採点基準数学（文系・理系）

(1)

1/4

第 1 回 7 月阪大本番レベル模試（2020 年 7 月 18 日実施)

採点基準数学（文系・理系）

【共通事項】

１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点２．分母の有理化の不備については減点なし３．別解の配点は解答の配点に準ずる

【文系】（100点満点）

第1問（30点満点）

(1)（配点5点）

 sin cosq qをtで表して3点

 答えに2点 (2)（配点10点）

 tを合成し，変域を求めて4点

 正しい場合分けと答えに6点 (3)（配点15点）

 g( )q をsin cosq qで表せて4点

 u(sin cos )q q ²またはusin cosq qなどと置き換え，uの変域を求めて4点

 m₂を求めて2点

 aの値で場合分けを行い，求めたaが場合分けの条件を満たすことを確認した上で答えを求めて5点

(1)（配点12点）

 Cの頂点をa b, で表し，tに関する2つの等式を立てられて8点

 答えに4点 (2)（配点23点）

 Sを表す定積分の式が立てられて5点

 Sをtで表せて5点

 Sをtの関数とみて微分し，増減を調べて7点

 Sの最大値を求めて2点

 Cの方程式が正しく求められて4点

(2)

2/4 第3問（35点満点）

(1)（配点15点）

 点D,Eに関するベクトルの式が立てられて2点(各1点)

 2 直線の交点Kがそれぞれの直線上にあることを文字で表し， AB ,AC

のみの等式を得て 8 点

 上記の文字を決定し，答えを求めて5点 (2)（配点20点）

 点Kが



ABCの外心となる条件を記述して4点

 上記を点Aを始点にした式に直し， AB ,AC

のみの等式を得て，さらに展開・整理して7点

  AB ,AC

の内積の式を求めて4点

 a b, の連立方程式を求め，答えを求めて5点

(3)

3/4

【理系】（250点満点）

(1)（配点28点）

 f x'( )を求めて5点

 f x'( )中の正の因子を除外した関数をg x( )(3x e) ^x 3aのように定めて5点

 上記のg x( )の増減を調べて5点

 ( ) , ( ) ,lim ( )

x

g g g x



   

0 0 3 0 を述べて6点(各2点)

 g t( )0 3, tであるtがただ1つ存在することをのべ、さらにg x( )の符号変化を述べて5点

 残りの議論に2点 (2)（配点22点）

 (1)のtに対して、aとtの関係式を求めて5点

 極大値からaを消去し、tのみの式で表して5点

 ( ) x_x h x  e

3 2

のx3における増減を調べて9点

 残りの議論に3点

(1)（配点20点）



 

MN ,KL

をそれぞれ

  

OA ,OB ,OC

で表して8点(各4点)

 内積

 

MNKL

からOA OB a b c





2 2 2

2

 

を求めて8点

 結論をまとめて4点 (2)（配点30点）

 点P,Qが線分上にある条件(0t1)を加え，AP : PC BQ : QOをベクトルで表せて7点



 

OP ,OQ

をそれぞれ

  

OA ,OB ,OC

で表して6点(各3点)



 

MPMQ

を

  

OA ,OB ,OC

で表し，さらに上記tの2次関数で表して10点

 上記の2次関数をf t( )としたとき，f

        

1

2 ^の符号とf( ), ( )0 f 1 のいずれかの符号を調べて4点

 残りの議論に3点

(1)（配点5点）

 正しい証明に5点 (2)（配点10点）

 (1)を用いて ab c

m ab c

  

  ²

1 4

が成り立つことのを述べて5点

 残りの証明に5点

(4)

4/4 (3)（配点35点）

 c1のとき，m1を用いてa b, の不等式を求めて4点

 c1のとき，a2とa1の場合分けに3点

 上記のa 2とa1のときのa b,の組をそれぞれ求めて10点

 c2のとき，m1を用いてa b, の不等式を求めて3点

 c2のとき，a2とa1の場合分けに3点

 上記のa 2とa1のときのa b,の組をそれぞれ求めて10点

 結論をまとめて2点

(1)（配点17点）

 1回からn回の操作で，札L,Mを取り出す回数に関する事象を設定して8点(各4点)

 札Mを取り出す回数が0回，1回の場合の確率を求めて6点(各3点)

 答えに3点 (2)（配点23点）

 1回からn回の操作で，札Lを少なくとも1回取り出す事象をA，札Mを少なくとも2回取り出す事象をBのように設定して8点(各4点)

 上記のA B

,

に対して、確率P A( ), (P B), (P A  B)をそれぞれ求めて12点(各3点)

 答えに3点 (3)（配点10点）

 n回の操作で，数字1を記入された札が箱の中に2枚となる確率を求めて4点

 途中の計算と答えに6点

(1)（配点15点）

 C₁,C₂の共有点Pのx座標tを規定する式が求まって5点

 0,at², ,at pの大小関係を述べて5点

 答えに5点 (2)（配点35点）

 l₁,l₂の方程式に6点(各3点)

 Q,Rの座標をそれぞれtで表して6点(各3点)

 QRの長さ，面積Sをそれぞれatで表して8点(各4点)

 lim ,lim

a a

at p a t

 

 ² 

0 0

0を述べて4点

 途中の計算と答えに11点

採点基準 数学（文系・理系）

第 1 回 7 月阪大本番レベル模試 （2020 年 7 月 18 日実施)