )
f x = 1+x − x−x2 x≥0 のようにおき，f x′( )を求めて7点 上記のf x( )の増減を述べて4点
( ) log( ) ( )
g x =x− 1+x x≥ 0 のようにおき，g x′( )を求めて7点 上記のg x( )の増減を述べて4点
証明のまとめの記述に3点 (2)（配点25点）
xnを(1)で示した不等式に代入し，さらに辺々n倍してnx−n x( n)2 ≤log(1+xn)n ≤nxnを 導いて12点
lim ( n)
n n x
→∞
2 =
0を導いて6点 証明できて7点
第2問（50点満点）
(1)（配点15点）
AB = AC の始点をOに変更し，両辺を2乗し展開して9点 証明できて3点
(2)（配点35点）
AD= tAB (0<t<1)のように表したときに，ODをt,OA,OBで表して6点 OEをt,OA,OB,OCで表して6点
OE CD• を計算する方針を立てて6点
( )
OE CD• = 1( t2 − t+ ) a2 −OA OB•
2 3 1
3 と導いて9点
証明できて8点
第3問（50点満点）
(1)（配点28点）
(*)の左辺を2n n( +1)と変形して3点 ,
k=1 2のとき，それぞれに対してnの値を検討して9点
k=3のとき，nの範囲を絞り込み，解がないことを示して12点 答えに4点
(2)（配点22点）
解がないことを示すために背理法を利用する方針をたてて3点 等式を満たすためのnの値を限定して13点
答えに6点
4/4 第4問（50点満点）
(1)（配点16点）
すべての札を区別し，取り出す組合せの総数を求めて7点 X =4となる札の取り出し方が何通りかを求めて6点 答えに3点
(2)（配点17点）
場合分けを正しく行って4点
それぞれの場合で，札の取り出し方の数を求めて10点(各5点) 答えに3点
(3)（配点17点）
余事象で考える方針を立てて4点
( )
P X =1 を正しく求めて3点
( ) ( ) ( )
P X=1 +2P X=3 +P X=4 −1をnで表し，分母・分子とも因数分解して8点 証明できて2点
第5問（50点満点）
(1)（配点15点）
AC2をxで表して5点 途中の計算と答えに10点 (2)（配点35点）
DC=DEを述べて4点 Vをxで表して8点
( ) V πf x
= 3 としたときf x′( )を求め，f x′( )= 0となるxの値を求めて8点
( )
f x の増減を正しく述べて8点 答えに7点
