2011 年度 流体力学Ⅰ期末試験解答例

2011 年度 流体力学Ⅰ期末試験解答例

今回は何問か課題から出題しました。ちゃんと勉強した人は報われたはずです。

１．(1) 1g = 10^–3kg，1cm/s² = 10^–2m/s²の関係より1dyne = 10^–3kg･10^–2m/s² = 10^–5kg･m/s² = 10^–5N [5点]

(2) τ をSI単位で表すと，N/m² = Pa，また∂u/∂yの単位は 速度÷長さ なので，1/sである。したがって，μ の単位は τ の単位÷∂u/∂yの単位，すなわちPa･sである（同等なkg/(m･s)やN･s/m²もOK）。[5点]

２．(a) 高度（深さ）と圧力差の関係より

pC = pA – ρ1gH1 [10点]

(b) 同じ原理を用いると，p_Dおよびp_Eは，それぞれ

p_D = p_E – ρ₂gH₂，p_E = p_B –ρ₃g(H₃ – H₂) これより，p_D = p_B – ρ₂gH₂ – ρ₃g(H₃ – H₂) [5点]

(c) p_C = p_Dの関係を用いると，

p_A – ρ₁gH₁ = p_B – ρ₂gH₂ – ρ₃g(H₃ – H₂)

∴ p_A – p_B = ρ₁gH₁ – ρ₂gH₂ – ρ₃g(H₃ – H₂) [5点]

３． 氷の全体積をV，密度をρ_s，水の密度をρ，重力加速度をgとし，氷が排除した水の体積（水面下の氷の 体積）をV'とする。氷に作用する浮力Bは

B = ρ V' g [ここまでで5点]

である。一方，氷に作用する重力Wは

W = ρ_sV g [ここまでで+5点]

重力Wと浮力Bが釣り合っているからB = W，すなわちρ V' = ρ_sVの関係がある。水上に現れる体積は V – V' だから，全体積に対する割合は

(V – V')/V×100 = (1 - ρs /ρ)×100 = 11.4 % [ここまでで+5点]

結果だけで説明のないものは点数を与えない。

４． 奥行き方向単位長さ当たりで考える。自由表面よりもhだけ上昇したとすると，上昇した液体の体積は ahで，質量はρah，作用する重力はρahgとなる[5点]。一方，表面張力は左右の板と接触する単位長さにかか るから，これによる力の鉛直方向成分は2σ cosθである[5点]。液の上面に働く圧力と自由表面の水位に働く圧 力の差はρaghで，これによる力の差はρaghaである[5点]。以上の力の釣り合いを式で書くと，

ρahg – 2σ cosθ – ρagha = 0，すなわち，h = 2σ cosθ /[(ρ – ρa) ag]（[5点]）

５．(1) 連続の式は

d v D V

4 4

2

2

ρ π

ρ π =

(2)

d v

D V

Q 4 4

2

2

π

π ₌

=

4

D V Q

= π

4

d v Q

= π

(3) ベルヌーイの定理より ₁ ² ₂ ²

2 1 2

1 V p v

p + ρ = + ρ

(4) p₁ – p₂ = (ρ´– ρ)gH．[５点]（空気だったらρを無視してもいいけど、水なので無視できません。無視したら

1点減点としました）

(5) ベルヌーイの式に(2)と(4)の結果を代入して整理すると

( )

(

)

2

4 ⁻ − ⁻

′−

= d D

Q H

ρ

ρ ρ

π

[５点]

σ θ σ

W

p

p

h