for joints with rectangular interface

(1)

日本機械学会［No.0117-1］北陸信越支部 48 期総会・講演会講演論文集 [2011.3.5 長野県上田市]

905

矩形界面形状を有する異材接合体に対する境界要素法を用いた三次元応力解析 Three-dimensional stress analysis using boundary element method

for joints with rectangular interface

○学星和久（長岡技大院）正古口日出男（長岡技大）

Kazuhisa Hoshi, Graduate School of Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata Koguchi Hideo, Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata

Key Words: Stress Analysis, Boundary Element Method, Adhesive Joint, Stress Singularity, Intensity of Singularity

1. 緒言

電子デバイスには小型化のためCSP（Chip Size Package）

がよく用いられる．CSPはシリコン（Silicon）等の半導体を封止樹脂（Resin）によって接合したものであり，このような異材同士の接合界面端部は，材料定数の違いから，厳密には応力が無限大に発散する特異応力場となる．これによる接合界面の剥離が CSP の破壊原因の一つ考えられているが，

特異場では応力が発散するため応力値のみでの単純な強度評価ができない．そこで本研究では，特異場での応力分布が近似的に式(1)で表されることを利用して接合強度を評価する．

!!Kr^"^"

!: K: r:

":

#

$%%

&

%%

(1)

シリコンと封止樹脂の接合体に外力が作用する場合を想定し，三次元応力解析を行う．特異性オーダは有限要素法を用いた固有値解析により求め，応力解析には境界要素法を用いる．解析結果から特異応力場の強さを求め，接合界面寸法が応力特異性に及ぼす影響について検討する．

2. 三次元異材接合体における特異性

2•1 固有値解析手法特異応力場を特徴づける特異性のオーダλは，次式の有限要素法による固有値解析により求められる．ここで，固有値pは特異性のオーダλとλ=1-Re(p) の関係がある．この固有値pは次式の固有方程式を解くことにより求める．

(

p²

[ ]

A ⁺^{p B}

[ ]

⁺

[ ]

^C

) ^{{ }}

^u ⁼⁰ ⁽²⁾

ここで，[A]，[B]および[C]は弾性定数と接合形状から決まる行列，{u}は節点の変位ベクトルである．

2•2 三次元境界要素法^[1] 一般に応力解析には有限要素法を用いることが多い．しかし，特異応力場など応力値の変化が顕著になる箇所ではより微小な要素を用いる必要があり，物体内部まで要素分割する必要のある有限要素法では，

総節点数が多くなりすぎてしまうという問題がある．そこで本研究では，境界のみの要素分割で解析可能な境界要素法を用いる．

三次元異材接合体内における任意の点の変位は，次の

Somiglianaの境界積分方程式で求めることができる．

u_i(p)= "#U_ij(p,Q)t_j(Q)!T_ij(p,Q)u_j(Q)$%ds(Q)

&

S ⁽³⁾

ここで，pは領域の内点，Qは境界上のソース点，Uijおよび Tijは変位と作用力の基本解，tiとuiは作用力ベクトルと変位

ベクトルである．内点の応力は，内点のひずみを次式で求め，

Hooke則に式を代入することにより求める．

ui,k(p)= "#Uij,k(p,Q)tj(Q)!Tij,k(p,Q)uj(Q)$%ds(Q)

&

S ⁽⁴⁾

ここで，Uij,kおよびTij,kは着力点における変位および表面力の基本解の微分である．基本解にはRongvedの二相体の解^[2]

を用いることで，材料界面の要素が必要なくなり，さらに総節点数を減らすことができる．

3. 解析モデル

本研究では，図1に示すようなシリコンと封止樹脂の同寸法の直方体が接合されたモデルを使用し，y 方向寸法 b を

0.1mm~10mmの範囲で変えて解析を行った．各材料定数を表

1に示す．封止樹脂側の下端面のz方向の変位を固定し，外力としてシリコン側上端面に1MPaの引張応力を加えた．なお，対称性を考慮して1/4モデルで解析を行った．

Fig.1 Analysis model of joints with a rectangular interface Table 1 Material properties used in the analysis Material Young's modulus,

GPa Poisson's ratio

Silicon 166 2.74

Resin 0.26 0.38

図2は解析対象である三次元接合体の境界要素分割モデルであり，セレンディピティ二次要素を用いて分割した．界面端角部の特異点近傍の最小要素寸法は，約10^-5mmである．

