材料力学Ⅰ 2013 期末試験解答例１．配点：各

(1)

-1-

2013

年

8

月

1

日(木)，2時限，21講義室

材料力学Ⅰ 2013 期末試験解答例

１．配点：各 4 点，計 20 点

(1) はりと剛体棒のフリーボディダイアグラムは解図 1．

1 となる。

P R _A

R _B

R _C R _B

M _B

解図 1.1 全体のフリーボディダイアグラム (2) 剛体棒において，力のつり合いから，

B 0 B

P  R   R  P (1.1) 剛体棒において，B 点回りのモーメントのつり合いから，

B 0 B

Pb  M   M  Pb (1.2) はりにおいて，力のつり合いから，

A B C 0

R  R  R  (1.3) はりにおいて，A 点回りのモーメントのつり合いから，

B B C 0

R a M R l

   

C B B

1 1

( ) ( )

( )

R M R a Pb Pa

l l

P a b P l

   



  

(1.4)

式(1.4)を式(1.3)に代入して，

A B C 0

R  R  R  (1.5)

(3) はりを(i) 0   x a と(ii) a   x l の 2 区間に分け，

任意の位置 x での仮想断面に生じるせん断力 F とモーメント M を求める。

(i) 第 1 区間( 0   x a )

この区間での仮想断面を含むフリーボディダイアグラムは解図 1.2 となる。

x

M A F

R _A

解図 1.2 第 1 区間の仮想断面を含む FBD 力のつり合いから，

A 0 A 0

F  R   F  R  (1.6) 仮想断面回りのモーメントのつり合いから，

A 0 A 0

M  R x   M  R x  (1.7) (ii) 第 2 区間( a   x l )

この区間での仮想断面を含むフリーボディダイアグラムは解図 1.3 となる。

l - x

M F C

R _C

解図 1.3 第 2 区間の仮想断面を含む FBD 力のつり合いから，

C 0 C

F R F R P

        (1.8) 仮想断面回りのモーメントのつり合いから，

C C

( )

( ) 0

( ) M R l x M R l x

P l x

 

    

  (1.9)

(2)

-2- 以上の結果から， SFD と BMD を描くと解図 1.4 となる。

-P SFD

A C

Pb

A a C

BMD B

B b

解図 1.4 SFD と BMD

(4) 曲げ応力の最大値  _max は，断面係数を Z とすると，次式で与えられる。

max

M

  Z (1.10)

円形断面の断面係数は，以下の式で与えられる。

4 3

2 64 32

I z d d

Z e d

 

   (1.11)

式 (1.9) に代入して，

max 3

32M

 d

  (1.12)

モーメントが最大の位置で最大応力が生じる。解図 1.4 の BMD より，最大モーメントは x  a の位置で生じ，

M max  Pb (1.13) したがって，

max 3

32Pb

 d

  (1.14)

(5) 許容応力  _a は，

B 330 MPa

110 MPa

a 3 S

     (1.15)

最大応力が許容応力以下になるように設計すればよいから，

3

32 a

Pb

 d

 

したがって， d について解くと，

3 3

6 32 32 100 1.5 110 10 0.02403

a

d Pb

 

 

 

 



この場合，四捨五入ではなくて切り上げて，

24.1 mm

d  (1.16)

２．配点：各 4 点，計 20 点

(1) はりのフリーボディダイアグラムは，解図 2.1 となる。

q

A C

B

R _A R _B

解図 2.1 全体のフリーボディダイアグラム力のつり合いより，

A B 0

qb  R  R  (2.1) B 点回りのモーメントのつり合いから，

2 2

A 0 A

2 2

b b

R a q R q

      a (2.2) 式(2.2)を式(2.1)に代入して，

2 B A

2 (2 ) ( )

2 2

R qb R qb qb a qb a b qb l a

a a

   

 

 

(2.3)

(2) ここでは，SFD は必要とされていない。2 区間に

分けて，その間の仮想断面上に生じる曲げモーメント

(3)

-3- M を求める。

(i) AB 間：第 1 区間 ( 0   x a )

