幾何学序論１

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幾何学序論１ K.Ichihara

実数とは

実数の完備性と連続公理アルキメデスの原理と有理数の稠密性

実数の集合の濃度

加法について

幾何学序論１

練習問題

市原一裕

2015年7月13日（月）2限

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実数とは

加法について

練習問題

実数の完備性

注意 3.5.8

実数に対して，その絶対値を，これまでと同様に定義することができる．詳しいことは，ここでは省略．

定理 3.5.9【実数の完備性（completeness）】

実数のコーシー列は必ず収束する．

すなわち，実数列{xn}がコーシー列である，つまり，

∀ε >0,∃N s.t. ∀n, n^′ > N,|x_n−x_n′|< ε

が成り立つとき，実数 αがただ一つ定まり，次が成立する．

∀ε >0,∃N s.t. ∀n > N,|x_n−α|< ε

(3)

実数とは

加法について

練習問題

実数の完備性

注意 3.5.9

一般に，絶対値（ノルム）が定義されている集合において，

任意のコーシー列が収束するとき，その集合は完備である

（complete）という．

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実数とは

加法について

練習問題

上限と下限

定義 3.5.5【上限（sup）と下限（inf）】

Rの部分集合をAとする．

▶ Aに対して「すべてのα∈Aに対してα≤x」となるようなx∈R^{が存在するとき，この}xをAの上界という．

▶ Aの上界がすくなくとも一つ存在するようとき，Aは上に有界であるという．

▶ Aが上に有界であるとき，Aの上界のうちで最小のもの，つまり任意の「Aの上界」λに対して，α≤λをみたすAの上界αが存在するとき，それをAの上限

（supA）という．

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実数とは

加法について

練習問題

実数の連続公理

定理 3.5.10【実数の連続公理】

上に有界なR^{の部分集合}Aには，必ず上限α= supA∈R が存在する．また，下に有界な集合Bには，必ず下限 β = infB ∈Rが存在する．

注意 3.5.10

いまのように，コーシー列から実数を定義している場合，

これは「定理」だが，この「連続公理」と前節の定理たちと次節の「アルキメデスの原理」をあわせて，「公理」として実数の集合を定義することもできる．

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実数とは

加法について

練習問題

有理数の稠密性

定理 3.5.11【有理数の稠密性（ちゅうみつせい）】

α < βをみたす任意の実数αとβに対して，α < r < β となる有理数r が無数に存在する．

定理 3.5.12

R^の中でN^{は有界ではない．}

定理 3.5.13【アルキメデスの原理】

0< α < βをみたす任意の２つの実数αとβに対して，ある自然数Nが存在してN α > βが成り立つ．

(7)

実数とは

加法について

練習問題

Rの濃度

定理 3.6.1【Rの濃度】

R^と2^Nは対等である．

定理 3.6.2

R^とR×R^{は対等である．}

注意 3.6.1

この定理は，カントールが1877年に（32才のときに）示したもので，無限に関しては次元には意味がない！ことを意味しているように見える．

カントール自身，自分で証明できてしまったが，次のような友人のデデキント宛ての手紙が残っている

「私は見た．しかし信じられない（Je le vois, mais je ne le

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実数とは

加法について

練習問題

練習問題 3.6.1

A= (0,1)の下限が0であることを示しなさい．

練習問題 3.6.2

集合{_m+nⁿ |m, n∈N} ⊂Rが上限または下限を持つかどうか調べなさい．

練習問題 3.6.3

任意の正の実数αに対して，0< r < αをみたす有理数が存在することを示しなさい．

N