博 士 （ 理 学 ） 河 野 正 晴
学 位 論 文 題 名
Knots in solid torus
（ ソリ ッ ド・ ト ーラ ス のなか の結び目に ついて）
学 位 論 文 内 容 の 要 旨
近 年Jaco−ShalenとJohansonに よ っ てHaken manifoldに 対 し canonicalな 分 解 が 存 在 す る こ と が 示 さ れ た 。 っ ま り Haken manifoldMに 対 し ， そ の な か のincompressible
toriのcanaicalなsystemtT,， … ，T．1が 存 在 し ，MをTI， … ，T・ でcutし て 得 ら れ る 各 pieceをcomponentご と にPユ ， … ，P‐ と す る と き ， そ れ ぞ れ のpieceはSeifert fibered spaceか simpleで あ る か の い ず れ か で あ る 。 よ く 知 ら れ たThurstonの 双 曲 化 定 理 を 用
い る と ， simple peiceに は hyperbolic structureが は い る こ と が わ か る 。 そ こ で Seifertま た は hyperbolicで あ る 各 peiceの 性 質 を 調 べ る こ と に よ っ て ， Mの 性 質 を 調 べ る と い う 方 法 が 考 え ら れ る 。3次 元 球 面S゜ の な か の knotに 対 し ， そ のexteriorは Haken manifoldで あ る の で ， こ の 立 場 はknot theoryに 強 カ な 道 具 を 与 え る と 考 え ら
satellite knotの 概 念 はSchubertに よ り 導 入 さ れ た が ， Thurstonの 双 曲 化 定 理 の 帰 結 と し てS3の な か の knotはtorus knotか hyperbolic knotか satellite knotの い ず れ か で あ る こ と が 知 ら れ て い る 。 我 々 は 前 述 の 立 場 か らsatellite knotを 研 究 す る 。 つ
ま り ， satellite knotを solid torusの な か のknotと s8の な か のcoreと 呼 ば れ るknot か ら っ く ら れ る も の と 見 て ，S の な か のsatellite knotとcore，solid torusの な か の knotな ど と の 関 係 を 調 べ る 。 又 coreがtrivialな 場 合 （ こ の 場 合 はsatellite knot
と は 呼 ば な い が ） に 付 い て も 調 べ る 。
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問 題 を 定 式 化 す る た め 定 義 を 述 ぺ る 。V=D'x slを 向 き 付 け ら れ たsolld torusと し Iv=f＊lxS￣ （tE8D ） を 向 き 付 け ら れ たlongi tudeと す る 。kをVの な か のknotと す る 。 Cを 向 き 付 け ら れ た3次 元 球 面S の 向 き 付 け ら れ たknot（ こ れ をcoreと 呼 ぷ ） と し U=U（C，S ） をCの 正 則 近 傍 と す る 。lvをCと 同 じ 向 き のUのlongitude muをCと の 絡 み 数
が1に な る 様 に 向 き 付 け ら れ たUのmertdianと す る 。 任 意 の 整 数nに 対 し ，Vか らUへ の 向 き を 保 つ 同 相 写 像f． でf‐（[lv］ ）＝ ［lU］ ＋n［nu］ とナ ょ るも の が存 在 する 。こ こ で［ ］1ま H （aV） 又 はHI（au） のhofriology classを 表 す 。 こ の と きkの 像f． （k） をC（k．n） と 表 す 。 特 にn=0の と きC（k） 〓C（k，O） と す る 。kが 向 き 付 け ら れ て い る と き はC（k．n） も 向 き 付 け
ら れ て い る と 考 え る こ と が で き る 。Vのmeridian diskとkのgeometric intersection numberを a> v (k), algebric intersection numberを Wlndv(k) ‑C ‑ o kno t ij向き {‑tき knotと し て 同 じtypeの と き に は 讎 ， 向 き を 無 視 し て 同 じtypeの と き に は ¨ 甜 自 分 自 身 又 は そ の 鏡 像 と 向 き を 無 視 し て 同 じtypeの と き に 惜 〜 と い う 記 号 を 用 い る 。
k
我 々 の 考 え た い 問 題 は 以 下 の 様 に 定 式 化 す る こ と が で き る 。
問題1 問題2 問題3
C（k，m） とC． （k．n） が 同 じtypeの と きCとC は 同 じtypeか 。 C（k．− ） とc（k，n）が 同 じtypeのときm nか。
C（k，n） とC（k． ，n） が 同 じtypeの と きkとk．は 同 じtypeか 。
