幾何学序論２

(1)

幾何学序論２

第

2

章ユークリッド空間の位相，

2.1

位相同型

市原一裕

2017

年

10

月

16

日（月）２限

1 / 6

(2)

連続性の定義

柔らかい幾何学

中学校では。。。

図形の合同の概念：

回転移動・平行移動・線対称移動で重ねられる２つの図形は「合同」。

この概念からできる幾何学が，ユークリッド幾何学「硬い幾何学」

もっと新しい「柔らかい幾何学」を学ぼう。

それが「位相幾何学（トポロジー）」

(3)

位相同型

定義

2.1.1

ユークリッド空間内の部分空間

X

^と

Y

に対して，下の条件を満たす写像

h : X → Y

が存在するとき，

X

と

Y

は位相同型

(homeomorphic)

であるという。

(1) h

は全単射である

(2) h

と

h

⁻¹は連続である

X

^と

Y

が位相同型であることを記号で

X ∼ = Y

^と表す。

また，写像

h

を

X

と

Y

の間の位相同型写像

(homeomorphism)

という。

注意

「位相同型」を「同相」ともいい，「位相同型写像」を「同相写像」ともいう。

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(4)

連続性の定義

同値関係

定理

2.1.2

ユークリッド空間の部分集合

X

と

Y

と

Z

に関して次のことが成り立つ。

(1) X ∼ = X

(2) X ∼ = Y

^ならば

Y ∼ = X

(3) X ∼ = Y

かつ

Y ∼ = Z

ならば

X ∼ = Z

この定理からわかること：

「位相同型はユークリッド空間内の図形に対する同値関係である」

復習（同値関係）

集合

X

^{の元の間の「関係」}

∼

^が，次の

3

つの条件を満たすとき，この関係を同値関係という。

(1) x ∼ x (

反射率）

(5)

練習問題

(1)

練習問題

2.1.1

下に与えられた直線と円周で与えられた図形を位相同型で分類してください。位相同型ではないとしたものについてはできる限りで良いので説明をしてください。

5 / 6

(6)

練習問題

練習問題

(2)

練習問題

2.1.2

下で与えられたアルファベットの大文字を位相同型でグループ分けしなさい。全問と同じく、位相同型でないものについては説明を要しますが、

位相同型なものについては説明は必要とせず直感的な理解で結構です。

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