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(1)

日本機械学会［No.147-1］北陸信越支部第51期総会・講演会講演論文集 [2014.3.8富山県射水市]

814

波形状の面と球状圧子による接触解析 -波の高さ・幅と接触半径の関係-

Contact analysis for spherical indenter and wavy surface -Relationship between contact radius and wave height and length-

○正林高雄（長岡技科大）正古口日出男（長岡技科大）

Takao Hayashi, Graduate school of Nagaoka University of Technology, 1603-1, Kamitomioka, Nagaoka, Niigata Hideo Koguchi, Nagaoka University of Technology, 1603-1, Kamitomioka, Nagaoka, Niigata

Key Words: contact analysis, wavy surface, spherical indenter.

1. 緒言

表面に粗さを有する面に対する接触・凝着解析は，実用上の面から重要でありこれまでに多くの研究者により研究が行われきた．近年ではナノスケールのパターンやカーボンナノチューブなどのナノワイヤーが製造されるようになり，様々な表面形状に対する特性の調査も重要である．

Guduru⁽¹⁾は軸対称の波形状を有する面に球状圧子が接触

する軸対象モデルの解析解を導いた．Guduruは接触面の全領域で二面が接触する仮定の下で解を導いたが，波の形状や材料の高さにより，接触しない部分が生じることがあり

Guduruの理論では不十分な場合もある．そこで，接触して

いない部分が生じた場合の解析を行う．本研究では，波形状の表面に剛体球状圧子が接触する問題を解析しする．初

めに，Guduruの理論解と比較を行い本解析手法の有用性を

確認する．次に波の高さと波の幅の値を変えて解析を行い，

波と波の間に接触しない部分があらわれる条件を調べた．

2. 接触解析

2・1 軸対称の波を有する面の接触問題

本研究では図１に示すように半径Rの球状圧子が波形状の表面に接触する問題を解析する．図１においてλは波の周期（幅）を表し，2Aは波の高さを表し，初期二面間の間隔hは以下のように表すことが出来る．

h= r²

2R!A cos 2"r

#

$

%& ' () !1

*+ ,

-.

/ (1)

ここでr= x²+y² である．

Guduru は軸対象の波形状を有する等方材料に剛体球状

圧子が接触する問題を解析的に解き，接触半径aのとき押し込み荷重Pの関係を以下の式のように導いた⁽¹⁾．

P a

( )

⁼^2E^* _R²⁺^4!

2A

"²

#

$% &

'(a³ 3 )*

+ ,+

+!Aa 2 H₁ 2!a

"

#

$% &

'( -!²Aa²

2 H₂ 2!a

"

#

$% &

'(. /0

(2)

ここでHnはn次のStruve関数を表している．式(2)はA=0

の場合，Hertz接触理論と一致する．

2・2 接触解析

一般に，単位集中荷重に対する表面の応答をK(x1, x2)で表すと（これを影響係数という），接触荷重分布 p(x1, x2) に対する応答変位w(x1, x2)は次式で求めることができる．

w x

(

₁,x₂

)

⁼ "#

$

_"#^+#^p

(

^!¹^,!²

)

^{K x}

(

¹^"^!¹^,^x²^"^!²

)

^d!¹^d!²

$

+# ⁽³⁾

ここでKは，等方性材料の場合はBoussinesqの式を用い，

異方性材料の場合は，Koguchi⁽²⁾が導出した式を用いて求めた．この式をFourier変換すると，畳み込み演算はそれぞれ

の関数をFourier変換した関数の積で表され,

%

w

(

!1,!₂

)

⁼^p^%

(

^!1,!₂

)

^K^%

(

^!1,!₂

)

⁽⁴⁾

と書くことができる．本研究では離散化した接触圧力と影響係数を用いて，Liuらが提案したDC-FFT法⁽³⁾を用いて接触による変位分布を求める．

2・3 弾性接触問題の離散化解法

接触面を含む領域を微小領域に分け，中心座標を(xi, xj) とする．押し込み荷重P0，押し込み深さδのときの圧子と平面の二面間の間隔gijは，微小領域の変位wijと初期二面間の間隔hijを用いて以下の式から求めることができる．

gij=hij!" !wij (5)

また，接触時の荷重分布 pijは gijに関する以下の関係式から得られる．

In contact :g_ij=0 thenp_ij>0 In separation :g_ij>0 thenp_ij=0

pij=

!

^P⁰

"

#$$

%

$$

(6)

ここで，第一式は接触格子点での二面間隔 gijと荷重 pijの関係，第二式は非接触格子点での二面間隔 gijと荷重 pijの関係，第三式は接触荷重分布 pijの総和と押し込み荷重 P0

の関係式である．これらの連立方程式を解くために， PolonskyとKeer⁽⁴⁾が提案した共役勾配法を用いた．

3. 解析結果

3・1 理論解との比較

初めに，軸対称の波形状を有する等方性弾性体に対する Fig. 1 The geometry of the contact problem.