甜v（k） 〓Oの と き に は ，S の 任 意 のknotC，C と 任 意 の 整 数m nに 対 し て ，C（k．m） 型 C． （k．n） が わ か る の で 以 下OJv（K）*oと す る 。 問 題1はcoreがnon―trivialな と き は す こ し 制 限 を っ け る と 次 の 肯 定 的 な 解 答 が 得 ら れ る 。
定 理l kをVの な か のknotでWindv（k） ≠0と な る も の と し ，C，C． をs． の な か の non‑trivial knotと す る 。 こ の と きC（k，m） ぷC． （k．n） ナ ょ ら ばC讎C． が 成立 す る。
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Windy（k） ≠ 0が 満 た さ れ な い と き は 次 の 反 例 が あ る 。Vをs のstandard solid torus と し koをVの ナ ょ か の knotでslで non―invertibleな も の と す る 。kをkoのunt isted doubleと し ，C=ko#kr:，C 〓ko#koと お く と ，C＃C． 。 し か し こ ｜ の と きC（k） un tvtis ted double of ko#ko#koa un t.rd i s t ed double of ko#ko#ko:C' (k)が hX JZす 8 0 X coreが trivialな 場 合 と の 比 較 に っ い て は 相 馬 に よ り 次 が 得 ら れ て い る 。C。 をtrIvIal．Cを non‑trlvf alと する と , tD y (k) + Oな bば C ( k. m) + Co (k, n> o
りv（k） エ1の と き は 任 意 のm nに っ い てC（k．m） 讎C（k，n） が わ か る の で ， 問 題2に 関 し て は 甜v（k） と2を 仮 定 す る 。coreがnon―trivialの と き 問 題2は 肯 定 的 で あ る 。 定 理 2 Cをs'のnon―trivial knotkと し ，kをVのknotで 甜v（k） と2の も の と す る 。 こ の と きC（k．m） 甜C（k，n） な ら ばn=nが成 立 する 。
coreが trivialknotCDの と き は 反 例 が 存 在 す る 。S． の 任 意 のknotKに 対 し ， Vの な か の あ るknotkでOJv（k） ＝2と な る も の が 存 在 し ，K:C（k） か っC（k） 缶C（k．1） が 成 立 す る 。
し か し こ の 場 合 で も 無 限 個 の 整 数 に 対 し 同 じ typeに な る こ と は な い こ と が 次 で わ か る 。 定 理3 C。 をS のtrivial knotkと し ，kをVのknotで 甜v（k）>2の も の と す る 。 こ の と
きCo (k．nt） 〜Co（k)と な るniは 高 々 有 限 個 で あ る 。 特 にCD（k） もtrivialの と き 次 を 得 る 。
定 理4 kを Vの knot，Co，Co(k） をS のtrivial knotと す る 。 下 図 の 例 外 を の ぞ い て n≠Oの と きC。 （k，n） はnon‑t rlvialok｜ に っ い て はn 1の とき の みC。（kl．n） ぷC。 （k,） 。
k:に っ い て 憾n:−1の と き の ｀ みC。(k,．n)讎C。 （k,)。
問 題 3に っ い て 惜 い く っ か の 付 加 的 条 件 の も と で 我 々 は 次 を 得 る 。
定 S! 5 k, k'を VO kno tで OJ y (k)≠ O, OJ v (k' ) # Oとす 8 0 Co, Co (k), Co (k' )は 4‑ぺ てtrivialと す る 。 こ の と き 無 限 個 のntに っ い てCo（k，nl）fC。 （k． ，nl） が 成 立 す れ ば k甜k． が 成 立 す る 。
問 題 3に っ い て は 一 般 的 に は 反 例 が 存 在 す る こ と が 知 ら れ て い る 。
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学位論文審査の要旨 主査
副査 副査 副査
教授 教授 教授 助教授
学 位 論 文 題 名 Knots in solid torus
（ソ リッド・ト―うス のなかの結び目にっいて）
W. Thurston の 3 次 元 多 様 体 に 対 す る 双 曲 化 定 理 に よ り 、 3 次 元 球 面 S3 の 中 の 結 び 目 は ト ー ラ ス 形 、 サ テ ラ イ ト 形 或 い は 双 曲 形 の 何 れ か で あ る こ と が わ か っ て い る 。 ト ー う ス 形 に っ い て は そ の 不 変 系 が よ く 知 ら れ て い る 。 申 請 者 は 次 の 段 階 の サ テ ラ イ ト 形 を 考 察 し た 。 サ テ ラ イ ト 形 結 び 目 と は 、 ず に 含 ま れ る ト ー ラ ス 体 の 結 び 目 七 の こ と で 轟 は レ の 任 意 の 経 線 円 板 と 交 わ る 、 い わ ゆ る 幾 何 学 的 に 本 質 な 結 び 目 を対象とする。
