Three-dimensional Boundary Element Method

日本機械学会［No.137-1］北陸信越支部 第50期総会・講演会 講演論文集 [2013.3.9福井市]

1116

三次元境界要素法を用いた異方性-異方性二相体の応力解析 Stress Analysis for Anisotropic-Anisotropic Materials using

Three-dimensional Boundary Element Method

○学 板倉 司（長岡技大院） 正 古口 日出男（長岡技大）

Tsukasa ITAKURA, Graduate School of Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata Hideo KOGUCHI, Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata

Key Words: Stress Analysis, Stroh Formalism, Boundary Element Method, Stress Singularity

1. 緒言

電子デバイスには小型化のため CSP(Chip Size Package) がよく用いられる．CSPは半導体を封止樹脂によって接合 したものであるが，このような接合体に外力が加わると，

接合界面端部は，弾性論的には応力が無限大に発散する特 異応力場となる．これによる接合界面の剥離がCSPの破壊 原因の一つと考えられているが，特異場では応力が発散す るため応力値のみでの単純な強度評価ができない．

これまでの研究⁽¹⁾では，特異点からの距離 r での応力σij

が近似的にσij=Kijr^-λに載ることを利用して，特異場の強さ Kijと特異性オーダλによって，界面の強度が評価されてい る．これらは等方性接合体を対象としたものであるが，実 際の電子デバイス内には多くの単結晶が使われており，多 く用いられているシリコン等は異方性を有している．本研

究では，Stroh形式による異方性-異方性二相体のグリーン

関数を三次元境界要素法の基本解として導入し応力解析を 行うことで，より現実の電子デバイスに近いモデルにおい て，特異応力場と特異場の強さの関係を明らかにする．

2. 三次元異材接合体における応力解析

2・1 Stroh形式を用いた異方性-異方性二相体の基本解 異方性-異方性二相体におけるStroh形式を用いたグリー ン関数は，既に古口⁽²⁾によって導かれている．

物体力がない場合の三次元弾性体において，変位ベクト ルをuj (j=x,y,z)，作用力ベクトルをtj =(σxz, σyz, σzz)，その他 の応力成分をsj =(σxx, σxy, σyy)とする．これらをx,y平面に ついて二次元フーリエ変換した!_!，!_!，!_!は次式となる．

(1) (2) s(!! ₁,!₂,z)= !i!C e^!ip*!z q (3)

Fig.1 Anisotropic-Isotropic two-phase material

ここで，η1=ρn1,η2=ρn2とおいた．なお，(n1,n2)=(cosθ,sinθ) であり，ρは正の変数である．またA，BおよびCは弾性 定数などによって決まる行列で，特にAはStroh固有ベク トルajからなる行列である．pはStroh固有値，qは未定係 数ベクトルである．

図1に示すようなを異方性−異方性二相体において，点P に集中荷重f=(f1,f2,f3)が作用する場合を考える．このときの 変位と作用力の材料界面における境界条件は，次式のよう に表せる．

(z=0) (4) (z=0) (5) (6) (7) ここで括弧付の上添字は対応する領域の材料を示している．

式(1)~(3)を用いて二相体におけるグリーン関数を表し，境

界条件式(4)~(7)によって未定係数ベクトルを求める．さら

に，これらの式をフーリエ逆変換することで変位と応力の グリーン関数が得られる．

図2(a)にz0=-0.5,0.5mmにx方向の単位集中荷重が作用し

た場合，(b)に z0=-0.5,0.5mmに z 方向の単位集中荷重が作

用した場合の x=y=0.1mmにおける変位uijを示す．ここで 変位の添字はi方向の単位集中荷重に対する j方向の変位 を表している．いずれの成分も材料界面で連続な分布とな っている．また，図3(a)(b)に，z0=-0.5,0.5mmにx方向とz 方向の単位集中荷重が作用した場合の x=y=0.1mm におけ る応力σijkを示す．変位と同様に応力の添字は，i方向の単 位集中荷重に対するjk面の応力を表す．これもまた，界面 で連続な分布になっていることが確認できる．

材料定数については，材料 1 は Ni(1,1,1 面)の弾性定数 {C11, C12, C13, C15, C33, C44, C66}={325.70, 129.03, 103.17, 36.58, 351.57, 72.47, 98.33}[GPa]，材料2にはAl(1,1,1面)の 弾性定数{C11, C12, C13, C15, C33, C44, C66}={111.92, 58.69, 56.96, 2.44, 113.64, 24.89, 26.62}[GPa]を用いた．