(2)

接触解析を行い，式(2)の Guduru の解と比較し，本解析の有用性を確かめる．解析条件として波の形状を λ=10nm，

A=0.1nmとし，材料はCu，球状圧子の半径をR=200nmとした．さらに，Hertz理論の結果を示し，平らな面との違いを調べた．図2にそれぞれの解析結果の接触半径と押し込み荷重の関係を示す．本解析と Guduru の解の結果は，よくあっていることがわかる．これらの結果は表面が波形状

のため Hertz理論の結果に対して周期的にずれていること

がわかる．このため，本研究で用いた解析手法は有用であることが確かめられた．

3・2 波の高さ，幅を変えたときの解析結果

次に，波の幅をλ=10, 20, 30nmに変え，波の高さを0.01nm から5nmまで変えたときの解析結果を示す．材料は同じく Cuで，R=2000nmである．押し込み荷重はP0=100µNにした．図3に波の幅と高さを変えたとき，それぞれの条件での押し込み深さを示す．結果より，波の高さが0.1nm以下の場合には押し込み深さはほぼ同じであるが，0.1nm より大きい場合には，波の幅が大きいほど押し込み深さが深くなっている．これは，波の高さが0.1nmになると，接触しない部分があるためである．

図4にλ=20nm，A=0.05, 0.1, 0.5nmのx軸上の圧力分布を示す．A =0.05nmの場合，波と波の間で接触圧力が0になる部分が無いため，接触していない部分は無い．また，

A =0.1nmの場合にはx座標が80nmから100nmの間で接触圧力が0である部分があるため，この部分では接触していない．さらにA=0.5nmの場合ではすべての波と波との間で，

接触していない部分があることがわかる．このため，図 3 の波の高さが0.1nmより大きい場合に押し込み深さが波の幅によって異なるのは，接触していない部分が生じたためである．

次に，接触しない部分が生じる条件について検討した．

図5に接触解析で求めた圧力からHertz接触圧力を引いた結果を示す．波の高さが高くなるに従い，圧力の変化の幅が大きくなっていることがわかる．接触していない部分が無いA =0.05nmの場合では中心部を除いて波の分布が一定である．接触していない部分があらわれるA =0.1nmの場合には，接触していない部分はHertz 接触圧力を負にした圧力と一致していることがわかる．さらに，すべての波の間で接触していない部分のあるA =0.5nmの場合には，接触していない部分では負にしたHertz 接触圧力と一致していることがわかる．このことから，接触していない部分が生じるのは，接触圧力から Hertz接触圧力を引き，その圧力の負の部分が負の Hertz 接触圧力を越えるときに生じると考えられる．

4. 結言

本研究では軸対象の波形状を有する表面に球状圧子を接触させたときの解析を行い，押し込み深さに対する，波の高さや幅の関係について調査した．初めに Guduru の軸対象モデルの解析解と比較し，本解析の有用性を確かめた．

次に波の高さと幅と変えて解析を行い，波と波の間に接触しない部分があると，波の幅により押し込み深さが変わることがわかった．さらに波の波との間に接触しない部分があらわれる条件について調べた．

今後は波の異方性材料について解析を行い，材料異方性により圧力分布が変わるのか調べる予定である．

参考文献

(1) Guduru, P. R., J. Mech. Phys. Solids, 55(2007), 445.

(2) Koguchi, H., ASME J. Appl. Mech., 75(2008), 061014 (3) Liu, S., Wang, Q., and Liu, G., Wear, 243(2000), 101.

(4) Polonsky, I.A., and Keer, L.M., Wear, 231(1999), 231.

100x10³ 80 60 40 20 Contact load, P, nN 0

50 45 40 35 30 25 20

Contact radius, a, nm Present analysis Theory (Gurudu) Hertz theory

Fig. 2 Contact analysis for isotropic material comparison the present analysis and Guduru theory

6.0 5.8 5.6 5.4 5.2 Indentation depth, !, nm 5.0

0.01 ² ⁴ ^{6 8}0.1 ² ⁴ ^{6 8}1 ² ⁴ Wave height A, nm

"=10nm "=20nm "=30nm

Fig. 3 Indentation depth for each wave height

20 15 10 5 0

Contact pressure, GPa

120 100 80 60 40 20 0

x-coordinate, nm

A=0.05nm A=0.10nm A=0.50nm Hertz theory

Fig. 4 Pressure distribution on x-axis

15 10 5 0 Difference of pressure, GPa -5

120 100 80 60 40 20 0

x-coordinate, nm

A=0.05nm, difference A=0.10nm, difference A=0.50nm, difference Hertz pressure (-1)

Fig. 5 Difference between contact pressure and Hertz pressure

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Contact analysis for spherical indenter and wavy surface -Relationship between contact radius and wave height and length-

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