レ の 中 心 曲 線 、 芯 Core( V) は ま た S3 の 中 の 結 び 目 で あ る 。 レ は Core(V) の 管 状 近 傍 で あ り 、 こ の よ う な ト ー ラ ス 体 に よ っ て 結 び 目 を 記 述 す る 方 法 は 、 J ． Milnor の 絡 み 目 の 研 究に蟷を発するもので、結び目に対するーつの基本的な研究方法である。
レ ・ を S3 の 中 の 別 の ト ー ラ ス 体 と し 、 y を y ． に 写 す 、 向 き を 保 つ 位 相 同 形 写 像 f に 対 し 申請 者 は、 轟と ァ (k) の結 び 目形 から Core(V) と Core( レ ．） の 結び目形の 相異を判定する問 題を考えた。
。
U(k) を ぇ の 正 則 近 傍 と し U(k) を そ の 内 部 と す る と き 、 W. Hxken の 非 圧 縮 曲 面 に よ る 。
有 限 分 割 定 理 を レ 丶 ぴ（ ん） に 適用 する こ とに よっ て 、轟 とレ の 経線 円板 と の代 数的 交 点数 がO でないとき、Core （レ）とCore （レ．）（y ．＝r （レ））が非自明で、えとr （轟）が同一の向きづき結 び 目 形 を も っ な ら ぱ Core （レ ） とCore （ レ ．） も同 じ 向き づき 結 び目 形を も っこ とを 証 明し た。この結果は本論文の主要定理であってTheorem2 として述べられている。
夫
昇 雄
之
治
立
敏
木
中 訪
森
鈴
田 諏
西
一 方、相馬徹はCore(V) が自明で、Core(y ．）が非自明ならぱ、轟とァ(k) の結び日形は異 な る こ と を 示 し て い る の で 、 轟 と 経 線 円 板 と の 代 致 的 交 点数 が0 でな いと き、 轟 と f (k) の向 きづ き結び目 形が一致すれぱ Core(V) とCore(y ．）の向きづき結び目 形も一致 す る と い う 、 美 し い 結 鏑 が い え る 。 こ の 主 定 理 を 基 礎 に し て 更 に 結 び 目 の 考 察 を 進め ている。その主なものを次に 挙げておく。
s3 の中のト―ラス体レの緯線を ￡、経線を m とし、そのホモロジ一類を旧，【ml とかく。
f を y か ら そ れ 自 身 の 上 へ の 位 相 同 形 写 像 で M を 旧 十 n[ に 写 す も の と す る 。 fn を 捩 れ と呼 ぷ 。捩 れん によ り S3 の 新し い結 び目 fn(h) が 得られる。轟がレの中の結 び目で経 線 円板 と の幾 何学的交 点数が2 以上とする。このと きん（轟）とA ｜(k ）が同じ 結び目形 をも っナょらば竹＝n ´となる。 (Theorem3 ）
Core( V) が 自明 で、 轟 の経 線円 板と の幾何学的 交点数が2 以上のとき、ん（ りと轟が 鏡 像 お よ び 向 き を 除 い て 同 じ 結 び 目 形 と な る よ う な n は 高 々 有 限 個 に 限 ら れ る 。 (Theorem4 ）
Core( V) が自明、七と轟 は共 にレに含まれるずの自明な結び目とし、経線円板との幾 何学 的交点数は共に0 でないとす る。無限個の異なるn に対し 、ん（え）とん（F ）が同一 結 び 目 形 を 持 っ ナ ょ ら ば 、 レ に お け る k と ゼ の 結 び 目 形 は 一 致 す る 。 (Theorem6 ） 結 び 目轟 を一 般 化し た絡 み目 でに っ いて も同 様な 考 察が なさ れる 。￡ の 各成 分k が 互 い に 交 わ ら な い ト ― ラ ス 体 M に 含 ま れ 、 各 k の 経 線 円 板 と の 代 数 的 交 点 数 が 0 で ない とす る。 この と き、 轟と r （ k) が 同じ 向き づ き絡 み目 形をもっならばCore(UM ）と Core(U f(V ））の向きづき 絡み目形が一致する。(Theorem7 ） また、Theorem3 の絡み目に 対する類似も成り立っ。(Theorem8 ）
定 理 の 証 明 は ト ― ラ ス 体 y に お け る 結 び 目 轟 の 補 集 合 と し て 得 ら れ る 3 次 元 多 様 体 に W ． Haken の 有 限 分 割 定 理を 適用 し、 分 割要 素の 数に 関す る 帰納 法に よっ て芯 Core(V) と轟 の間 の 関連 を記 述す るこ と に基 づい てお り 、こ れは 申請 者の 独 創性 によ る も の で あ る 。 こ れ ら の 結 果 は 結 び 目 の 理 論 に 新 し い 知 見 を 加 え 、 重 要 な 寄 与 を し て い る 。
審 査 員 一 同 は 、 申 請 者 が 博 士 （ 理 学 ） の 学 位 を 受 け る に 十 分 な 資 格 が あ る と 認 め た 。
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