材料力学Ⅰ 2015 中間試験 解答例 １．配点各

-1-

2015年6月11日(木)，2時限，大講義室

材料力学Ⅰ 2015 中間試験 解答例

１．配点各2点，計20点 (1) 弾性限度

(2) 引張強さ

(3) E，フックの法則 (4) 206 GPa

(5) 0.3 (6) 降伏

(7) すべり線，または，リューダース線 (8) 0.2%耐力

(9) くびれが生じ，実際の断面積は小さくなるが，公称応力 では元の断面積で割っているため，見かけの応力は小 さくなる。(くびれの言葉は必須)

(10) 強度設計において安全側になる。

２．配点 各5点，計25点

(1) 剛体板に関するフリーボディダイアグラムを 解図2.1 に示す。問題に各棒に働く荷重を引張荷重とするよう指定 してあるので，棒から剛体板に働く反力の向きも解図 2.1 に示す向きとなる。

P_B

P_A P_C

解図2.1 剛体板のフリーボディダイアグラム

(2) 力のつり合いから，

A B C 0

P P P  (2.1)

B点回りのモーメントのつり合いから，

A C 0

P aP a (2.2)

変形して，

A C

P P (2.2’)

(3) 弾性体の棒は各棒に作用する力に応じ変形する。一方，

剛体板は変形しないため，解図 2.2 に示すように，剛体板は 破線の元の状態から荷重負荷後，直線性を保ったまま移動

する。

C C’

B’

B A’

A O



_C



_B



_A

解図2.2 剛体板の各点の変位

その結果，A’C’O間に直角三角形が形成される。三角形の 相似則を用いると，

A C B C

(







) : (







) 2 : a a (2.3) したがって，

A C B C

( ) 2 ( )

a







 a







A C 2 B











(2.4)

(4) 各変位は，荷重と熱による変位の重ね合わせとして，次 のように与えられる。

A

A 2(P )

AE T l



  



(2.5)

B

B 2(P )

AE T l



  



(2.6)

C

C ( P )

AE T l



  



(2.7)

式(2.5)，(2.6)，(2.7)を式(2.4)に代入して，

C

A B

2(P ) ( P ) 4(P )

T l T l T l

AE  



 AE 



 AE 



A B C

2P 4P P  



TAE (2.8)

式(2.2’)を，式(2.1)に代入して，

A B

2P P 0 (2.9)

したがって，

-2-

B 2 A

P   P (2.9’)

式(2.2’) と式(2.9’)を式(2.8)に代入して，

A A A

2P 8P P  



TAE したがって，

A

1

P 11



TAE (2.10)

式(2.10)を式(2.2’)，(2.9’)に代入して，

B

2

P  11



TAE (2.11)

C

1

P 11



TAE (2.12)

(5) 各棒に生じる応力は，式(2.10)～式(2.15)の仮想荷重を 断面積で割って，

A A

1 11

P TE



 A 



 (2.13)

B B

2 11

P TE



 A  



 (2.14)

C C

1 11

P TE



 A 



 (2.15)

これらの応力の中で，最大応力は_Bなので，

0

B S







(2.16)

したがって，

11 0

T 2

S E



 



(2.17)

与えられた数値を代入して，

6

6 9

11 167 10

188.0 2 3 23.6 10 69 10

T _

  

    ^(2.18)

この場合切り捨てで，最大設計温度は188 Kとなる。

３．配点 各5点，計25点

(1) フリーボディダイアグラムは，解図3.1となる。

B

C D

T₁

T₂ R

解図3.1 フリーボディダイアグラム

(2) 力のつり合いは，

1 2 0

T R T

    (3.1)

C点廻りのモーメントのつり合いから，

1 3 2 0

T l T l

   (3.2)

したがって，

1 3 2

T   T (3.3)

式(3.1)に代入して，

1 2 4 2

R  T T  T (3.4)

(3) BCDは剛体であり，C点はピン接合なので，変形後の 状態は解図3.1となる。

C

D’

B’

l 3l

2

1

B

D

解図3.2 変形後の状態

直角三角形BCB’とDCD’は相似形であるから，

1: 2 l: 3l

 

 したがって，

1 2 2 1

3l



l







3



(3.5) (4) B点とD点の変形量₁，₂は，張力と温度による変

-3- 形の重ね合わせとして次式で与えられる。

1 1

2 2

2( )

3( )

T T l

AE

T T l

AE

 

 

  

  

(3.6)

式(3.6)を式(3.5)に代入して，

2 1

3( T ) 6( T )

T l T l

AE 



 AE 



整理して，

1 2

2T T



TAE

    (3.7)

式(3.3)を式(3.7)に代入して，

2 2

7 1

T  



TAE  T 7



TAE (3.8)

式(3.8)を式(3.3) と式(3.4)に代入して，

1

3

T  7



TAE (3.9)

4

R7



TAE (3.10)

応力₁，₂は張力T₁，T₂を断面積Aで割って，

1 1

3 7

T TE



 A 



 (3.11)

2 2

1 7

T TE



 A 



 (3.12)

応力₁，₂の絶対値の比較から，最大応力_maxはワイヤ ABに生じ，その値は，

max 1

3

7 TE







 



 (3.13)

(5) 最 大 応 力 が 許 容 応 力 以 下 で あ れ ば よ い 。 ま た ， 0

 T なので_max ₀，したがって

max S

S







(3.14)