この区間の仮想断面を含む FBD は解図 2.2 となる。

A

R _A

F ₁ M ₁ x

解図 2.2 AB 間の仮想断面を含む FBD 仮想断面回りのモーメントのつり合いから，

2 1 A 0 1 A

2 M R x M R x q b x

      a (2.4) (ii) BC 間：第 2 区間( a   x l )

この区間の仮想断面を含む FBD は解図 2.3 となる。

q

C F ₂

M ₂

l-x

解図 2.3 BC 間の仮想断面を含む FBD 仮想断面回りのモーメントのつり合いから，

2 2

2 ( ) 0 2 ( )

2 2

q q

M l x M l x

       

(2.5) 以上より， BMD は解図 2.4 となる。

a b

BMD

2

2  qb

解図 2.4 BMD (3) 境界条件と連続の条件は，

0 x  で y ₁  0 (2.6)

x  a で y ₁  y ₂  0 (2.7) x  a で   ₁  ₂ (2.8)

(4) 区間に分けて，たわみ曲線を求めると，

(i) AB 間：第 1 区間( 0   x a )

2 2

1 1

2 2

d y M q b

dx   EI  EI a x (2.9) 順次積分して，

2 2 1

1 ( 1 )

2 2

dy q b x

dx    EI a  C (2.10)

2 3

1 ( 1 2 )

2 6

q b x

y C x C

EI a

   (2.11)

(ii) BC 間：第 2 区間 ( a   x l )

2 2 2 2

2 ( )

2 d y M q

l x

dx   EI  EI  (2.12) 順次積分して，

2 3

{ 1 ( ) }

2 3

dy q

l x C

dx    EI    (2.13)

4 2 3 4

{ 1 ( ) ( ) }

2 12

y q l x C x a C

 EI     (2.14) 境界条件を適用して，

2 0

C  (2.15)

2 3 2

1 0 1

6 6

b a ab

C a C

a      (2.16) 連続の条件を適用して，

2 2

3 3

1 2 6 3

ab ab

b C

   

2 2

3 3

1 3 3 3

ab b l

C b

    (2.17)

4 4 12

C   b (2.18)

したがって，

2 2 2

1 ( )

12 y qb x a x

 EIa  (2.19)

(4)

-4-

2 4

4 2

4 2 4

4 2

2 4

4 2

2 4

4 2

3 { 1 ( ) ( ) }

2 12 3 12

{( ) 4 ( ) }

24 {( ) 4 ( )

24 4 ( ) }

{( ) 4 ( )

24 4 ( ) }

{( ) 4 ( )

24 (4 3 )}

q b l b

y l x x a

EI

q l x b l x a b EI

q l x b l x l EI

b l l a b

q l x b l x l EI

b a b b b

q l x b l x l EI

b a b

    

   

  

   

  

   

 

(2.20)

(5) 式(2.20)に x  l を代入して，

3 3

2 (4 3 ) (3 )

24 24

q q

y b a b b l a

EI EI

    (2.21)

３．配点各 4 点，計 20 点

(1) フリーボディダイアグラムは，解図 3.1 となる。

 ₀ T ₀

T _A

解図 3.1 全体のフリーボディダイアグラムトルクのつり合いから，

0 0 A 0 A 0 0 0

T   l  T   T  T   l   l (3.1) (2) 3 区間に分けて考える。

(i) 第 1 区間 ( 0   x a )

AB 間の仮想断面を含む軸のフリーボディダイアグラムは解図 3.2 となる。トルクのつり合いから，

AB A 0 AB A 0

T  T   T  T   l (3.2)

T _A

T _AB

解図 3.2 AB 間の仮想断面を含む軸の FBD (ii) 第 2 区間 ( a   x 2 a )

BC 間の仮想断面を含む軸のフリーボディダイアグラムは解図 3.3 となる。

 ₀ T _A

T _BC x

解図 3.3 BC 間の仮想断面を含む軸の FBD トルクのつり合いから，

BC 0 ( ) A 0

T   x   l T 

BC 0 ( ) A 0 ( ) 0 0

T  x l T  x l  l  x

       

(3.3)

