三次元異材接合体の界面角部における特異応力場の特性 ( 接着層厚みの影響 )
○ 齊藤 裕一 （長岡技大院） 正 古口 日出男 （長岡技大）
Hideo KOGUCHI, Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomiokamachi, Nagaoka, Niigata Yuichi SAITO, Graduate School of Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomiokamachi, Nagaoka, Niigata
1. 緒 論
特性の異なる材料を接合して製作された接合体は，そ の材料特性の違いから界面端角部付近に特異応力場が発 生する．異材接合体の強度はこの特異応力場に密接に関 係しており，今までにも多くの研究が行われてきた．著 者らも三次元異材接合体の界面上の応力を求め，その評 価を行なってきた．その結果，接合端部近傍の材料内部 の応力の最大値は必ずしも界面上には無いことが分かっ てきた．本研究では三次元異材接合体における応力を境 界要素法により求め，特異応力の特性を明らかにし，異 材接合体の特異応力場の評価を行う．
2.三次元異材接合体における解析
特 異 応 力 場 の 特 異 性 の オ ー ダλ は 次 式 の 有 限 要 素 法 による固有値解析により求められる．ここで固有値pは 特異性のオーダλ とλ=1-pの関係がある．この固有値p は次式の固有方程式を解くことで求めることができる．
( [ ]p2 A +p[ ] [ ]){ }B + C u =0 ···(1) 三次元異材接合体内における任意の点の変位は，次の 境界積分方程式で求めることができる．
u pi U p Q t Qij j T p Q u Q ds Qij j
( )=
∫∫
S ( , ) ( )− ( , ) ( ) ( ) ···(2) こ こ で，pは 内 点，Qは 境 界 上 の 点，UijはTijは 変 位 おKey words : Three-Dimensional joints, Interface strength, Stress singularity
Fig.1 Model for analysis
よび作用力の基本解である．内点の応力は，内点のひず みを次式で求め，フックの法則に代入して求める．
ui j,( )p = Uik j,( , ) ( )p Q t Qj −Tik j,( , ) ( )p Q u Qk dds Q
S ( )
∫
··(3)ここで，Uij,kとTij,kは着力点pにおける変位と表面力 の基本解の微分である．本研究では，基本解にRongved の 二 相 体 の 解 を 使 用 し 領 域 解 法 を 用 い て 三 層 体 の 解 析 を行なう．
3.三次元異材接合体の特異応力場解析
3.1 解 析 モ デ ル 及 び 解 析 条 件 本 研 究 の 解 析 モ デ ル を 図1に 示 す． モ デ ル は 三 層 体 で 材 料 は 上 か ら シ リ コ ン(Si), 封 止 樹 脂 (Resin), 基 板(FR4.5)で あ る． 用 い た 物 性 値 を 表 1 に 示 す． 大 き さ はSi,FR4.5共 に 20mm×20mm×10mm，Resin は20mm×20mm×t で あ る．
ここで，tは厚みで0.002mm〜100mmの間で 14 段階に
変えた．上面に1MPaの引張応力を与え , 形状の対称性 を考慮して全体の４分の１を解析対象とした．解析には 各界面端を原点とする球座標系を用いている．
3.2解析結果及び考察 特異応力場の応力分布は前述 した境界積分方程式を用いて求めた．各層厚みにおける q 方向の応力分布で，応力が最大となるq をqmaxとする．
各 層 厚 み に 対 す るq=qmax，f=45degに お け る 垂 直 応 力 sqqを， 特 異 点 か ら の 距 離rを 横 軸 に し て プ ロ ッ ト し た ものを図2(a),(b)に示す．図2(a)がSi-Re界面側，(b)が
Re-FR4.5界面側である．なお，図2(a),(b)は両対数プロッ
トである．この図で応力は界面角部に近づくに伴い直線 的に大きくなっている．このことは図2(a),(b)に対して 共に言えることである．また，層厚みtが大きくなるに 伴い，応力の値が大きくなっていることもわかる．これ ら の 事 は 既 に 報 告 し た よ う に 界 面 上 の 応 力(3)と 同 じ で ある．また，角度fに対して各層厚みにおけるqmaxをとっ た も の を， そ れ ぞ れ の 材 料 界 面 毎 に 図3(a),(b)に 示 す．
図3から，特異応力線付近とf=45deg付近でqmaxが界面
q=90degに近いことがわかる．ここで示されているqmax
におけるr方向の応力分布を求め，それを評価すること
20mm Fixed z direction
20mm
10mm
t
Fixed y direction Fixed x direction
x y
z Si
Re FR4.5
1MPa
10mm
10mm
A mismatch of different material properties in joints may cause stress singularities at the edge of the interface, which lead to the failure of the bonding part in structures.
