幾何学序論２

(1)

幾何学序論２ K.Ichihara

連結性とその応用

連結性と部分集合連結性の応用

弧状連結性

弧状連結とは

練習問題

幾何学序論２

第６章連結性と弧状連結性

6.2

連結性とその応用，

6.3

弧状連結性

市原一裕

2014

年

12

月

1

日（月）２，４限

1 / 9

(2)

弧状連結性

弧状連結とは

練習問題

小テスト

1.

ユークリッド空間内の集合が連結であることの定義をかきなさい．

2.

集合

{ (0, 0, 0, 0) } ∪ { (1, 1, 1, 1) } ⊂ R

⁴が連結でないことを示しなさい．

3.

集合

R − { 0 }

が連結でないことを示しなさい．

2 / 9

(3)

弧状連結性

弧状連結とは

練習問題

連結性と部分集合

定理

6.2.1【連結性と部分集合】

R

ⁿの部分集合

X

が連結

⇔ ∀a, b ∈ X

に対して，

{ a, b } ⊂ C

をみたす

連結な部分集合

C ⊂ X

が存在

定理

6.2.2【 R

ⁿの連結性】

任意の自然数

n

について

R

ⁿ^は連結．

3 / 9

(4)

弧状連結性

弧状連結とは

練習問題

連結性の応用

定理

6.2.3【中間値の定理】

X ⊂ R

ⁿを連結な部分集合とし，

f : X → R

^{を連続関数とする．}

f (P ) < f (Q)

となる

P, Q ∈ X

がとれたとき，

f (P ) ≤ y ≤ f (Q)

となる任意の

y ∈ R

^{に対して，}

ある

x ∈ X

が存在して

y = f (x)

が成り立つ．

4 / 9

(5)

弧状連結性

弧状連結とは

練習問題

準備

定義

6.3.1【道（path）】

X

を

R

ⁿの部分集合とするとき，

連続写像

γ : [0, 1] → X

を，

X

上の道という．

また，

γ (0)

を道

γ

の始点，

γ (1)

を道

γ

の終点という．

5 / 9

(6)

弧状連結性

弧状連結とは

練習問題

弧状連結とは

定義

6.3.2【弧状連結（path connected）】

X

を

R

ⁿ^{の部分集合とする．}

X

が弧状連結

⇔ X

内の任意の２点

P

と

Q

に対し

P

を始点とし

Q

を終点とする道が存在．

正確には，ある連続写像

γ : [0, 1] → X

が存在して，

γ (0) = P

かつ

γ(1) = Q

をみたすということ．

つまり，

X

内の任意の２点を道でつなげられるということ．

例

6.3.1 R

内の任意の区間は弧状連結．

一方，

[ − 1, 1] − { 0 } = [ − 1, 0) ∪ (0, 1]

は弧状連結でない．

6 / 9

(7)

弧状連結性

弧状連結とは

練習問題

弧状連結と連結

定理

6.3.1【弧状連結ならば連結】

X

を

R

ⁿを部分集合とするとき，

X

が弧状連結ならば，

X

は連結．

注意

6.3.2 n = 1

の場合，つまり，

R

の部分集合については，次が成立．

注意

6.3.2 n ≥ 2

の場合，一般には逆は成り立たない．

（例えば，

X = { (x, sin

¹_x

) | x ∈ [0, 1] } ∪ { (0, y) | y ∈ [ − 1, 1] }

^）

7 / 9

(8)

弧状連結性

弧状連結とは

練習問題

連続写像と弧状連結性

定理

6.3.2【連続写像と弧状連結性】

X ⊂ R

ⁿ^とし，

f : X → R

^m^{を連続写像とする．}

このとき，

X

が弧状連結ならば，

f

による

X

の像

f (X) = { f (x) ∈ R

^m

| x ∈ X }

^{も弧状連結．}

8 / 9

(9)

弧状連結性

弧状連結とは

練習問題

6.3.1 R

³が連結であることを示しなさい．

練習問題

6.3.2 R

が弧状連結であることを定義に従って証明しなさい．

練習問題

6.3.3 { 0, 1 }

が弧状連結でないことを証明しなさい．

9 / 9

幾何学序論２

幾何学序論２

第６章 連結性と弧状連結性

6.2

6.3

2014

12

1

1.

2.

{ (0, 0, 0, 0) } ∪ { (1, 1, 1, 1) } ⊂ R

3.

R − { 0 }

6.2.1【連結性と部分集合】

R

X

⇔ ∀a, b ∈ X

{ a, b } ⊂ C

C ⊂ X

6.2.2【 R

n

R

6.2.3【中間値の定理】

X ⊂ R

f : X → R

f (P ) < f (Q)

P, Q ∈ X

f (P ) ≤ y ≤ f (Q)

y ∈ R

x ∈ X

y = f (x)

6.3.1【道（path）】

X

R

γ : [0, 1] → X

X

γ (0)

γ

γ (1)

γ

6.3.2【弧状連結（path connected）】

X

R

X

⇔ X

P

Q

P

Q

γ : [0, 1] → X

γ (0) = P

γ(1) = Q

X

6.3.1

R

[ − 1, 1] − { 0 } = [ − 1, 0) ∪ (0, 1]

6.3.1【弧状連結ならば連結】

X

R

X

X

6.3.2

n = 1

R

6.3.2

n ≥ 2

X = { (x, sin

) | x ∈ [0, 1] } ∪ { (0, y) | y ∈ [ − 1, 1] }

6.3.2【連続写像と弧状連結性】

X ⊂ R

f : X → R

X

f

X

f (X) = { f (x) ∈ R

| x ∈ X }

6.3.1

R

6.3.2

R

第６章連結性と弧状連結性