(iii) 第 3 区間 ( 2 a   x 3 a )

CD 間の仮想断面を含む軸のフリーボディダイアグラムは解図 3.4 となる。

T ₀ T _CD

解図 3.4 CD 間の仮想断面を含む軸の FBD トルクのつり合いから，

0 CD 0 CD 0 2 0

T  T   T  T   l (3.4)

(5)

-5- 式 (3.2) ～式 (3.4) から，トルクと x 座標との関係を図示すると解図 3.5 となる。

A B C D

2  ₀ l

 ₀ l

解図 3.5 ねじりモーメント図

(3) AB 間ではトルクは一定であるため，AB 間のねじれ角  AB は，

2 0 AB AB

p p

l T l GI GI

    (3.5)

BC 間の微小長さ dx に対するねじれ角 d  BC は

BC 0

BC

p p

T dx xdx

d GI GI

    (3.6)

BC 間で積分して，

2 2

0 BC BC

2 2

0 2 3 0

[ ]

2 2

l l

p

l l

p p

d xdx

GI l x

GI GI

  

 

 

 

(3.7)

CD 間ではトルクは一定であるため，CD 間のねじれ角  CD は，

2 CD 0

CD

2 p p

T l l

GI GI

    (3.8)

したがって，

2 2

0 0

B AB BC CD 4

9 144

2 _p

l l

GI d G

 

   

      (3.9) 右側から見て，反時計回りである。

(4) トルク T が生じている任意の仮想断面での最大せん断応力  max は，極断面係数を Z p とすれば，次式で与えられる。

max p

T

  Z (3.10)

したがって，軸全体では，最大トルクが生じる位置で，

最大せん断応力が生じる。解図 3.5 より，トルクの最大値（正負は回転の向きに関係するので，絶対値の最大値）は， CD 間で生じている。

max 2 0

T   l (3.11)

一方，直径は全区間で変化しないため，極断面係数 Z p は次のように与えられる。

3 p 16 Z  d

 (3.12)

したがって，最大せん断応力はの値は次式で与えられる。

max 0

max 3

32 p

T l

Z d

 

   (3.13)

(5) 最大せん断応力が許容せん断応力以下であればよいから，式(3.12)より，

0 3

32 a

l d

 

  (3.14)

したがって，

0 3

3 6

32 32 100 0.5 40 10 0.02335 m 23.4 mm

a

d  l

 

 

 

 

 

(3.15)

この場合，切り上げて 23.4mm 以上とする。

４．配点各 4 点，計 20 点

(1) フリーボディダイアグラムは解図 4.1 となる。

T _A T ₀

T _C

解図 4.1 フリーボディダイアグラム

トルクのつり合いから，

(6)

-6-

C 0 A 0

T   T T  (4.1) (2) AB 間の仮想断面を含む軸の FBD は解図 4.2 となる。

T _A

T _AB

解図 4.2 AB 間の仮想断面を含む軸の部分の FBD トルクのつり合いから，

AB A 0 AB A

T  T   T  T (4.2) 次に， BC 間の仮想断面を含む FBD は解図 4.3 となる。

T _BC T _C

解図 4-3 BC 間の仮想断面を含む軸の部分の FBD トルクのつり合いに，式(4.1)を考慮して，

BC C 0 BC C A 0

T T T T T T

       (4.3) (3) AB 間と BC 間の断面二次極モーメントは，

4 4

AB

(2 )

32 2

p

d d

I _  _ 

(4.4)

4 BC 32

p

I _  d

(4.5)

AB 間，BC 間のそれぞれのねじれ角  _AB ，  _BC は，それぞれの区間ではトルクが一定であるから，

AB A

AB 4

AB

2 p

T l T l

GI d G

 ^ ^  ^(4.6)

BC A 0

BC 4

BC

32( )

p

T l T T l

GI d G

 

   (4.7)

したがって， C 点のねじれ角  _C は，

C AB BC

A 0

A

4 4

A 0

4 32( )

2 2(17 16 ) T T l T l

d G d G

T T l

d G

  

 



 

  

 

(4.8)

(4) 実際には右側は剛体壁であるため変形できない。

すなわち，

C 0

  (4.9)

