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第 1 回 ７月名大本番レベル模試 （2018 年 7 月 7 日実施)
採点基準 数学（文科系・理科系）
【共通事項】
１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる
【文系】（200点満点）
第1問（65点満点）
(1)（配点17点）
軌跡を求めて(答えに)12点 図示できて5点
(2)（配点18点）
Pが直線上にあることを示す式を導いて12点 点Pが線分上を動く説明に6点
(3)（配点30点）
tを固定し，s =1のときのPをR (1 + t,at + t )2 としたとき，Rの軌跡を求めて12点 Pの動きうる範囲の説明と図示に8点(各4点)
途中の計算と答えに10点
第2問（70点満点）
(1)（配点16点）
nをn=2m,2m−1 (m:正の整数)のように偶奇に分け，それぞれのn2を4でくくった形で 表して12点
答えに4点 (2)（配点15点）
a b c, , のいずれかが奇数であることを説明して6点 残りの証明に9点
(3)（配点27点）
n2を3で割った余りがnが3の倍数のときは0，nが3の倍数でないときは1であることを示 して12点
a b c, , のいずれかは3の倍数でないことを説明して6点 残りの証明に9点
(4)（配点12点）
a b c , ,
のうち3の倍数になるものがちょうど2個であることを説明して6点 残りの証明に6点2/4 第3問（65点満点）
(1)（配点12点）
Aが勝者であるときのb c,の組合せをすべて求めて8点 答えに4点
(2)（配点18点）
( , , , , )
a=k k=2 3 4 5 6 でAが勝者であるときの場合の数を求めて7点 Aが勝者となる場合の数を求めて7点
答えに4 点 (3)（配点17点）
a>b>cであるときと，a=b>cであるときのそれぞれの場合の数を求めて10点（各5点）
a>b>cまたは，a =b>cとなる確率を求めて3点 答えに4点
(4)（配点18点）
a≥b+cであるときの場合の数を利用する方針を立て，a≥ b+cであるときの場合の数を求 めて10点
途中の計算と答えに8点
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【理系】（200点満点）
第1問（50点満点）
(1)（配点16点）
Qにおける円Dの接線がOPと平行になるとき，Sが最大になることを述べて6点 OBQ,Q
∠ の座標に10点（各5点）
(2)（配点16点）
Pの座標をθで表して7点
答えに9点 (絶対値を外していない場合は6点) (3)（配点18点）
(2)で求めた
S
をS = f ( ) θ
のようにおき，f′( )θ = ( sinθ+ )
−sinθ
3 2 3 13 を導いて6点
上記のf( )θ に対し，増減を示して4点 Sの最大値を求めて（答えに）4点
P,Qの座標を求めて（答えに）4点（各2点）
第2問（50点満点）
(1)（配点14点）
P( , ),Q(p p2 q,q2),M(x,y)などとおき，求める条件を p q, p q
x + y +
= =
2 2
2 2 を満たす
,
p qの存在する条件に言い換えて4点 ,
p qがtの2次方程式t2 −2xt+2x2 −y=0の2解と一致することを述べて6点 答えに4点
(2)（配点16点）
tの2次方程式t2 −2xt+2x2 −y= 0が− ≤ ≤2 t 2に2つの解をもつ条件を示して8点 x y, の条件式を導いて4点
図示できて4点 (3)（配点20点）
t
の2次方程式t2 −2xt+2x2 −y= 0の解が，− ≤ ≤2 t 0と0≤ ≤t 2に1つずつあるための 条件を示して6点条件式を導いて6点 図示できて（答えに）4点 面積を求めて（答えに）4点
4/4 第3問（50点満点）
(1)（配点12点）
p1を求めて5点 (説明がない場合は3点) p2を求めて7点 (説明がない場合は4点) (2)（配点30点）
n n n , n n n
A +1 =10A +a +1 B +1 =10B +b +1となることを述べて2点
n n
B +1 =2A +1となるとき，Bn −2An = 0 1,であることを導いて3点
n n
B +1 =2A +1となるときの，Bn =2An，Bn =2An +1となる目の出方をそれぞれ求めて 6点（各3点）
Pn+1をPn,Qnを用いて表して（答えに）2点
n n
B +1 =2A +1 +1となるとき，Bn −2An =0 1,であることを導いて3点
n n
B +1 =2A +1 +1となるときの，Bn =2An，Bn =2An +1となるそれぞれの目の出方を求め て6点（各3点）
Qn+1をPn,Qnを用いて表して（答えに）2点
n n
P −Q を求めて（答えに）6点 (3)（配点8点）
漸化式Pn+1 =4Pn −1を導いて2点 途中の計算と答えに6点
第4問（50点満点）
(1)（配点14点）
解と係数の関係から，2a= −mを導き，2aが整数となることを述べて4点 解と係数の関係から，4pb2 =m2 −4nを導いて4点
b
2 が整数となることの論証に6点 (2)（配点12点）
背理法で示す方針を立て，設定ができて4点 証明できて8点
(3)（配点12点）
b u
= v（u v,は互いに素な整数）とおいたとき，pu2 =m2 −4nとなることを導いて4点 答えに8点
(4)（配点12点）
pが4で割って1余る素数であるとき，条件(C)を満たすことを述べて8点 答えに4点
