採点基準 数学（文系・理系）

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第 2 回 11 月阪大本番レベル模試 （2019 年 11 月 17 日実施)

採点基準 数学（文系・理系）

【共通事項】

１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる

【文系】（100点満点）

第1問（35点満点）

(1)（配点15点）

p1を求めて（答えに）5点

1回の操作の後，7番目の皿に白球があり，7番目の皿が白球→赤球になる確率を求めて5点

p2を求めて（答えに）5点 (2)（配点10点）

n

回の操作と

n + 1

回の操作の状態を説明して4点 説明と漸化式の立式に6点

(3)（配点10点）

(2)で求めた式を ₁ 2 1 2

7 6 7

n n

p ₊ − = −

   

p −

   

のように等比型に変形を行って4点 答えに6点

第2問（30点満点）

(1)（配点11点）

l

上の点

H

_{をパラメータ表示して3点} 0

• =l

BH から，上記で定めたパラメータと

p

の関係式を導いて6点 答えに2点

(2)（配点9点）

球の半径が

q

になることを述べ，

p q

, の関係式を示して4点 軌跡を表す式を求めて（答えに）3点

図示して（答えに）2点 (3)（配点10点）

条件の説明，および

p q

, の条件式

( )

, p

q p q + +

= =

1

2

2

4

^{を示して6点}

考え方と答えに4点

2/4 第3問（35点満点）

(1)（配点10点）

S

を絶対値記号のない定積分の式で表して4点 途中の計算と答えに6点

(2)（配点6点）

S

を絶対値記号のない定積分の式で表して3点 途中の計算と答えに3点

(3)（配点19点）

S

a

^{3 を}

^{a b}

^{,で表したとき，}

t b

= a

のようにおくことができて3点

S

a

^{3 を上記の}

t

の範囲で場合分けし，

t

の関数で表して8点

S

a

^{3 を}

t

の関数とみて微分し，増減を示して6点 答えに2点

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【理系】（250点満点）

第1問（50点満点）

(1)（配点14点）

点Pで共通接線をもつ条件式

2

at at b

e bt ae

= , = t を示して8点 答えに6点（各3点）

(2)（配点14点）

点Qの座標を求めて（答えに）4点

C

₁上の点Pにおける法線を求めて5点 点Rの座標を求めて（答えに）5点 (3)（配点22点）

2 2

PQ ,PR を求め， 1

S= 2PQ PR• として

S

（または

S

²）を

t

のみで表して8点 最小値を与える

t

の値を求めて10点

答えに4点

第2問（50点満点）

(1)（配点23点）

z

を極形式で表し，

z

²

− 1

を

θ

_{を用いて表して11点}

t = − 1

2

^と求め，

t

が

θ

によらない数であることを示して6点 答えに6点

(2)（配点27点）

w = + x yi

^{とおいて，}

x y

^, の関係式を導いて12点

y

の変域を求めて12点

正しく図示して3点

第3問（50点満点）

(1)（配点10点）

奇数を文字でおくなどして，結果とその正しい説明に10点 (2)（配点40点）

2 p

ⁿ

+ = 1 N

2 ⁽

N

^{は自然数)のようにおいたとき，}

N

が奇数であることを述べて8点

(1)を利用し，

N

²

= 8 k + 1

⁽

k

^{は整数)とおけることを述べて4点}

2

p =

となることを示して4点

上記の

N

に対し，

2

ⁿ⁺¹

= ( N + 1 )( N − 1 )

と式変形を行って7点

1 2

^a

1 2

^b

N + = , N − = ( , a b

は整数

)

，

a + = + b n 1

，

a > ≥ b 0

のようにおけて6点 上記の

a b

,に対して，

a = 2

,

b = 1

と求め，正しく証明できて7点

答えに4点

4/4 第4問（50点満点）

(1)（配点15点）

1回の操作でX =0 2 4, , となる状況をそれぞれ説明して6点（各2点）

答えに9点（各3点）

(2)（配点21点）

1回の操作における，X =0^からX =0,X =2へのそれぞれの遷移確率を求めて6点 1回の操作における，X =4^からX =2,X =4へのそれぞれの遷移確率を求めて6点

1回の操作における，X =2^からX =0,X =2,X= 4へのそれぞれの遷移確率を求めて3点 考え方と答えに6点

(3)（配点14点）

n n n

a + b + c = 1

であり，

a

_n

= c

_nとなることを述べて6点

b

n

{ }の一般項を求めて6点 答えに2点

第5問（50点満点）

(1)（配点8点）

A1と

z

軸の共有点の座標を求めて（答えに）6点

k

の値の範囲を求めて（答えに）2点 (2)（配点31点）

: z k

π

₀

=

^とA₁の共通部分が^{z =k y, ≤ 3,x2 +}

(

^{y− 3}

)

^{2 = −4 k2で与えられることを}

10点

k

の値によって正しく場合分けを行って3点

それぞれの場合において，面積を正しく求めて16点（各8点）

答えに2点 (3)（配点11点）

Vを求める定積分の式を正しく立てて，置換積分を行って6点 答えに5点