式 (4.8) に代入して，

A 0

16 T  17 T (4.10)

式 (4.1) に代入して，

C A 0 0

1 T  T  T   17 T (4.11) (5) トルク T が生じている仮想断面での最大せん断応力は，

max p

T

  Z (4.12)

極断面係数は，

3 AB

AB 2

p p

I d

Z d

   (4.13)

3 BC BC

2

16 p p

I d

Z d

   (4.14)

したがって， AB 間， BC 間の断面での最大せん断応力は，

AB 間

0 AB A

max AB 3 3

AB

32 p 17

T

T T

Z d d

 ^ ^  ^  ^(4.15)

BC 間

BC C C

max BC 3 3

AB

16 16

p 17

T T T

Z d d

 ^ ^  ^{ }  ^(4.16)

(7)

-7- 式(4.15)と式(4.16)の比較から，最大せん断応力は AB 間で生じ，その大きさは，

0 max 3

32 17

T

 d

  (4.17)

５．配点各 4 点，計 20 点

(1) 長方形と三角形の面積をそれぞれ A ₁ ， A ₂ ，全体の面積を A ，上辺から長方形と三角形の図心までをそれぞれ y ₁ ， y ₂ とすると，

1 1 2 2

Ay  A y  A y したがって，

1 1 2 2

1 ( )

y A y A y

 A  (5.1)

ここで，

2 1 1 40 30 1200 mm A  bh   

2 2 2

40 30

600 mm

2 2

A bh 

  

2 1 2 2400 mm A  A  A 

1 1

30 15 mm

2 2

y  h  

2 2 1

30 30 40 mm

3 3

y   h h   

したがって，

1 2 2

1 1

1 2

2 2

1 2 1

1 2

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

2 1 { ( )}

/ 2 2 2 3

1 { ( )}

2 3

3 3

3(2 )

3 30 3 30 30 30 3(2 30 30) 7 30 70

23.33 mm 23.3 mm 3 90 3

h bh h

y bh h

bh bh

h h h h h h

  



  



 

 

    

  

    



(5.2)

(2) 断面二次モーメントの定義式より，

2 0

z A

I   y dA

新たな基準軸からの y 方向距離は y  a ，したがって，

0

2 2 2

2 ( )

2 z A

A A A

z

I y a dA

y dA a ydA a dA I a A

 

  

 



   ^(5.3)

(3) 長方形と三角形の図心に対するそれぞれの断面二次モーメント I _z ₀₁ ， I _z ₀₂ は，

3 3

1 4 01

3 3

2 4 02

40 30

90000 mm

12 12

40 30

30000 mm

36 36

z

I bh

 

   

  

   

(5.4)

長方形，三角形の図心から z 軸までの距離をそれぞれ a ₁ ， a ₂ とすると，

1 1

2 2

23.333 15 8.333 mm 40 23.33 16.67 mm a y y

a y y

     

       ^(5.5)

したがって，(2)で得られた平行軸の定理を用いて，長方形と三角形の z 軸に対する断面二次モーメント I _z ₁ ，

2 I z は，

2 2

1 01 1 1

4 12 4

9 4

2 2

2 02 2 2

4 12 4

9 4

90000 8.333 1200 173326 mm 173326 10 m 173 10 m

30000 16.67 600 196733 mm 196733 10 m 197 10 m

z z

I I a A



     

    

   

      

    

   

(5.6)

したがって，

1 2

9 9

9 4

173.3 10 +196.7 10 370 10 m

z z z

I I I

 



 

  

 

(5.7)

(4) z 軸から上端，下端までの距離をそれぞれ e ₁ ， e ₂

とすると，

(8)

-8-

1 2 1 2

23.33 m

30 30 23.33 mm 36.67 mm

e y

e h h y

  

       

  

(5.8)

したがって，

1 1

9 3

6 3 6 3

2 2

9 3

6 3 6 3

370 10 23.33 10

15.85 10 m 15.9 10 m

370 10 36.67 10

10.08 10 m 10.1 10 m

z

Z I e



 



 

  

 

  

 

