Evaluation of Interlayer Thickness on the Intensity of Singular Stress Field in 3D Three-Layered joints

(1)

接着層厚みを変えた三次元異材接合体の界面端角部における特異応力場の特性評価

Evaluation of Interlayer Thickness on the Intensity of Singular Stress Field in 3D Three-Layered joints

　

　○　齊藤　裕一　（長岡技大院）　　　　　　正　古口　日出男　（長岡技大）　　

Hideo KOGUCHI, Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomiokamachi, Nagaoka, Niigata Yuichi SAITO, Graduate School of Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomiokamachi, Nagaoka, Niigata

1

. 緒　　　　　　論

　特性の異なる材料の接合体である異材接合体は，その材料特性の違いから界面端角部付近で特異応力場が発生する．異材接合体の強度はこの特異応力場に密接に関係しており，今までにも多くの研究が行われてきた．本研究室でも三次元異材接合体の界面上の応力を求め，その評価を行なってきた．しかし，応力は必ずしも界面で大きくなるとは限らず，接合端部近傍の材料内部の応力の最大値は必ずしも界面上には無いことが分かってきた．

　本研究では三次元異材接合体における応力を境界要素法により求め，特異応力の特性を明らかにし，異材接合体の特異応力場の評価を行う．

2.

三次元異材接合体における解析

　特異応力場の特異性のオーダ

λ

は次式の有限要素法による固有値解析により求められる．ここで固有値

p

は特異性のオーダ

λ

と

λ =1-p

の関係がある．この固有値

p

は次式の固有方程式を解くことで求めることができる．

( [ ] [ ] [ ]){ } p

²

A + p B + C u = 0 ··· (1)

　三次元異材接合体内における任意の点の変位は，次の境界積分方程式で求めることができる．

u p

i

( ) = ∫∫

S

U p Q t Q T p Q u Q ds Q

ij

( , ) ( )

j

−

ij

( , ) ( ) ( )

j

^··· ⁽²⁾

Key words : Three-Dimensional joints, Interface strength, Stress singularity

Fig.1 Model for analysis

ここで，

p

は内点，

Q

は境界上の点，

U

ijは

_T

_ijは変位および作用力の基本解である．

　本研究では，基本解に

Rongved

の二相体の解を使用し領域解法を用いて三層体の解析を行なう．

3.

三次元異材接合体の特異応力場解析

3.1

解析モデル及び解析条件本研究の解析モデルを図

1

に示す．モデルは三層体で材料は上からシリコン

(Si)

, 封止樹脂

(Resin)

, 基板

(FR4.5)

である．用いた物性値を表

1

に示す．大きさは

_Si

,

_FR4.5

共に

20mm×20mm×10mm

，

_Resin

は

20mm×20mm× t

である．

ここで，

t

は厚みで

0.002mm

〜

100mm

の間で

14

段階に変えた．上面に

1 MPa

の引張応力を与え , 形状の対称性を考慮して全体の 4 分の

1

を解析対象とした．

3.2

解析結果及び考察特異応力場の応力分布は前述した境界積分方程式を用いて求めた．結果は界面端角部を原点とする球座標系を用いて示す．各層厚みにおける

q

方向の応力分布で，応力が最大となる

q

を

q

maxとする．

q

maxを横軸

f

に対してプロットしたものを図

₂

に示す．

図

₂

から，特異応力線付近と

f

=

45deg

付近で

q

maxが界

面

q =90deg

に近いことがわかる．

　特異応力線からの距離

f

に対して，各層厚みに対する

q

max，

_r

=0.001

_mm

における垂直応力

s

qqを図

₃ (a)

,

(b)

に示す . 図

3(a)

が

Si-Re

界面，

(b)

が

Re-FR4.5

界面に対する結果である．これより応力は応力特異線に近づくにともない大きくなることがわかる．これは

(a)

,

(b)

共に言えることである．また，

Re

層が厚くなるにともない応力値が大きくなっていることもわかる．これらのことは既に求まっている界面上の応力⁽²⁾と同様である．また図

4(a)

,

(b)

に界面上の応力との比較を示す．これより応力分布の傾向は同じであるが，特異応力線付近では

q

max上の応力分布の方が界面上の応力よりも大きいことがわかる．このことから

q

max上の応力の方がより特異応力場の特性が強く出ているといえる．

　ここで，

q

max上の応力を次の式で表すことにする . 　　