各解析モデルの総節点数，総要素数を表2に示す．

特異場での応力特異場の強さ特異点からの距離特異性オーダ

x

y z z Silicon

Resin

b mm σ0=1 MPa

41

2 Intensity of stress singular field

1!! K

, MP a·m

0.365 m

0.1110 Interface width b, mm10 mm

41

1!! K

, MP a·m

0.365 m

4

1

2

ens Int

ity of s ss tre ingul s ar fi

d el

1!!K

, M

·m Pa

0.365 m

0.1

1

10

Interface width b, m10 mmm

(2)

(a) Meshing model (b) Edge of interface Fig.2 Boundary element model

Table 2 Information of meshing model Width in joint

b, mm Total number

of nodes Total number of elements

0.10 9962 3320

0.25 8306 2768

0.50 7990 2662

1.0 7646 2548

2.5 5810 1936

5.0 5788 1928

10 5834 1944

4. 解析結果

4•1 特異点近傍の応力分布本研究の解析結果は，界面端角部の特異点を原点とし，界面がθ=90º, 0º≤φ≤90ºとなる球座標系に対して示される．図3は変えた界面幅b毎のrに対する応力σθθの分布である．この応力成分は界面に対して垂直な応力で，界面剥離に関係している．図3において両対数グラフ上で応力はrに対して直線的に分布し，幅bが小さくなるとともに応力値も小さくなっている．この図から外力が接合体上面に作用する場合，応力場がべき指数関数で表されることがわかる．

Fig.3 Distribution of stress σθθ

4•2 特異応力場の強さ三次元異材接合体の応力特異場は，図3およびこれまでの研究^[3]から次式で表すことができる．

!_""=K1""r^!^#+K2"" (5)

ここで，Kkθθは特異応力場の強さを表す．また，特異性オーダλは固有値解析により，今回の解析モデルではλ=0.365が得られた．図3の応力分布を最小二乗法により式(5)で近似し，

Kk_θθを求めた．その結果を表3に示す．K1_θθは界面幅bが大きくなるとともに大きくなっている．また図4より，b = 0.1~10 mmつまり界面の縦横比が0.01~1の範囲では，K1_θθは両対数グラフ上で直線的に分布し， K1_θθ≅ 0.89 b ^0.16と近似することができる．なお，K2_θθは小さい値であるため，応力場にほとんど影響しない．

Table 3 Intensity of singular stress field Kk_θθ

Interface width

b, mm K1θθ , MPa!mm^0.395 K2θθ , MPa

0.10 0.631 -0.082

0.25 0.718 -0.106

0.50 0.792 0.127

1.0 0.875 -0.141

2.5 1.01 -0.242

5.0 1.13 -0.257

10 1.29 -0.293

Fig.4 Intensity of singular stress field K1θθ

5. 結言

シリコン-封止樹脂の接合体モデルを想定し，境界要素を用いて応力解析を行った．界面端角部，応力特異場での応力の分布を，界面幅を種々に変えて調べた．

固有値解析により特異性オーダを求め，特異場の応力分布の式を用いて，解析結果より特異場の強さを求めた．その結果，界面の縦横比が 0.01~1 の範囲での特異場の強さの値としてK₁_θθ≅ 0.89 b ^0.16が得られた．

6. 参考文献

[1] 結城良治，木須博行共著，境界要素法による弾性解析，

1987，培風館，pp.219-249．

[2] Rongved, 1995, "Force Interior to One of Two Jointed Semi-Infinite Solid", L., Proceedings Second Midwestern Conference on Solid Mechanics, pp.1-13.

[3] 古口日出男，山口昌朗，皆木健一，P. Mochas，"二相横等方性弾性体の基本解を用いた三次元境界要素法による三次元接合体角部の特異応力場の解析"，2003，機論，69-679A， pp.585-593．

y z

4 5 6 7 8

19 2

Intensity of stress singular field K1!! , MPa·mm0.365

0.1 1 10

Interface width b, mm

K_1!! ,MPa·mm^0.365

4 5 6 7 8 9

1

2

0.1 1 10

K_1!! ,MPa·mm^0.365

4 5 6 7 8 9

1

2

0.1 1 10

K_1!! ,MPa·mm^0.365

Interface

Resin

Edge of interface Silicon

41

1!! K

, MP a·m

0.365 m

41

1!! K

, MP a·m

0.365 m

4

1

2

0.1 1 10

Interface width b, mm 10 mm

Interface

Singular point

10 100

Stress!"" , MPa

0.0001 0.001 0.01

radius r, mm

Angle # =45˚, " =90˚

0.10 0.25

0.50 1.0

2.5 5.0

10

for joints with rectangular interface

905

矩形界面形状を有する異材接合体に対する境界要素法を用いた三次元応力解析 Three-dimensional stress analysis using boundary element method

for joints with rectangular interface

(

[ ]

[ ]

[ ]

) { }

&

&

) ^{{ }}