Therefore, it is important for the bonding strength of the joints to estimate three-dimensional stress sigularity at the vertex.In the present study, a boundary element method is used for evaluating the intensity of stress singularity. A model for analysis is three-layered joints consisting of Si, resin and FR-4.5. The singular stress field at the vertex under an external load is investigated.
Material Silicon Resin FR-4.5
Young's modulus, GPa 166 2.74 15.34
Poisson's ratio 0.26 0.38 0.15
Table 1 Material properties
Fig.2 (a) Distributions of stress sqq for qmax against r on Si-Re of interface
で 異 材 接 合 体 の 界 面 端 部 の 強 度 評 価 が 行 え る も の と 考 える．
三 次 元 異 材 接 合 体 の 特 異 応 力 場 は 特 異 点 か ら の 距 離 をrとして次式で表すことができる．
σij( , , )rθ φ =K1ij( , )θ φ r−λvertex+K2ij( , )θ φ ···(4) ここで，Kijはr方向の特異性の強さ，λvertexは界面端角 部 の 特 異 性 の オ ー ダ ー を 表 し て い る． 境 界 要 素 法 に よ り 得 ら れ たq=qmaxに お け るr方 向 の 応 力 分 布 を， こ の 式を用いて最小二乗法で近似した．
既 報 で 述 べ た 界 面 上 の 特 異 応 力 場 の 強 さK1qqと 区 別 するため，ここで得られる特異応力場の強さをK1qq
maxと 呼 ぶ こ と に す る． 層 厚 みtに 対 す るK1qq
maxと 界 面 上 の 特 異 応 力 場 の 強 さK1qqの 関 係 を 図 4 に 示 す． こ れ か ら 層 厚 みtが 大 き く な る に 伴 い 応 力 場 の 強 さ も 大 き く な り，
層 厚 み が モ デ ル の 横 幅 以 上 に な る と 一 定 値 を 示 す よ う に な る こ と が わ か る． こ の 傾 向 は 界 面 上 の 応 力 の 強 さ K1qqと同様である．
4. 結 言
三次元異材接合体に対して固有値解析および境界要素 法 を 用 い て 応 力 解 析 を 行 い， 特 異 応 力 場 の 強 さ を 求 め た．応力sqqは界面端角部に向かって大きくなる．また，
応力sqqのq 方向の分布から界面付近の応力の特性がわ か り， 特 異 応 力 場 の 強 さ を そ の 特 性 を 踏 ま え て 評 価 す ることができた．
文 献
[ 1 ] H . K o g u c h i , " S t r e s s s i n g u l a r i t y a n a l y s i s i n t h r e e - dimensional bonded strures", Int. J. Solids Struc. Vol. 34, 1997, pp.461-480.
[2] H.Koguchi, T. Muramoto,The order of stress singularity near the vertex in three-dimensional joints,Int. J. Solid Structures Vol.37,2000,pp.4734-4762
[3] H.Koguchi, M.Nakajima, Evaluation of the singular s tres s fied at the vertex in three-dimentional th ree- layered bonded joints 機論 , 09-21, A(2009), pp.446-447
Fig.2 (b) Distributions of stress sqq for qmax
against r on Re-FR-4.5 of interface
Fig.3 (a) Distributions of qmax against f on Si-Re of interface
Fig.3 (b) Distributions of qmax against f on Re-FR-4.5 of interface
Fig.4 Intensity of stress singularities K1maxqq against thickness of interlayert on each interface
82 80 78 76 74 72 70 68
max, deg
80 60 40 20
Angle deg
Si-Re (max) vs Resin thickness t, mm
0.002 0.004 0.01 0.025 0.1 0.2 0.4 1 2 4 10 20 40 100
108 106 104 102 100 98
max, deg
80 60 40 20
Angle deg
Re-FR4.5 (max) vs Resin thickness t, mm
0.002 0.004 0.01 0.025 0.1 0.2 0.4 1 2 4 10 20 40 100
2 3 4 5 6 7 8
19
Intensity of stress singularity K1 , MPa mmλvertex
0.01 0.1 1 10 100
Resin thickness t, mm K1 ( =max)
Si-Re Re-FR4.5 K1 ( =90 deg)
Si-Re Re-FR4.5 1
2 3 4 5 6
10
2 3 4 5 6
Stress, MPa
10-4 10-3 10-2 10-1 100
Distance from origin r, mm
Si-Re (stress )
=45 deg Resin thickness t, mm
0.002 0.004 0.01 0.025 0.1 0.2 0.4 1 2 4 10 20 40 100
1
2 3 4 5 6
10
2 3 4 5 6
Stress, MPa
10-4 10-3 10-2 10-1 100
Distance from origin r, mm
Re-FR4.5 (stress )
=45 deg Resin thickness t, mm
0.002 0.004 0.01 0.025 0.1 0.2 0.4 1 2 4 10 20 40 100
