幾何学序論２

(1)

幾何学序論２ K.Ichihara

１次元の幾何学

数直線上の合同連続関数

同相写像

幾何学序論２

第４章ユークリッド幾何学から位相幾何学へ

市原一裕

2014

年

9

月

22

日（月）２，４限

(2)

数直線上の合同連続関数同相写像

数直線上の合同

１次元の図形（つまり，数直線上の部分集合）が合同であるとは，どういうことだろうか？

定義

4.1.1【合同（congruent），等長写像（isometry）】

X, Y ⊂ R

を二つの

1

次元の図形とする．

このとき，

X

と

Y

が合同であるとは，

ある合同変換

f : R → R s.t. f (X) = Y

となること．

また

R

^から

R

^への写像

f : R → R

^が，合同変換（等長写像）であるとは，

∀ a, b ∈ R

^{に対して，}

| a − b | = | f (a) − f (b) |

^{が成り立つこと．}

(3)

数直線上の合同

１次元の図形（つまり，数直線上の部分集合）が合同であるとは，どういうことだろうか？

定義

4.1.1【合同（congruent），等長写像（isometry）】

X, Y ⊂ R

を二つの

1

次元の図形とする．

このとき，

X

と

Y

が合同であるとは，

ある合同変換

f : R → R s.t. f (X) = Y

となること．

また

R

^から

R

^への写像

f : R → R

^が，

合同変換（等長写像）であるとは，

∀ a, b ∈ R

^{に対して，}

| a − b | = | f (a) − f (b) |

^{が成り立つこと．}

(4)

合同についての注意

注意

4.1.1

実は，

f

が等長写像ならば，

f

が全単射になることがわかる．

しかし，一般に逆は成り立たない．

注意

4.1.2

等長写像とは，つまり，２点間の距離を保つ写像のこと．

例えば，数直線上では，平行移動や点対称移動．

(5)

合同では．．．

しかし，この「合同」という基準は厳しすぎるように見える．

つまり，図形を細かく分類しすぎてしまうので，実際に分類するのが大変

（平面上の三角形の合同条件くらいならすぐできるけど，

四角形の合同条件すらきちんというのは大変）．

そこで，もっと「ゆるい」基準で図形を分類してみよう．これこそが柔らかい幾何学：位相幾何学（トポロジー）！

(6)

合同では．．．

しかし，この「合同」という基準は厳しすぎるように見える．

つまり，図形を細かく分類しすぎてしまうので，実際に分類するのが大変

（平面上の三角形の合同条件くらいならすぐできるけど，

四角形の合同条件すらきちんというのは大変）．

そこで，もっと「ゆるい」基準で図形を分類してみよう．

これこそが柔らかい幾何学：位相幾何学（トポロジー）！

(7)

等長写像から連続写像へ

等長写像は「距離を保つ」写像だった．

もっとゆるく考えて，距離を「ぴったり」保たなくて良い，

としてみたい．

つまり，「だいたい」近い点は近い点にうつす，くらいで考えてみたい．

それはつまり，連続写像のことだろう！

(8)

等長写像から連続写像へ

等長写像は「距離を保つ」写像だった．

もっとゆるく考えて，距離を「ぴったり」保たなくて良い，

としてみたい．

つまり，「だいたい」近い点は近い点にうつす，くらいで考えてみたい．

それはつまり，連続写像のことだろう！

(9)

連続関数

いま１次元の図形，つまり数直線

R

上の図形を考えている．

R

^から

R

への写像というのは，つまり関数のこと．

そこで，関数について「連続」を復習しよう．

定義

4.1.2【連続関数（continuous function）】

X ⊂ R

^，

f : X → R

^とし，

a ∈ X

とする．

f

が

a

において連続であるとは，次が成り立つこと．

x

lim

→a

f (x) = f(a)

（この書き方は

lim

の定義がないので曖昧さが残っている）

正確には，

ε-δ

論法を用いて，次のように定義される．

f

が

a

において連続

⇔

∀ ε > 0, ∃ δ > 0 s.t. | x − a | < δ ⇒ | f (x) − f (a) | < ε

さらに，

∀ a ∈ X

において

f

が連続であるとき，

f

は

X

上で連続，または，

f

は連続関数であるという．

(10)

連続関数

いま１次元の図形，つまり数直線

R

上の図形を考えている．

R

^から

R

への写像というのは，つまり関数のこと．

そこで，関数について「連続」を復習しよう．

定義

4.1.2【連続関数（continuous function）】

X ⊂ R

^，

f : X → R

^とし，

a ∈ X

とする．

f

が

a

において連続であるとは，次が成り立つこと．

x

lim

→a

f (x) = f(a)

（この書き方は

lim

の定義がないので曖昧さが残っている）

正確には，

ε-δ

論法を用いて，次のように定義される．

f

が

a

において連続

⇔

(11)

同相写像

連続関数（連続写像）を使って，次のように「ゆるい」合同変換のようなものを考えてみよう．

定義

4.1.3【同相写像（homeomorphism）】

写像

f : X → Y

が，同相写像であるとは，

f

が全単射で連続写像，かつ，

f

の逆写像

f

⁻¹も連続写像となること．

このままでは，

X

や

Y

がなんなのか曖昧なので，

きちんとした定義ではない．

この章の目標は，この同相写像をきちんと定義すること．