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2012年6月14日(木)，2時限，共E31
材料力学Ⅰ 2012 中間試験 解答例
１．配点
(3) 3点，
(8) 4点，
(9) 4点，他各
2点，計
25点
(1) 比例限度 (2) 引張強さ (3) C，D (4) 0.2%
(5) E
A/
A(6) E206 MPa / 0.001206 GPa (7) フックの法則
(8) 低炭素鋼，0.3
(9) くびれが生じ，実際の断面積は小さくなるが，公 称応力では元の断面積で割っているため，見かけの 応力は小さくなる。(くびれの語があれば概ね正解) (10)
C A B
D F
G
H
応力
ひずみ
A
FH
G
A F G H
0
解図1.1 真応力-真ひずみ線図
２．配点 各5点，計25点
(1)
剛体板に関するフリーボディダイアグラムは，
解図
2.1に示すようになる。
(2) 力のつり合いから，
A B C 0
PP P P (2.1)
B C
A
PA PB PC P
解図2.1 剛体板のフリーボディダイアグラム B点回りのモーメントのつり合いから，
A C 0
P aP a (2.2) 式(2.2)より，
A C
P P (2.3)
式(2.3)を式(2.1)に代入して，
C B C 0
PP P P したがって，
B 2 C
P P P (2.4)
(3) 解図 2.2 に示すように，剛体板は破線の元の状 態から荷重負荷後，直線性を保ったまま移動すると考 えられる。
A
A’
B’
B
C’
C
O
A
B
C解図2.2 剛体板の移動
その結果，A’C’O間に直角三角形が形成される。三 角形の相似則を用いると，
C A B A
(
) : (
)2 :a a (2.5)C A 2( B A)
-2/4- したがって，
A C 2 B
(2.6) (4) それぞれの伸びを求めると，A A
S
P l
AE (2.7)B B
C
P l
AE (2.8)C C
C
P l
AE (2.9)式(2.7)，(2.8)，(2.9)を式(2.6)に代入して，
A C B
S C C
P l 2
P l P l
AE AE AE
C
A B
S C C
P 2
P P
E E E (2.10) 式(2.3)，(2.4)を式(2.10)に代入して，
C C C
S C C
2 2
P P P P
E E E
C
S C C
1 5 2
( ) P
E E P E したがって，
S C
C S
2 5 P E P
E E
(2.11)
式(2.3)，(2.4)に代入して，
S A
C S
2 5 P E P
E E
(2.12)
B C
S
C S
C S
C S
2 4
5
( )
5
P P P
P E P
E E
E E P
E E
(2.13)
(5) 式(2.11)，(2.12)，(2.13)を式(2.7)，(2.8)，(2.9) に代入して，
A
C S
2
( 5 )
Pl A E E
(2.14)
C S
B
C C S
( )
( 5 )
E E Pl AE E E
(2.15)
S C
C C S
2
( 5 )
E Pl AE E E
(2.16)
３．配点 各5点，計25点
(1) フリーボディダイアグラムは，解図3.1
となる。
A
C
T T
B C
Rx
Ry T
W=mg
解図3.1 ワイヤと剛体板のフリーボディダイアグラム (2) ワイヤの張力T
の
x方向成分を
Tx，
y方向成 分を
Tyとすると，剛体板のフリーボディダイアグラム は解図
3.2となる。
B
C Rx
Ry
W=mg
Ty Tx
解図
3.2力のつり合いとモーメントのつり合い 剛体板の水平方向の力のつり合いから
x x 0 R T
(3.2)
-3/4-
剛体板の垂直方向の力のつり合いから
y y 0
R T W (3.2) 剛体棒の B 点回りのモーメントのつり合いから，
2 y 0 y 2
l W
W T l T
(3.3)
(3) BCA とすると，ワイヤの張力の水平，垂直 方向成分は，
cos 2
sin 2
x
y
T T T
T T T
(3.4)
荷物の重さは，
W mg (3.4) 式(3.3)，(3.4)から，
2 y 2 2
W m
T T g
(3.5)
したがって，
2 2
4 2 2
2
T m m
A d d
g g
(3.6)
(4)
許容応力 aは，
480 160 MPa 3
B
a S
(3.7)式(3.6)より，
2
6 3 2
2 2
160 10 (3 10 ) 2 2
163.2 kg
a d
m
g
g (3.8)
(5) ワイヤの伸び
は,
6 9 3
160 10
2 2
206 10 1.098 10 m
a l
E
(3.9)
C
点の垂直方向伸び とワイヤの伸び の間には次 の関係が成り立つ（教科書
p.34図
3.3参照）。
sin sin
(3.10)したがって，
1.098 2
1.553 1.55 mm
(3.11)
４．配点 各5点，計25点
(1) まだ，隙間が空いているのは，自由膨張と変
わらない。したがって，
1 (T1 T l0)
(4.1) (2) 自由膨張量が隙間と同じになったと考え，2 0 2 0
(T T l) T T
l
(4.2) (3) 両側が剛体壁に挟まれているので，伸びの合計は隙間の長さである。
3 0
( )
Rl T T l
AE
(4.3) (4) 式(4.3)を反力Rについて解いて，
3 0
{ ( )}
R T T AE
l (4.4)
応力は断面積で割って，
3 0
{ ( )}
P T T E
A l
(4.4)(5) 式(4.4)より，
B { (T3 T0)}E l
(4.5)熱応力は負であるため，
B { (T3 T0)}E l
-4/4- したがって，
B
3 0
{ (T T) }l E
(4.6)数値を代入して，
6 6
9 3
300 10
{11.2 10 200 } 1
206 10 0.7836 10 m
0.784mm
(4.7)
５．配点 各5点，計25点
(1) パンチにかけられる荷重をP
とすると，一辺
aの正方形断面に生じる圧縮応力 は，
2
P
a (5.1) パンチが破壊しないためには，式(5.1)の応力が，圧 縮強さ以下である必要がある。
2
B B
2
P P a
a (5.2) 一方，板には次の大きさのせん断応力が発生する。
4 P
ah (5.3)このせん断力がせん断強さu以上であれば穴を打ち 抜くことができる。
4 u
P
ah
(5.4) 厚さh
について解くと，4 u
h P a
(5.5)
したがって，式(5.2)を考慮して，
2
B B
u u
4 4
h a a
a
(5.6)
数値を入れて計算すると，
6
3 6
55 10
100 10 4 40 10
0.03437 m 34.4 mm
h
(5.7)
(2) 式(5.6)において，一辺aについて解くと，
u B
6
3 6
3
4
4 40 10 55 10 4 10
11.63 10 m 11.6 mm a
h
(5.8)
(3) 式(5.4)より 4 u
P ah
(5.9) 数値を入れて計算すると，3 3 6
3
4 100 10 4 10 40 10 64 10 N 64 kN
P
(5.10)
(4) 直径d
の円と一辺
aの正方形の面積が等しい
から，
2
2 2
4
d a
a d
(5.11) 数値を入れて計算すると，3
3
2 2 100 10
112.8 10 m 113 mm d a
(5.12)
(5) 同様に考えると，
P
dh u (5.13) 数値を代入して，3 3 6
3
112.8 10 4 10 40 10 56.69 10 N 56.7 kN
P
(5.14) 同じ面積，同じ板厚の板において，円形断面の方が 少ない荷重で済むので，省エネルギー，コスト削減に 繋がる。