σ

_θθ^θ ^λ

φ

^λ

φ

λ

max

= sin

⁻

sin

⁻

(tan + )

−

L

_ΘΘ ^line ^line ²

Θ 1

²^l^iine

2 2

2

0 5 2 2

× +

+

(sin cos . sin sin sin cos si

θ θ φ

θ

Θ Θ

nn sin

²

φ

²

Θ )

　　　　　　　···

(3)

20mm Fixed z direction

20mm

10mm

t

Fixed y directio n Fixed x directio n

x y

z Si

Re FR4.5

1MPa

10mm

　 A mismatch of different material properties in joints may cause stress singularities at the edge of the interface, which lead to the failure of the bonding part in structures. Therefore, it is important for the bonding strength of the joints to estimate three-dimensional stress sigularity at the vertex. In the present study, a boundary element method is used for evaluating the intensity of stress singularity. A model for analysis is three-layered joints consisting of Si, resin and FR-4.5. The singular stress field at the vertex under an external load is investigated.

－613－

1602

〔No.10-2〕日本機械学会第23回計算力学講演会CD-ROM論文集〔2010-9.23〜25・北見市〕

(2)

(a) Si-Re interface θ

_max

= Tan

⁻¹

(tan sin ) Θ φ

⁻¹

··· (4)

　式中の

Q

は，特異応力線上にとった円柱座標系の界面からの角度座標である．図

2(a)

,

(b)

に示す応力

s

qqの分布を式

(3),(4)

を用いて近似し最小二乗法で

L

QQ を求める．

q

は

q

maxの値を用いる . 特異性オーダ

λ

は

Si-Re

界面側で

0.318

,

Re-FR4.5

側で

0.176

とした．ここで求めた

L

QQを層厚み

t

に対してプロットしたものを図

5

に示す．

L

QQは両界面共に各層厚みに対して一定値を示している．また両界面の値もほぼ同じである．界面上の特異応力場の強さも同様であることがわかっている．

4. 結　　言

三次元異材接合体に対して固有値解析および境界要素法を用いて応力解析を行い，特異応力場の評価を行った．

q

max上の応力分布を式で表すことができた．そしてその式を用いて特異応力場の強さを数値的に求め，特性を把握できた．

文　　　　献

[1] H.Koguchi,"Stress singularity analysis in three- dimensional bonded strures", Int. J. Solids Struc. Vol.

34, 1997, pp.461-480.

[2]

中島正人，古口日出男，三次元異材接合体の界面端角部における特異応力場の評価，計算力学講演会論文集 ,

2009

,

pp.446-447.

Fig.3 Distributions of stress s

qq

for q

max

against f on each interface

Fig.4 Distributions of stress s

qq

for q

max

and q =45deg against f on each interface

Fig.5 Intensity of stress singularities L

QQ

against thickness of interlayer t on each interface

120 100 80 60 40 20

MPa

80 60 40 20

Angle , deg Si-Re (stress ) r=0.001 mm

=_maxagainst Resin thickness t, mm

0.002 0.004 0.01 0.025 0.1 0.2 0.4 1 2 4 10 20 40 100

16 14 12 10 8 6 4 2

MPa

80 60 40 20

Angle , deg Re-FR4.5 (stress ) r=0.001 mm

=_maxagainst Resin thickness t, mm

0.002 0.004 0.01 0.025 0.1 0.2 0.4 1 2 4 10 20 40 100

16 14 12 10 8 6 4 2

MPa

80 60 40 20

Angle , deg Re-FR4.5 (stress ) r=0.001 mm Resin thickness t, mm

=_maxagainst =45 deg 0.002 0.002 0.01 0.01 0.1 0.1 0.4 0.4 1 1 10 10

1.12 1.11 1.10 1.09 1.08 1.07 1.06 Intensity of stress singularity L1

0.01 0.1 1 10 100

Resin thickness t, mm L (_max)

Si-Re Re-FR4.5 100

90

80

70

max, deg

80 60 40 20

Angle deg

max against Si-Re interface Re-FR4.5 interface

Fig.2 Distributions of q

max

against f on each interface

120 100 80 60 40 20

MPa

80 60 40 20

Angle , deg Si-Re (stress ) r=0.001 mm Resin thickness t, mm

=_maxagainst =45 deg 0.002 0.002 0.01 0.01 0.1 0.1 0.4 0.4 1 1 10 10

Evaluation of Interlayer Thickness on the Intensity of Singular Stress Field in 3D Three-Layered joints

接着層厚みを変えた三次元異材接合体の界面端角部における特異応力場の特性評価