衝突運動

(1) 衝撃運動方程式

固体粒子同士，および固体粒子と壁面との衝突運動に関しては，剛体球粒子を仮定し て，摩擦のある非弾性衝突モデル[25], [26], [82] - [84]を用いる．実験的に得られた反発係数e および動摩擦係数 _fを導入することによって，衝撃力ベクトル Jijを反発力の力積と摩 擦力の力積とに分解して導出する．ここで，反発係数と動摩擦係数は，辻ら^{[82], [84]}が用い た既存実験データを参考にした（直径 6mm の鋼球とプラスチック平板との衝突，直径 1mmのポリエチレンペレットとプラスチック平板との衝突）．本計算では，e=0.875， _f

=0.4を代表値として用いた．

固体粒子i と固体粒子 jの衝突を考えると，それぞれの固体粒子に対する並進と回転 運動の衝撃運動方程式は次式で与えられる．

M ,

*

pi ij pi pi

u J

u _{ij ij}

pi pi pi

pi I

* ω d n J

ω 2 (2.4.18)

M ,

*

pj ij pj pj

u J

u _{ij ij}

pj pj pj

pj I

* ω d n J

ω 2 (2.4.19)

ここで，nijは接触面に対して粒子iから粒子jに向かう法線方向単位ベクトルであり，

衝突後の速度と角速度を* によって示した．また，固体粒子 j を壁面とみなすことで，

固体粒子と壁面との衝突運動方程式となる．

(2) 摩擦のある非弾性衝突モデル

衝撃力Jijは衝撃モデルによって決定される．衝突現象を解析する際，衝突による材料 の塑性変形や破壊現象までを考えると，衝突の解析は非常に困難となる．そこで，これ らの影響を無視し，衝突モデルとして摩擦のある非弾性衝突モデルを用い，以下に示す ような仮定をした．

・ 衝突時の粒子の変形は無視できる．

・ 反発係数eおよび動摩擦係数 _f は，衝突条件に関係なく一定である．

・ 衝突の過程において，接触点での滑りがある間，粒子間の摩擦力はクーロンの法則 に従う．

・ 衝突の過程において，接触点での滑りが一旦停止すれば，それ以後は再び滑ること はない．

さらに，二つの物体の衝突現象を，①衝突直前，②圧縮期間，③回復期間，④衝突直 後，の四つの過程に分けて考える．圧縮期間とは，接触が始まり物体間の圧力がゼロか ら増大して最大値に達するまでの期間である．回復期間とは，その後圧力が減少し再び ゼロになる期間である．解析の際，粒子の変形は考慮しないが，上記の四つの期間にお ける粒子速度と回転角速度の変化は考える．

また，衝突の条件については，以下の三つの場合が考えられる．

・ 球のすべりが圧縮期間の途中で止む場合

・ 球のすべりが回復期間の途中で止む場合

・ 衝突の全過程を通じて球がすべる場合

以上示した三つの場合に応じて，それぞれ摩擦のある非弾性衝突モデルに従い衝撃運 動方程式を解く．なお，一つの条件下での計算において，全部で26個の未知数が存在し，

各成分に対する衝撃運動方程式と境界条件の合計 26 方程式を解く．解法の詳細^[82]は省 略するが，反発力の力積（法線方向）Jnと摩擦力の力積（接線方向）Jtとに分解して，

衝撃力ベクトルJijは以下のように導出できる．

ij t ij n

ij J n J t

J (2.4.20)

ij ij ij

n eM

J 1 n V

7 ] , 2 1

min[ f ij ij ij ij fij

t eM M

J n V V

ここで，nijは接触面に対して粒子iから粒子jに向かう法線方向単位ベクトルであり，tij

は接線方向の単位ベクトルである．また，Mijは以下に定義する換算質量である．

pj pi

pj pi

ij M M

M

M M : 粒子－粒子の衝突 (2.4.21)

pi

ij M

M : 粒子－壁面の衝突 (2.4.22) Vijは衝突直前の粒子jに対する粒子iの相対速度ベクトルである．

pj pi

ij u u

V (2.4.23)

また，粒子jに対する粒子iの接触点（衝突点）での相対速度ベクトルVf_ijは以下のよ うに算出できる．

ij pj pj pi pi ij

ij ij ij ij

f V V n n d ω d ω n

V 2

1 2

1 (2.4.24)

以上のように，摩擦のある非弾性衝突モデルに従い衝撃力 Jijを算出することができ，

衝撃運動方程式から粒子iと粒子jについての衝突後の速度と角速度をそれぞれ求めるこ とができる．

(3) 異常反発モデル

実現象においては，固体粒子の非球形形状や管内壁の粗さが衝突角度に微妙な変化を 与え，運動エネルギの方向転換が起こるため，不規則な反発（異常反発）が発生する．

この影響を考慮するため，本解析では仮想壁面モデルを用いる．この方法では，粒子の 衝突面を仮想的に傾斜させ，衝突後の粒子の速度と角速度を求める．

傾斜角には迎え角，入射角，振り角の三種類があり，それぞれ ， ， で表す． は 異常反発の発生基準となる入射角である．実壁面と粒子が成す実際の入射角θが，この 基準角 以下となるとき，粒子は異常反発を起すと仮定する．

本研究では，辻ら[82] - [84]が提案した と の関係式を用いる．

0

:

: (2.4.25)

ここで， ， ， はポリエチレンペレットの空気輸送を対象とした実験結果[82] - [84]

を参考にして以下のように与えた．

7o

3 2

1238 91

3 2

r

r Fr F

F .

10o

gD

F_r V ：フルード数

V ：搬送流体の平均速度 D ：流路の代表径

G ：重力加速度