-1/5-
2010年8月5日(木)，2時限，共C31
材料力学Ⅰ 2010 期末テスト 解答例
１．
(1) 弾性限度 (2)
G (3) C，D (4) 0.2%(5) E
A/
A (6) フックの法則(7)
F
F /E
F
A F/ A (8) 低炭素鋼(9) 206GPA (10)
C A B
D F
G
H
応力
ひずみ
A
FH
G
A F G H
0
解図1.1 応力-ひずみ線図
２．
(1) フリーボディダイアグラムは，
P 3P
RA RD
解図2.1 フリーボディダイアグラム 力のつり合いは，
D 3 A 0 D A 2
R P P R R R P (2.1) (2) 両端が固定端なので，
AB BC CD 0
(2.2) (3) 各区間での内力を求める。(i) AB間
RA QAB
解図2.2 AB間の仮想断面の内力 力のつり合いから，
AB A 0 AB A
Q R Q R (2.3) (ii) BC間
RA P QBC
解図2.3 BC間の仮想断面の内力 力のつり合いから，
BC A 0 BC A
Q R P Q R P (2.4) (ii) CD間
P 3P
RA QCD
解図2.4 CD間の仮想断面の内力 力のつり合いから，
CD A 3 0 CD A 2
Q R P P Q R P
(2.5) (4) 伸びの和を求めると，
-2/5-
AB BC CD
BC CD
AB
A A A
A
2 ( / 2)
{2 ( ) 4( 2 )}
2
7 ( )
2
Q l Q l Q l
SE SE S E
l R R P R P
SE
l R P SE
(2.6)
式(2.2)の関係から，
RA P (2.7)
式(2.1)から，
RD P (2.8)
(5) 中心点の伸びは，
BC AB BC
AB
A A
2 4
{4 ( )}
4
{ 4 ( )}
4
6 3
4 2
Q l Q l
SE SE
l R R P
SE
l P P P
SE
Pl Pl
SE SE
(2.9)
左側へ3Pl/ (2SE)移動。
３．
(1) フリーボディダイアグラムは，
RB RA
MB MA
解図3.1 はりのフリーボディダイアグラム
P B
C RB
MB
解図3.2 剛体棒のフリーボディダイアグラム (2) 剛体棒の水平方向の力のつり合いから，
B 0 B
PR R P (3.1) 剛体棒の B 点回りのモーメントのつり合いから，
B 0 B
M Pa M Pa
(3.2) はりの水平方向の力のつり合いから
B A 0 A B
R R R R P (3.3) はりの B 点回りのモーメントのつり合いから，
A B 0 A B
M M M M Pa
(3.4) (3) AB間の仮想断面において，
RA F
M MA
解図3.3 はりの仮想断面に作用する荷重 力のつり合いから，
0
F (3.5) 仮想断面回りのモーメントのつり合いから，
A 0 A
MM M M Pa (3.6) (4) 式(3.6)をたわみの基礎式に代入して，
2 2
z z
d y M P
dx EI EI a (3.7) 順次積分して，
( 1)
z
dy P
ax C dx EI
2
1 2
( )
z 2 P a
y x C x C
EI 境界条件を適用して，
0 0 1 0
x で
C (3.8)0 0 2 0
x で y C (3.9) したがって，
-3/5-
4
64
z
Pa Pa
x x
EI Ed
(3.10)2 2
4
32 2 z
Pa Pa
y x x
EI
Ed (3.11)
(4) x0で，y0，その後は単調減少， xlで 負の最大のたわみ。すなわち，上方へ変化
2 4
32Pal
y
Ed (3.12)４．
(1) フリーボディダイアグラムは，
P
RB RD
解図4.1 フリーボディダイアグラム (2) 左右対称なので，
B D
2
R R P (4.1) (3) (4)４つの区間に分けて考える。
(i) AB間（0 x a）
F M
解図4.2 AB間の仮想断面 力のつり合いとモーメントのつり合いから，
0
F ，M 0 (4.2) (ii) BC間（a x a b）
力のつり合いから，
B 0 B
2
FR FR P (4.3)
RB
F M
解図4.3 BC間の仮想断面 仮想断面回りのモーメントのつり合いから，
B( ) 0
MR xa
B( ) ( )
2 M R x a P x a
(4.4)
(iii) CD間（a b x a 2b） P
RB
F M
解図4.4 CD間の仮想断面 力のつり合いから，
B 0
FR P
B 2 2
P P
F R P P
(4.5)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから，
B( ) ( ) 0
MR xa P x a b
B( ) ( )
( ) ( )
2
( 2 )
2
M R x a P x a b P x a P x a b
P x a b
(4.6)
(iv) DE間（a2b x l）
F M
解図4.5 DE間の仮想断面
-4/5- 力のつり合いとモーメントのつり合いから，
0
F ，M 0 (4.7) したがって，SFD と BMD は，
2 Pb 2
P
2
P SFD
BMD
解図4.6 SFDとBMD (5) BMDより，最大モーメントは，
2 max 2
l Pb
x で M (4.8) 最大圧縮荷重が生じるのは，正三角形断面の上面で ある。正三角形の断面係数は，
3 2 2
3 3
3 ( 3 / 2)
36 12 12
3 1
12 4 16
bh bh c c
Z h
c c
(4.9)
したがって，最大応力は，
max
max 3 3
16 8 2
M Pb Pb
Z c c
(4.10)５．
(1) ねじりのフリーボディダイアグラムで，TAの向きを 次のようにする。
0 TA解図5.1 フリーボディダイアグラム (2) 全体のトルクのつり合いから，
0b TA 0 TA 0b
(5.1) (3) AB間の仮想断面でのトルクのつり合いから，TA
TAB
解図5.2 AB間の仮想断面に生じるトルク トルクのつり合いから，
AB A 0 AB A 0
T T T T
b (5.2) また，4 4
AB (2 )
32 2
Ip
d
d(5.3)
したがって，
0 0
AB
B 4 4
AB
2 2
p
ba ab
T a
GI Gd Gd
(5.4)(4) BC間の仮想断面でのトルクのつり合いから，
0 TATBC
解図5.3 BC間の仮想断面に生じるトルク トルクのつり合いから，
BC A 0( ) 0
T T
xa BC A 0
0 0
0
( )
( )
( )
T T x a
b x a
l x
(5.5)
また，
4
BC 32
Ip
d(5.6)
したがって，
-5/5-
BC 0
BC 4
BC
32 ( )
p
T dx l x
d dx
GI Gd
(5.7)
積分して，
0
BC 4
2 0
4
2 2 2
0 4
2
0 2 0
4 4
32 ( )
32 [ ]
2
16 (2 2 )
16 16
( )
l l
a a
l a
d l x dx
Gd lx x Gd
l l al a Gd
l a b
Gd Gd
(5.8)
したがって，
2
0 0
C B BC 4 4
0 4
2 16
2 ( 8 )
ab b
Gd Gd
b a b Gd
(5.9)
(5) AB間，BC間の断面係数は，
AB 3
AB
BC 3
BC
2 / 2 16
p p
p p
Z I d
d
Z I d
d
(5.10)
AB 間，BC 間の最大トルクは，
max AB A 0
T T
b (5.11)max BC BC( ) 0( ) 0
T T a
la
b (5.12) 各区間での最大せん断応力が許容応力以下になればよいから，
max AB 0
max AB 3
AB
2
a p
T b
Z d
(5.13)max BC 0
max BC 3
BC
16
a p
T b
Z d
(5.14) したがって，BC間の条件，式(5.14)から，316 0 a
d
b
(5.15)
