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幾何学序論２

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Academic year: 2021

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(1)

幾何学序論２ K.Ichihara

連結性とその応用

連結性と部分集合 連結性の応用

弧状連結性

弧状連結とは

練習問題

幾何学序論２

第６章 連結性と弧状連結性

6.2

連結性とその応用，

6.3

弧状連結性

市原一裕

2016

年

12

月

05

日（月）２，４限

1 / 10

(2)

幾何学序論２ K.Ichihara

連結性とその応用

連結性と部分集合 連結性の応用

弧状連結性

弧状連結とは

練習問題

小テスト

1.

集合

{ (1, 2, 3, 4) } ⊂ R

4が連結であることを示しな さい．

2.

集合

R − { 0 }

が連結でないことの証明の概略をか きなさい．

3.

集合

{ (1, 1), (

12

,

12

) } ⊂ R

2が連結でないことを証明 しなさい．

2 / 10

(3)

幾何学序論２ K.Ichihara

連結性とその応用

連結性と部分集合 連結性の応用

弧状連結性

弧状連結とは

練習問題

連結性と部分集合

定理

6.2.1【連結性と部分集合】

R

nの部分集合

X

が連結

⇔ ∀a, b ∈ X

に対して，

{ a, b } ⊂ C

をみたす

連結な部分集合

C ⊂ X

が存在

定理

6.2.2

【

R

nの連結性】

任意の自然数

n

について，

n

次元空間

R

nは連結．

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(4)

幾何学序論２ K.Ichihara

連結性とその応用

連結性と部分集合 連結性の応用

弧状連結性

弧状連結とは

練習問題

連結性の応用

定理

6.2.3

【中間値の定理】

X ⊂ R

nを連結な部分集合とし，

f : X → R

を連続関数とする．

f (P ) < f (Q)

となる

P, Q ∈ X

がとれたとき，

f (P ) ≤ y ≤ f (Q)

となる任意の

y ∈ R

に対して，

ある

x ∈ X

が存在して

y = f (x)

が成り立つ．

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(5)

幾何学序論２ K.Ichihara

連結性とその応用

連結性と部分集合 連結性の応用

弧状連結性

弧状連結とは

練習問題

R

と

R

2

問題

R

と

R

2は同相か？

注意

6.4.3

先週の補講で示したように，

R → R

2という全単射は存在 する（

Cantor

）．

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(6)

幾何学序論２ K.Ichihara

連結性とその応用

連結性と部分集合 連結性の応用

弧状連結性

弧状連結とは

練習問題

準備

定義

6.3.1

【道（

path

）】

X

を

R

nの部分集合とするとき，

連続写像

γ : [0, 1] → X

を，

X

上の道という．

また，

γ (0)

を道

γ

の始点，

γ (1)

を道

γ

の終点 という．

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(7)

幾何学序論２ K.Ichihara

連結性とその応用

連結性と部分集合 連結性の応用

弧状連結性

弧状連結とは

練習問題

弧状連結とは

定義

6.3.2

【弧状連結（

path connected

）】

X

を

R

nの部分集合とする．

X

が弧状連結

⇔ X

内の任意の２点

P

と

Q

に対し

P

を始点とし

Q

を終点とする道が存在．

正確には，ある連続写像

γ : [0, 1] → X

が存在して，

γ (0) = P

かつ

γ(1) = Q

をみたすということ．

つまり，

X

内の任意の２点を道でつなげられるということ．

例

6.3.1

R

内の任意の区間は弧状連結．

一方，

[ − 1, 1] − { 0 } = [ − 1, 0) ∪ (0, 1]

は弧状連結でない．

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(8)

幾何学序論２ K.Ichihara

連結性とその応用

連結性と部分集合 連結性の応用

弧状連結性

弧状連結とは

練習問題

弧状連結と連結

定理

6.3.1

【弧状連結ならば連結】

X

を

R

nを部分集合とするとき，

X

が弧状連結ならば，

X

は連結．

注意

6.3.2

n = 1

の場合，つまり，

R

の部分集合については逆も成立．

注意

6.3.2

n ≥ 2

の場合，一般には逆は成り立たない．

（例えば，

X = { (x, sin

1x

) | x ∈ [0, 1] } ∪ { (0, y) | y ∈ [ − 1, 1] }

）

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(9)

幾何学序論２ K.Ichihara

連結性とその応用

連結性と部分集合 連結性の応用

弧状連結性

弧状連結とは

練習問題

連続写像と弧状連結性

定理

6.3.2

【連続写像と弧状連結性】

X ⊂ R

nとし，

f : X → R

mを連続写像とする．

このとき，

X

が弧状連結ならば，

f

による

X

の像

f (X) = { f (x) ∈ R

m

| x ∈ X }

も弧状連結．

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(10)

幾何学序論２ K.Ichihara

連結性とその応用

連結性と部分集合 連結性の応用

弧状連結性

弧状連結とは

練習問題

練習問題

練習問題

6.3.1

R

3が連結であることを示しなさい．

練習問題

6.3.2

R

が弧状連結であることを定義に従って証明しなさい．

練習問題

6.3.3

{ 0, 1 }

が弧状連結でないことを証明しなさい．

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参照

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