式(3.13)を代入して，

3 7

TE S

S

 

  

整理して，

7 3 T S

S E



  



(3.15)

数値を代入して，

6

6 9

7 167 10

3 12 23.6 10 69 10 19.94 K

T _

  

   

 

(3.16)

４．配点 各5点，計30点

(1) 解図4.1に示すように，中心からxの位置の微小幅dxの

要素に働く遠心力は，質量×回転軸からの距離×角速度の 二乗である。



x O

dx

m₂x



²

解図4.1 微小要素に生じる遠心力

AB間の微小要素に対する遠心力をdf_ABとすると，

2 2

AB 2 2

2 2 2 2

{1 (2 ) } 4

df m x dV x

d dx x d xdx

  

    

 

  (4.1)

したがって q x₂( )は，

2 2 2( )

q x  d x (4.2)

2( ) Q x は，

2 2

2 2 3

2 2 2 2

2

( ) (3 )

(3 ) 1 ( 9 )

2

x

Q x Q a d a d

Q a d x a

   

 

 

  



(4.3)

4

x aの端部では外力が働いていないから，境界条件は，

-4-

4 2(4 ) 0

x a で Q a  (4.4)

式(4.3)に適用して，

2 2 2 2

2 2

(4 ) (3 ) 1 (16 9 ) 0

Q a Q a 2 d a  a 

2 2 2 2

(3 ) 7

Q a 2 d a

  (4.5)

(2) OA間の微小要素に対する遠心力をdf_OAとすると，

2 2

OA 1 1

2 2 1 2 2

{ ( ) }

2 4

df m x dV x

d dx x d xdx

  

    

 

  (4.6)

したがって q x₁( )は，

2 2 1

( ) 1

q x 4 d x (4.7)

1( ) Q x は，

2 2

1 1 0

2 2 2 1

( ) (0) 1 4 (0) 1

8

x

Q x Q d d

Q d x

   

 

 

 



(4.8)

ここで，x3aの仮想断面を含むフリーボディダイアグラムは 解図4.2となる。



O

2(3 ) Q a

1(3 ) Q a

解図4.2 x3aの仮想断面に働く力 力のつり合いから，

1(3 ) 2(3 ) 0 1(3 ) 2(3 )

Q a Q a   Q a Q a (4.9)

式(4.9)を式(4.8)に適用して，

2 2 2 2 2 2

1

9 7

(0) 8 2

Q   d a   d a したがって，

2 2 2 1

(0) 37

Q  8  d a (4.10)

(3) 内力をまとめると，

2 2 2 2 2 2

1

2 2 2 2

37 1

( ) 8 8

1 (37 )

8

Q x d a d x

d a x

   

 

 

 

(4.11)

2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

7 1

( ) ( 9 )

2 2

1 (16 )

2

Q x d a d x a

d a x

   

 

  

 

(4.12)

中心からxの位置の応力は，内力を断面積で割って，

1 1

1 2

1

2 2 2

( ) 4 ( ) ( )

1 (37 )

2

Q x Q x

x A d

a x

 



 

 

(4.13)

2 2

2 2

2

2 2 2

( ) ( )

( )

1 (16 )

2

Q x Q x

x A d

a x

 



 

 

(4.14)

応力₁，₂ともに，xが大きいほど小さくなる。したがって，

それぞれの区間で左端が最も大きな応力となる。

2 2 1max 1

(0) 37

2 a

    (4.15)

2 2 2 max 2

(3 ) 7

a 2 a

    (4.16)

式(4.15)と式(4.16)の比較から全体での最大応力はx0で 生じ，その大きさは，

2 2 max

37

2 a

   (4.17)

(4) xの位置の微小長さdxに対する微小伸びdは，

-5-

1 1

2

2 2

( )

1 (37 )

2

d x dx

E

a x dx E

 





 

(4.18)

2 2

2

2 2

( )

1 (16 )

2

d x dx

E

a x dx E

 





 

(4.19)

中心から端部まで積分し2倍すると，

3 4

1 2

0 3

2 3 2 2 2 4 2 2

0 3

2 3 3

2 3 2 4

0 3

2

3 3

3

3 3 3

2 3

2( )

(37 ) (16 )

{[37 ] [16 ] }

3 3

[(111 9 )

{(64 64 ) (48 9 )}]

3 317

3

a a

a

a a

a

a a

a

d d

a x dx a x dx

E E

x x

a x a x

E

a a

E

a a a a

a E

  

 







 

   

   

 

   



 

 

(4.20)

(5) 回転数から角速度を求めると，

2 2 1000

104.7 rad/s

60 60

N 

  ^  (4.21)

与えられた数値を式(4.20)に代入して，

2 3

3 2 3

9 6

317 3

317 8.03 10 104.7 0.25

3 197 10

737.7 10 m 738 μm

a E

 





  

 



 



(4.22)

(6) 式(4.17)で得られた最大応力が許容応力以下であれば いいから，

2 2 B 2 B

37 1

2 a 37

S a S

 

 

    (4.23)

数値を代入して，

B

6 3

1 2 37

1 2 578 10

0.25 37 8.03 10 12 72.02 rad/s

a S

 

 

 

   



(4.24)

1分間当たりの回転数に直すと，

60 60 72.02

2 2

687.7 rpm

N 

 

  



(4.25)

四捨五入では無く切り捨てて，687rpm までの回転は許され る。