     

 

 

  

   

    

(5.9)

(5) ある断面における最大曲げ応力  _max は次式で与えられる。

max

M

  Z (5.10)

したがって，(4)で得られた断面係数では，小さい方の断面係数，すなわち，下面側で得られた Z ₂ を用いた方がより大きな応力となる。その大きさは，

max 6

2

6 1000 10.08 10

99.20 10 Pa=99.2 MPa M

  Z  _



 

(5.11)

最大応力が生じる場所の y 座標は，

2 36.7 mm

y  e  (5.12)

材料力学Ⅰ 2013 期末試験 解答例 １．配点：各

-1-

2013

8

1

材料力学Ⅰ 2013 期末試験 解答例

１．配点：各 4 点，計 20 点

(1) はりと剛体棒のフリーボディダイアグラムは解図 1．

1 となる。

P R A

R B

R C R B

M B

M B

解図 1.1 全体のフリーボディダイアグラム (2) 剛体棒において，力のつり合いから，

B 0 B

P  R   R  P (1.1) 剛体棒において，B 点回りのモーメントのつり合いか ら，

B 0 B

Pb  M   M  Pb (1.2) はりにおいて，力のつり合いから，

A B C 0

R  R  R  (1.3) はりにおいて，A 点回りのモーメントのつり合いから，

B B C 0

R a M R l

   

C B B

1 1

( ) ( )

( )

R M R a Pb Pa

l l

P a b P l

   



  

(1.4)

式(1.4)を式(1.3)に代入して，

A B C 0

R  R  R  (1.5)

(3) はりを(i) 0   x a と(ii) a   x l の 2 区間に分け，

任意の位置 x での仮想断面に生じるせん断力 F とモ ーメント M を求める。

(i) 第 1 区間( 0   x a )

この区間での仮想断面を含むフリーボディダイアグラ ムは解図 1.2 となる。

x

M A F

R A

解図 1.2 第 1 区間の仮想断面を含む FBD 力のつり合いから，

A 0 A 0

F  R   F  R  (1.6) 仮想断面回りのモーメントのつり合いから，

A 0 A 0

M  R x   M  R x  (1.7) (ii) 第 2 区間( a   x l )

この区間での仮想断面を含むフリーボディダイアグラ ムは解図 1.3 となる。

l - x

M F C

R C

解図 1.3 第 2 区間の仮想断面を含む FBD 力のつり合いから，

C 0 C

F R F R P

        (1.8) 仮想断面回りのモーメントのつり合いから，

C C

( )

( ) 0

( ) M R l x M R l x

P l x

 

    

  (1.9)

-2- 以上の結果から， SFD と BMD を描くと解図 1.4 とな る。

-P SFD

A C

Pb

A a C

BMD B

B b

解図 1.4 SFD と BMD

(4) 曲げ応力の最大値  max は，断面係数を Z とする と，次式で与えられる。

max

M

  Z (1.10)

円形断面の断面係数は，以下の式で与えられる。

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材料力学Ⅰ 2013 期末試験解答例１．配点：各

材料力学Ⅰ 2013 期末試験解答例

P R _A

R _B

R _C R _B

M _B

M _B

P  R   R  P (1.1) 剛体棒において，B 点回りのモーメントのつり合いから，

任意の位置 x での仮想断面に生じるせん断力 F とモーメント M を求める。

この区間での仮想断面を含むフリーボディダイアグラムは解図 1.2 となる。

R _A

この区間での仮想断面を含むフリーボディダイアグラムは解図 1.3 となる。

R _C

-2- 以上の結果から， SFD と BMD を描くと解図 1.4 となる。

(4) 曲げ応力の最大値  _max は，断面係数を Z とすると，次式で与えられる。

モーメントが最大の位置で最大応力が生じる。解図 1.4 の BMD より，最大モーメントは x  a の位置で生じ，

(5) 許容応力  _a は，

最大応力が許容応力以下になるように設計すればよいから，

(1) はりのフリーボディダイアグラムは，解図 2.1 となる。

R _A R _B

解図 2.1 全体のフリーボディダイアグラム力のつり合いより，