採点基準数学（文系・理系）

(1)

第 1 回 6 月北大本番レベル模試（2018 年 6 月 24 日実施)

採点基準数学（文系・理系）

【共通事項】

１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点２．分母の有理化の不備については減点なし３．別解の配点は解答の配点に準ずる

【文系】（150点満点）

第1問（40点満点）

（1）（配点8点）

 点

P

のにおける接線の方程式を求めて4点

 途中の計算と答えに4点

（2）（配点12点）



f x ( )

^{の極値を与える}

x

^{座標を求めて}2点

 極大値と極小値が同符号であることを述べて4点

（3）（配点20点）

 直線

PR

^{の方程式を求めて}4点



C

^と直線

PR

^{の交点を求めて}4点

 囲まれる図形の概形を示して2点

 面積を求める積分式を立式できて4点

（1）（配点17点）



 a   b   c  1 ,  a b c       0

となることを述べて5点



PA 

²

 PB 

²

 PC 

²

を

a b c p , , ,

  

で表して8点

 一定値をとることを示し，値を求めて4点

（2）（配点18点）

 

ABC

についての説明と，原点Oの位置について正しく述べて3点



PA 

²

 PB 

²

 PC 

²

を

  a p ,

で表して5点

 

a

と

p

のなす角を^として，

PA 

²

 PB 

²

 PC 

²

を^で表して2点

 最大値と最小値を求めて8点(各4点)

(2)

（1）（配点10点）

 2回の取り出し方について場合分けをし，それぞれの確率を求めて6点

 答えに4点

（2）（配点12点）

 13個の玉を並べると考え，取り出し方の総数を求めて2点



n

^回目が3個目の赤玉であったときの取り出し方を

n

^で表して6点

 答えに4点

（3）（配点13点）



n

^回目が3個目の赤玉であり，2回目が赤玉であるときの取り出し方を求めて4点



n

^回目が3個目の赤玉であり，2回目が赤玉であるときの確率を求めて4点

（1）（配点16点）

 分数式から式変形を行い，整数を考える式を導けて4点

 n 33

1が自然数となる条件を考える方針を立てて4点

（2）（配点24点）

 分数式から式変形を行い，整数を考える式を導けて4点

 ( )( ) 171 138

1 2 1



 

n

n n が自然数となる条件を考える方針を立てて2点

 (1)を利用し，_nの値を絞り込んで6点

 考え方と答えに12点

(3)

【理系】（150点満点）

（1）（配点8点）



f x ( )   1 ax    1 x 

^a

( x  0 )

^{とおいたとき，}

f x  ( )  0

^{となることを述べて}5点

 証明できて3点

（2）（配点10点）



( )   1 ( )

²

( )

1 1 1 0

2  

 

              

g x x

a

ax a a x x

^{とおいたとき，}

g x  ( )  0

^{となることを}

述べて5点



g x  ( )

^{は単調増加であり，}

g x  ( )  0

^{となることを述べて}3点

（3）（配点12点）

 (1)，(2)より不等式を整理し，

1 ( )

²

 

1 1 1 1

 ax  2 a a  x   x

^a

  ax

^{となることを述べ} て1点



1

 1 

         

q

n p p

q

n n

^から，

, 1

 p 

x a

n q

^とおき，

1

 1 

         

p

n q q

p

n n

^から，

, 1

 q 

x a

n p

とおき，それぞれ，

1 ( )

²

 

1 1 1 1

 ax  2 a a  x   x

^a

  ax

^{の不等式に適用して}4点



             

q

n p

p

n q

n n n

を不等式で表し，整理して4点

 答えに3点

（1）（配点18点）



P,Q

^の

x

^座標を

p q ,

^とおき，

P,Q

それぞれにおける接線の方程式を求め，

R

^の座標を

p q ,

で表して8点

 点

A

^{を通る直線}

PQ

^の傾きを

m

^{とおき，直線}

PQ

^{の方程式を求め，}

p q pq  ,

^を

m a b , ,

^で表

し，

R

^の座標を

m a b , ,

^で表して6点

 考え方と答えに4点

（2）（配点12点）

 直線

AS

^{の傾きを求めて}3点

 直線

l

^と

AS

^{のなす角を}

tan

の加法定理を利用して導いて6点

 答えに3点

(4)

（1）（配点10点）



p

₁^の答に1点



r

回目に取り出した玉に書かれている数を

x

_r^とする。

x

₁

 k

^{としたとき，}

x

₁

 x

₂

 n

^とな

る

x

₂^は

k  1

(通り)あることを述べて3点



x

₁

 x

₂

 n

^{となる組合せを求めて}4点

 答えに2点

（2）（配点12点）



x

₁

 x

₂

 k

^{としたとき，}

x

₁

 x

₂

 x

₃

 n

^かつ

x

₁

 x

₂

  n 1

^となる

x

₃は

k  1

(通り)あることを述べて5点



x x x

₁

, ,

₂ ₃^{の組合せを求めて}5点

 答えに2点

（3）（配点8点）

 ₂

1  2

p

^{となることを導いて}6点

（1）（配点10点）

 係数を比較して^を求めて5点

 数列

 ^z

ⁿ

^ ³ 

^{の初項と公比を求めて}²^点

 答えに3点

（2）（配点10点）



5 ( )

3 1

2  

 

           

n

z

n

i

^と導いて6点

（3）（配点10点）



z

_n

 35

^{となる最小の自然数}

n

^{の見当をつけて}4点



10 2

 

 

 

 

n

は単調に増加することを述べて2点

（1）（配点6点）

(5)

 ²

( )

²

0

1

^







ⁿ ^k ^{n k k}

k

a b

が整数となることを述べ，証明できて2点

（2）（配点10点）

 与式を

   

² ²

( )

²

0

1

^



 

 

     

ⁿ



^k



ⁿ



^k ^{n k k}

   

a b a b a b

^と

( a b  )

を因数に持つように整理して2点



 

² ²

( )

²

0

1

^



ⁿ



^k



ⁿ



^k ^{n k k}

a b a b

^を



^{で整理して}⁶^点



 

² ²

( )

²

0

1

^



ⁿ



^k



ⁿ



^k ^{n k k}

a b a b

^が

ab

の倍数であることを述べ証明できて2点

（3）（配点14点）



a  2 , b  3

^として(2)に適用し，求める

n

^は

5

²ⁿ^¹

 2

²ⁿ^¹

 3

²ⁿ^¹^が9の倍数となることが必要条件であることを述べて3点



n

^を3で割った余りで場合分けする方針をたてて2点

 それぞれの場合で検討し，答えに9点

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