日本機械学会 北陸信越支部学生会 第 44 回学生員卒業研究発表講演会講演論文集 [2015.3.6 柏崎市]
0913
三次元異材接合体の特異応力場解析における特異要素寸法の影響
Influence of singular element size in stress singular analysis for three dimensional bonded structures
○ 渡辺 裕太郎（長岡高専専攻科） 正 倉橋 貴彦（長岡技科大）
正 近藤 俊美（長岡高専） フェロー 古口 日出男（長岡技科大）
Yutaro Watanabe, Nagaoka National College of Technology Advanced Course, 888 Nishikatakai, Nagaoka, Niigata 940-8532, JAPAN
Takahiko Kurahashi, Nagaoka University of Technology, 1603-1, Kamitomioka, Nagaoka, Niigata, 940-2137, JAPAN Toshimi Kondo, Nagaoka National College of Technology, 888 Nishikatakai, Nagaoka, Niigata 940-8532, JAPAN
Hideo Koguchi, Nagaoka University of Technology, 1603-1, Kamitomioka, Nagaoka, Niigata, 940-2137, JAPAN Key Words: Akin singular element, Order of singularity, Intensity of stress singularity, FEM
1. 緒言
部材の軽量化，強度，耐熱化の向上のために，異なる材料 を接合した異材接合体が開発，研究されている．しかし，外 力(引張り，曲げ等)が作用した際に，界面端角部では材料定 数の違いにより特異応力場が発生する．特異応力場内では，
破壊，き裂が発生することがあり，特異応力場内における応 力と破壊やき裂の発生要因との関係を整理するために特異 応力場内の応力分布を明らかにすることが重要である．応力 解析の方法として，境界要素法や有限要素法が用いられるこ とがある．さらに，これらの解析方法に対し，特異要素を用 いて計算精度を向上させる方法があり，1つの例として，Akin は解析精度の向上のために特異点周りに関する特異要素[1]
を提案している．しかし，対象としているモデルは2次元で ある．
本研究では，Akinが提案した特異要素を3次元に拡張し，
計算モデルとして，軟鋼-アルミニウムの接合体および，シ リコン-レジンの接合体に対する適切な特異要素寸法を調べ る．
2. Akinの特異要素を用いた有限要素方程式の誘導 本研究では，3次元弾性体モデルを対象とする．なお，物 体力を考慮しないことにする．3次元における平衡方程式を 式(1)に示す．
,j0
σij ……(1) ここで，σijは各応力成分を示す．式(1)に対して重み付き残差 法による離散化を行い，応力-ひずみ関係式および，ひずみ- 変位関係式を代入すると式(2)に示す重み付き残差方程式が 得られる．
U
Ke
Ue d S
Ue Fet tdS te e
e
* t
*
……(2)ここで，[Ke]は剛性行列，{Ue*}は重み関数，{Ue}は変位ベク
トルを示す．さらに{Fet}は外力項である．また，重み関数は 任意であるため，式(2)は式(3)のように表すことができる．
Ke
Ued Se Fet tdSe
……(3)
式(3)を重ね合わせの原理により重ね合わせることで全要素 (対象とする計算モデル)について解くことが可能である．
全体系における有限要素方程式を計算する場合，異材接合 材の界面端近傍における応力分布を適切に得るためには，界 面端近傍においては非常に細かいメッシュが必要である．そ こで，応力の特異性を考慮した補間関数を，特異点(界面端 角部)を含む要素にのみ適用することで解析精度の向上を図 る．Akinの特異要素を用いた形状関数を式(4)に示す．
ここに，N1，N2，N3，N4は通常の四面体要素を用いた形状
関数を示す．また，体積座標ξ，η，αによりN1=1-ξ-η-α，N2=ξ，
N3=η，N4=αと書き表される．ここでλvertexは3次元における 特異点 (界面端角部)における特異性オーダを示す.
