日本機械学会［No.0137-1］北陸信越支部 第50期総会・講演会 講演論文集 [2013.3.9 福井市]
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Stroh 形式による圧電-等方性接合体の基本解の導出
Derivation of fundamental solution for piezo-isotropic joints using Stroh's formalism
○ 湯川 恵太（長岡技科大院） 正 佐々木 徹（長岡技科大） 正 古口 日出男（長岡技科大）
Yukawa Keita, Graduate School of Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata Sasaki Toru, Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata
Koguchi Hideo, Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata Key Words: Elasticity, Piezo-Isotropy, Interface, Bimaterials, Stroh’s Formalism
1. 緒言
圧電材料はセンサー，アクチュエータ，トランデューサ として超音波顕微鏡，プローブ顕微鏡，微細加工機などに 使われている．この圧電材料を用いる接合対象は金属や接 着剤であるため，材料定数のミスマッチが起き，その異材 接合界面端においては応力の特異場が生じそこからの破壊 が実用上問題となる．しかしこのような異材接合体を使用 する場合でも材料の組み合わせや形状などにより，この特 異性を緩和，あるいは消失することができ，このことによ る強度の向上も期待できる．したがってこの条件を明らか にすることが圧電材料を用いるにあたって非常に重要であ る．
異材接合界面端に生じる応力特異場の傾向を解析し，特 異性の小さくなるような材料の組み合わせや形状を調べる 必要がある．そのため，本研究ではインテリジェント材料 の信頼性評価解析行うため，Stroh 形式を用いた圧電材料 と等方性弾性材料の接合体の基本解の導出を行う．これま での研究で，異方性圧電-等方性接合体の基本解の導出が行 われている．これをもとに，本研究では，Stroh 形式によ る横等方性圧電-等方性接合体の基本解の導出を行う．
2. Stroh形式による圧電弾性体の基礎式
圧電材料の構成方程式は次式のように書くことが出来る．
(1)
ここで，σは応力，Dは電気変位，εはひずみ，Cは弾性定 数テンソル，eは圧電定数，Eは電場，κは誘電率である．
(2)
また，電場 は電気ポテンシャル から
と求められる．さらにひずみを変位
で表し，式(1)に代入すると式(3)が得られる．
(3)
ここで，各添字は1から3をとる．また，添字の”,”は微 分を表している．次に， 平面に関する２次元フーリ エ変換の定義式を示す．
(4) 式(3)を２次元フーリエ変換すると次式が得られる．
(5)
こ こ で ， ， と お く ． な お である．ηは正の変数である．式(5)は に関す る２階常微分関数であり，その一般解は次式で与えられる．
(6)
式(6)を式(5)に代入し，整理するとpとaに関する次式を得 る．
(7)
ここで,
，
,
，
， ，
， ， ， とすると次式となる．
(8)
また，式(7)からpを求め．aを決定するが，この時pを 式(7)の固有値，aを固有ベクトルと呼ぶ．固有値pは固有 ベクトルの係数行列の行列式の値を0とすることで求めら れる．ここで，変位ベクトルに電気ポテンシャルを加えた ベクトルを拡張変位ベクトルとして， を 考える．
拡張作用ベクトル を とすると，
(9)
である．式(9)を２次元フーリエ変換すると次式が得られる．
(10)
式(10)は次のように書くことができる．
(11)
ここで， である．変位およ び作用力ベクトルの一般解は，式(5)と式(9)に固有値 と固 有ベクトル をそれぞれ代入して得られた４ つの解を足し合わせることによって得られる． で 変位，応力が 0 になるような場合には に対する解 を用いて，次式の式が得られる．
(12)
こ こ で ，A お よ び B は 固 有 ベ ク ト ル か ら な る 行 列 で , ，q:未知ベクト ルである．また，
(13) である．なお， に対する解は に対する解を 用いる．
Fig.1 Piezo-Isotropic two-phase material
3. 横等方圧電-等方性接合体の三次元グリーン関数 横等方性圧電体のQ，R，Tは次のようになっている．
(14)
ここで または または であ る．これらの行列から式(8)の行列方程式を導出することが できる．この式の係数行列の行列式を 0 とする固有値pに ついて解くと， と他6つの解が得られ る．これらの解は，すべて複素数である．ここで，
である根を とし，共役複素根を とす る．ここでは とする．これらの固有 値に対する固有ベクトルaを求めると以下のようになる．
(15) ここで，
(16)
である．
また，bベクトルは
(17) から求められる．これらの計算によりAおよびB行列が決 定される．また，共役複素根 により および が決まる．
また，等方性体に対する行列AおよびBは次のようにな る．
(18)
(19)
(20)
(21)
こ こ で ν は ポ ア ソ ン 比 ， μ は 横 弾 性 係 数 ， である．
図１のように材料１中の点Pに拡散集中力（集中力およ び集中電荷） が作用している場合を考え る．式(12)の２次元フーリエ変換された および を用いる 事でグリーン関数を求める事ができる．
このグリーン関数に各行列A，B， ， を適用する事により 横等方圧電-等方性接合体の基本解を閉形で求める事がで きる．また未知ベクトルqは界面における変位と応力，導 体あるいは誘電体の境界条件，拡張集中力の作用点におけ る平衡状態を用いる事で決定する事ができる．
グリーン関数の導出および計算結果の詳細は本講演にて 述べる．
4. 結言
本研究では，Stroh形式を用いて横等方性圧電-等方性接 合体の基本解の導出を行った．
参考文献
(1) 古口，“Stroh形式を用いた異方性-等方性弾性体のグリ ーン関数”，Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers, Series A, Vol.77, No.782, (2011), pp.1770-1785 (2) Ting T. C. T., Anisotropic Elasticity: Theory and Applications, Oxford University Press, (1996)
