日本機械学会［No.157-1］北陸信越支部 第52期総会・講演会 講演論文集 [2015.3.7新潟県柏崎市]
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随伴変数法による移動物体を考慮した逆解析に関する研究 (仮想領域法を用いた有限要素法の適用）
Study on inverse analysis considering moving body based on adjoint equation method (Application of finite element method using fictitious domain method)
正 倉橋 貴彦（長岡技科大）
Takahiko Kurahashi, Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata Key Words: Inverse analysis, Moving body, Adjoint equation method, Finite element method, Fictitious domain method
1. はじめに
計測値を用いて数値シミュレーションにおける初期条件 や境界条件，物性パラメータ，物体形状等を決定する研究 は幅広く行われている(1)．これらは，一般に随伴変数法に より定式化され，各問題において未知となるパラメータを 更新しながら解析が行われる．従来の研究では，物体は移 動せずに検討が行われているものがほとんどである．しか し，例えばトンネル内において自動車が走行する中，トン ネル内において流速の計測し，トンネル入口における流入 流速を推定する場合，移動する自動車を考慮した上で，流 入流速の計算をする必要がある． このような解析を行うた めに本研究では，仮想領域法(2)-(4)を導入する．仮想領域法 は物体領域のメッシュを背景のメッシュの中を移動させ解 析を行う手法であり，物体領域の物理量を背景領域に反映 させることで，背景領域における物理量（流速、圧力、温 度等）の分布を得ることができる(図 1)．この手法を従来 の随伴変数法による未知パラメータを決定する解析（逆解 析）に適用し検討を行う．
本研究では，移動物体を考慮した逆解析の基礎的検討と し，移動物体を考慮した温度場において，解析対象領域内 における温度履歴から，境界温度の経時変化を予測する解 析を行う．逆解析の定式化は随伴変数法により行い，熱伝 導方程式および随伴方程式に対する解析手法としては，仮 想領域法を用いた有限要素法を適用する．
Fig.1 Example of finite element mesh in fictitious domain method
2. 仮想領域法における有限要素解析
仮想領域法では，物体領域ωにおける物理量を支配方程 式に対する制約条件として考慮することで，背景領域Ωに 物体領域ωの物理量を反映させ支配方程式を解くことがで きる．本研究では，支配方程式として式(1) （総和規約表 示）に示す二次元の熱伝導方程式を用いる．
(1)
ここに，φ は温度，κ は熱拡散率，ドットは時間微分，カ ンマは空間微分，t0は解析初期の時刻，tfは解析の終端時刻 を示す．図 2 に示す領域および境界に対して式(2)のように 初期条件・境界条件を定義する．
(2)
式(1)に対して重み付き残差法を適用し，ラグランジュの未 定乗数法を適用することにより，式(2)の第 4 式を制約条件 とした式(1)に対する有限要素方程式を誘導することがで きる．
Fig.2 Definition of computational domain and boundaries
3. 随伴変数法に基づく定式化
本研究では，目的点における温度を目標温度とする様な ディレクレ境界Γdの温度を求めることを目的とする．随伴 変数法における定式化を行うため，式(3)に示す評価関数を 定義する．
(3)
ここにφTargetは目標温度を示す．また[Q]は対角行列であ
り，目的点において1，目的点以外では0を入力する．式
(3)に対して，式(2)の第 4式を考慮した式(1)に対する有限
要素方程式を式(3)に対する制約条件とし，随伴変数を導入 することで得られるラグランジュ関数の停留条件から，デ
ィレクレ境界Γdの温度を評価関数の収束計算（反復計算）
求める．
4. 数値解析例
解析例として，図3に示す計算モデルに対して検討を行 う．物体領域ωをy(t)=0.3×sin(2πt/T) (T=0.4) により移動 し，また境界Γdにおいてφ(t)=sin(2πt/T)+1.0 (T=0.4)を与 え，観測点において得られた温度履歴を観測温度とする。
逆解析におけるΓdの初期入力値としてφ=0.5 （一定）と 設定し、境界Γdにおける温度を求める．
d
No.2 (0.25,0.25) No.1 (0.25,0.25)
No.3 (0.25,0.25) No.4 (0.25,0.25)
Target points :
1.0m
1.0m
Radius：r=0.12m
Fig.3 Computational model
解析結果を図4～7に示す．図4は評価関数の収束履歴を 示す．本検討では，評価関数の前後の反復回数における値 の差の絶対値が10-6より小さくなった場合を計算の終了と した．評価関数収束時における境界Γdにおける温度履歴を 図 5 に 示 す ． 点 線 は 正 解 と し て 設 定 し て い る φ(t)=sin(2πt/T)+1.0 (T=0.4)であり，十字点は評価関数の収 束時における境界Γdにおける温度履歴を示す．一部に差は 見受けれるが正解として設定した温度履歴の傾向は捉える ことができている．また図6，図 7に評価関数収束時にお ける目的点No.1における温度履歴，T=0.1sec.における温 度分布を示す．図 6 において×印は観測温度，十字点は，
評価関数収束時における計算値を示す．結果よりおおむね 一致していることを確認できる．また，図7より，物体移 動も考慮して，適切に温度場が得られていることも確認で きる．
Fig.4 Variation of performance function
Fig.5 Time history of temperature on Γd at final iteration
Fig.6 Time history of temperature at target point No.1 and final iteration
Fig.7 Temperature distribution at T=0.1sec. and final iteration
5. おわりに
本研究では，随伴変数法に基づく移動物体を考慮した逆 解析を行った．数値解析法としては仮想領域法を用いた有 限要素法を適用し，良好な結果を得ることができた．
参考文献
(1)T.Kurahashi and M.Kawahara, Int. J. Numeri.Meth.
Eng.,73 (2008), 982-1009.
(2)R.Glowinski et. al., Int. J. Multiphase Flow，25 (1999), 755-794.
(3)倉橋他，長岡高専紀要，50 (2014), 55-63.
(4)倉橋他，長岡高専紀要，50 (2014), 65-74.