……(4)
3. 有限要素法に基づく固有値解析による特異性のオーダ 対象とするモデルは3次元であるため，Bogyの特性方程 式を用いて求めることが困難である．そのため，有限要素法 による固有値解析により特異性オーダλを求めるために，以 下に示す特性方程式が得られる[2](式(5))．
X p Y X Y I
C A B A
0
1 1
……(5)
式(5)を解くことにより特性根pが求められ，特異性オーダλ
の間にλ=1-pとなる関係があることから特異性オーダλが求
まる．また，3次元モデルにおける界面端近傍に対する応力 分布σijを式(6)に示す．
vertex
λ ij
ij K f θφr
σ ( , ) ……(6) ここにKijは半径r方向に対する特異性の強さ，f(θ，φ)は 角度依存関数，および，λvertexは特異点における特異性のオー ダを示す．また，θおよび，φは図1に示す様に特異線から界 面上の角度を表す．
Fig.1 Definition of radius r and angle θ, φ
4. 数値解析結果
4-1 計算モデルおよび解析条件 本研究では，2つの2層 弾性モデルを設定した(図2参照)．1つが軟鋼-アルミニウム の接合体(Fe-Al)，もう1つがシリコン-レジンの接合体(Si-Re) である．材料定数に関しては，Feの弾性係数および，ポアソ ン比が 216(GPa)，0.30 であり，Al は 69.09(GPa)，0.33，Si は166.0(GPa)，0.26，Reは2.74(GPa)，0.38 である．今回作 成したメッシュは7つであり，代表最小メッシュ長さΔh=(1/3・
Δx・Δy・Δz)1/3を変えたモデルである．外力として，Fe および，Si
の上面にσzz=10MPaの引張応力を与える．座標は直交座標系を
(i=2~4)
vertex vertex
λ i i i
λ
N SN N
N SN N
) 1 (
) 1 ( 1 1
1 1 1
用いて，原点は接合界面端とし，材料の右方向をx方向に，奥行
き方向をy，上方向を z 方向とした．この条件で有限要素法を用
いて異材接合材の界面端付近の応力分布を求める．
Case 1 Fe-Al model Case 2 Si-Re model Fig.2 3-D computational models
4-2 解析結果および考察 有限要素法による固有値解析に より求められた Fe-Al の場合での特異点における特異性のオー
ダλvertexは0.121と求まり，Si-Reの場合では，0.395と求まった．
図3にFe-Alの場合でのθ=90°および，φ=45°における特異点
から半径r方向の応力成分σzzの応力分布を示す．図3より，特 異点に近づくほど，Akinの特異要素により得られた応力成分 σzz
は，通常要素を用いた場合より高く得られることがわかった．
Fig.3 Distribution of σzz at line at φ =45 [deg]
in case of Fe-Al(Δh=8.04×10-3m)
また，図 4 は Fe-Al の場合における代表最小メッシュ長さ
Δh(=(1/3・Δx・Δy・Δz)1/3)を変化させた場合における特異要素
を使用しフィッティング曲線により得られた特異点におけ る特異性のオーダの値および，通常要素を使用しフィッティ ング曲線により得られた特異点における特異性のオーダの 値の変化を示している．
Fig.4 Variation of order of singularity for each minimum mesh size in case of Fe-Al
Akinの特異要素を用いた場合のほうが，通常要素を用いた場 合より有限要素法による固有値解析により求めたFe-Alの場 合の特異点における特異性のオーダ λvertexに近い値を得られ ることがわかった．しかし，Si-Reの場合，Fe-Alで使用した モデルではフィッティングが行えるほどの結果を得ること ができなかった．今回のモデルは特異点を含む要素と含まな い要素に分けた後に細かくメッシュを切った．そのため，
Si-Reの場合では，特異点を含む要素をFe-Alの場合より小
さくした後に細かくメッシュを切り，再び解析を行った．図
5にSi-Reの場合であるθ=90°および，φ=45°における特異点
から半径r方向の応力成分σzzの応力分布を示す．Si-Reの場合
もFe-Alと同様に特異点に近づくほど，Akinの特異要素により得
られた応力成分 σzzは，通常要素を用いた場合より高く得られる ことがわかった．
Fig.5 Distribution of σzz at line at φ =45 [deg]
in case of Si-Re(Δh=1.63×10-3m)
図6はSi-Reの場合における代表最小メッシュ長さΔhを変
化させた場合における特異要素を使用しフィッティング曲 線により得られた特異点における特異性のオーダの値およ び，通常要素を使用しフィッティング曲線により得られた特 異点における特異性のオーダの値の変化を示している．
Fig.6 Variation of order of singularity for each minimum mesh size in case of Si-Re
Si-Reの場合もFe-Alと同様に，Akinの特異要素を用いた場
合のほうが，通常要素を用いた場合より有限要素法による固 有値解析により求めた特異点における特異性のオーダ λvertex
に近い値を得ることがわかった．
5. 結言
本検討では，有限要素法を用いて軟鋼-アルミニウムの接 合体および，シリコン-レジンの接合体の解析をおこなった．
通常要素を用いた場合とAkinの特異要素を用い場合を比較す ると，Akin の特異要素を用いた場合の方が，特異点近づくにつ れて応力成分σzzの値が高く得られることがわかった．代表最小メ ッシュ長さΔhを変化に対する特異点における特異性のオーダの 変化の場合において，どのケースに対してもAkinの特異要素を 用いた場合の方が，通常要素を用いた場合より，有限要素法に よる固有値解析により求めた特異点における特異性のオーダに 近いことがわかった．
参考文献
[1] J.E.Akin, The generation of elements with singularities, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol.10, pp.1249-1259, (1976).
[2]S.S.Pageau and S.B.Bigger,JR, Finite element evaluation of free-edge singular stress fields in anisotropic materials,
Int. J. Numer. in Engng., Vol.38,pp.2225-2239,(1995).