2・2 三次元境界要素法⁽³⁾

一般に応力解析には有限要素法を用いることが多い．し かし，特異応力場など応力値の変化が顕著になる箇所では より微小な要素を用いる必要があり，物体内部まで要素分 割する必要がある有限要素法では，総要素数が膨大となる．

そこで本研究では，境界のみの要素分割で解析が可能で，

基本解によって物体内部における応力をより高精度に求め ることができる境界要素法を用いる．

三 次 元 弾 性 体 内 に お け る 任 意 の 点 の 変 位 は ， 次 の

Somiglianaの境界積分方程式で求めることができる．

(8) ここで，pは領域の内点，Qは境界上のソース点，t_iとu_i

u_i(p)= "#U_ij(p,Q)t_j(Q)!T_ij(p,Q)u_j(Q)$%ds(Q)

&

u(!! ₁,!₂,z)=A e^!ip*!z q

!t(!1,!2,z)= !i!B e^!ip*!z q

! u⁽¹⁾=u!⁽²⁾

!t⁽¹⁾=!t⁽²⁾

! u⁽¹⁾

z=z₀⁺=u!⁽¹⁾

z=z₀^!

t!⁽¹⁾_z=z

0+!!t⁽¹⁾_z=z

0!= !f

(a) Displacement uxj for concentration force in the x-direction

(a) Stress σxjz for concentration force in the x-direction

は作用力ベクトルと変位ベクトル，Uijは変位の基本解，Tij

と作用力ベクトルの基本解でσijknkにより与えられる．また nkは単位法線ベクトルである．内点の応力は，内点のひず みを次式で求め，Hooke則に代入することにより求める．

(9) ここで，Uij,kおよび Tij,kは着力点における変位および表面 力の基本解の微分であるが，本研究では基本解を解析的に 微分して用いている．

3. 解析モデル

前述の異方性-異方性二相体の基本解を三次元境界要素 法解析プログラムに組込み，図4に示すような，同寸法の 異方性体と異方性体の直方体が接合されたモデルに対して，

応力解析を行った．解析モデル下面をz方向に変位拘束し，

異方性体側の上面にσ0=1 MPaの荷重を付加した．また，解 析には対称性を考慮し4分の1モデルを用いている．要素 分割は四辺形二次要素を用いており，界面角部に向かって 詳細要素としている．しかしながら，本解析で用いる前述 の基本解は複雑な数値積分を含んでおり，解析に膨大な時 間を消費する．そこで，特異応力場における応力を観察で き，なおかつ解析にあまり時間を要さない要素分割として，

最小要素寸法は約0.1mmとしており，総要素数は34，総 節点数は104となっている．

解析結果については，本講演において述べるものとする．

(b) Displacement uzj for concentration force in the z-direction

(b) Stress σzjz for concentration force in the z-direction

Fig.4 Analysis model for Anisotropic-Isotropic material

4. 結言

本研究では，三次元境界要素法に Stroh 形式による異方 性-異方性二相体の基本解を導入し，異材接合体の応力解析 を行った．また，等方性二相体と異方性-異方性二相体の特 異応力場における応力を比較した．

参考文献(例)

(1)古口，藤石，小林，矢田，機論(A編)，59-567 (1993), 2702.

(2)古口，機論(Ａ編), 77(782), 1770

(3)結城良治,木須博行共著,境界要素法による弾性解析,1987, 培風館,pp.219-249.

u_i,k(p)= "#U_ij,k(p,Q)t_j(Q)!T_ij,k(p,Q)u_j(Q)$%ds(Q)

&

Fig.2 Fundamental displacement uij for anisotropic-isotropic two-phase material

Fig.3 Fundamental stress σijz for anisotropic-isotropic two-phase material

Ni

Al σ0=1 MPa

1 mm1 mm

1 mm 1 mm

x

y z 20x10^-12

16 12 8 4 0 Fundamental displacement

u

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Distance from interface z , mm

z0 = 0.5mm uxx uxy uxz z0 = –0.5mm uxx uxy uxz

12x10^-12 10 8 6 4 2 0 -2 Fundamental displacement

u

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Distance from interface z , mm

z0 = 0.5mm uzx uzy uzz z0 = –0.5mm uzx uzy uzz

-2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0

Fundamental stress xjz

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Distance from interface z , mm

z⁰ = 0.5mm xxz

xyz

xzz

z⁰ = –0.5mm xxz

xyz

xzz

-3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0

Fundamental stress zjz

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Distance from interface z , mm

z⁰ = 0.5mm zxz

zyz

zzz

z0 = –0.5mm zxz

zyz

zzz