2018年8月7日(火)，1時限，21，(22)，23講義室
材料力学Ⅰ
2018定期試験 解答例
１．配点：各
5点，計
25点
(1) 軸のフリーボディダイアグラムは解図1.1
となる。
解図
1.1 フリーボディダイアグラムトルクのつり合いから，
A 4 0 0 D 0 A D 5 0
T T T T T T T
(1.1)
(2) AB
間の仮想断面から左の部分の軸の荷重状 態は解図
1.2となる。
解図
1.2 AB間の仮想断面左側部分の荷重状態 トルクのつり合いから，
AB A 0 AB A
T T T T (1.2)
BC
間の仮想断面から右の部分の軸の荷重状態は解 図
1.3となる。
解図
1.3 BC間の仮想断面左側部分の荷重状態 トルクのつり合いから，
BC A 4 0 0 BC A 4 0
T T T T T T (1.3)
CD
間の仮想断面から右の部分の軸の荷重状態は解 図
1.4となる。
解図
1.4 CD間の仮想断面左側部分の荷重状態 トルクのつり合いから，
CD A 4 0 0 0 CD A 5 0
T T T T T T T (1.4)
(3) Ip
を断面二次極モーメントとして，AB 間，BC 間，CD 間のねじれ角を求めると，
AB A
AB
p p
T l T l GI GI
(1.5)
BC A 0
BC
( 4 )
p p
T l T T l
GI GI
(1.6)
D
CD C ( A 5 )0
p p
T l T T l
GI GI
(1.7)
したがって，AD 間のねじれ角
ADは，
TA
TD T0
4T0
TAB TA
TBC
TA 4T0
TA 4T0 T0
TCD
AD AB BC CD
A 0
A 0
4
(3 9 ) 32(3 9 )
p
T T l GI
T T l d G
(1.8)
(4) D
点は剛体壁に固定されているために，式(1.8) で得られたたわみ角は
0でなければいけない。
A 0
AD A 0
(3 9 )
0 3
p
T T l
T T
GI (1.9)
式(1.1)に代入して，
D A 5 0 2 0
T T T T (1.10)
(5) 断面は直径 d
の円形で一様なので，極断面係
数
Zpは
3
16
p
Z d
(1.11)
式(1.9)の結果を，式(1.2)，式(1.3)，式(1.4)に代入す ると，各区間での内力は，
AB A 0
BC A 0 0
CD A 0 0
3 4
5 2
T T T
T T T T
T T T T
(1.12)
各区間での最大応力は，各内力を極断面係数で割 ったものであるが，極断面係数がどの区間でも同 じなので，最大応力は最大の内力の区間で生じる。
すなわち，AB 区間で生じ，その大きさは，
0 AB
AB 3
48
p
T T
Z d
(1.13)
２． 配点：各
5点，計
20点
(1) 中立軸は全体の図心である。直角三角形の面積
を
A1，図心までの距離を
b1，長方形の面積を
A2，図心 までの距離を
b2，台形の面積を
A3，図心までの距離を
b3とすると，次の関係が成り立つ。
3 3 1 1 2 2
A b A b A b
1 1 2 2
3
3
A b A b
b A
(2.1)
ここで，
2
1 1
2
2 2
3 , 2 6 , 3
2
A a b a
A a b a
(2.2)
また，
2 2 2
3 1 2
3 15
2 6 2
A A A a a a (2.3)
したがって，
3 3
3 2
3 2 21 7
( 9 )
2 15 15 5
b a a a a
a (2.4)
(2)
直角三角形の台形の中立軸に対する断面
2次モ ーメントを
Iz1，直角三角形の中立軸に対する断面
2次 モーメントを
I1，直角三角形の中立軸から台形の中立 軸までの距離を
d1，長方形の台形の中立軸に対する 断面
2次モーメントを
Iz2，長方形の中立軸に対する断 面
2次モーメントを
I2，長方形の中立軸から台形の中 立軸までの距離を
d2とすると，平行軸の定理より次の 関係が成り立つ。
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
z
z
I I d A
I I d A
(2.5)
ここで，
3 4
1 1 3 1
3 4
2 2 2 3
(3 ) 3 2
36 4 , 5
2 (3 ) 9 1
12 2 , 10
a a
I a d b b a
a a
I a d b b a
(2.6)
したがって，
4 2 2 4
1
4 2 2 4
2
3 4 3 99
4 25 2 100
9 1 456
2 100 6 100
z
z
I a a a a
I a a a a
(2.7)
台形の断面
2次モーメントは両者の和から，
4 4
1 2
555 111
100 20
z z z
I I I a a (2.8)
(3) 台形の中立軸から上面，下面までの距離e1
，e
2を 求めると，
1 3
2 3
7 5
7 8
3 3
5 5
e b a
e a b a a a
(2.9)
断面係数は，断面
2次モーメントを
e1，e
2で除したもの であるから，
4
3 1
1
4
3 2
2
111 5 111 20 7 28 111 5 111
20 8 32
z
z
I a
Z a
e a
I a
Z a
e a
(2.10)
(4) 断面が台形形状の仮想断面に生じているモーメ
ントを
Mとすると，上面と下面に生じる応力
1，
2は次 式で与えられる。
1 3
1
2 3
2
28 111
32 111
M M
Z a
M M
Z a
(2.11)
2 1
である。したがって，下面の応力が上面より大 きく，
2 1
32 1.142 28
(2.12)
1.14
倍となる。
３． 配点：各
5点，計
25点
(1)
はりのフリーボディダイアグラムは解図
3.1となる。
解図
3.1 フリーボディダイアグラム(2) 力のつり合いから，
A D A D
2 0 3
P PR R R R P (3.1) A
点回りのモーメントのつり合いから，
D D
2 2 3 0 5
Pl P l R l R 3P
(3.2)
式(3.1)に代入して，
A D
3 4
R PR 3P (3.3)
(3) はりを(i) 0 x l
，(ii)
l x 2l，(iii) 2
l x 3lの
3区間に分け，任意の位置
xでの仮想断面に生じるせ ん断力
Fとモーメント
Mを求める。
(i)
第
1区間( 0
x l)での仮想断面の左側の部分の荷重状態は解図
3.2となる。
解図
3.2 第1区間の仮想断面左側の荷重状態
力のつり合いから，
1 A 1 A
0 4
F R F R 3P (3.4)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから，
1 A 1 A
0 4
M R x M R x3Px (3.5)
(ii)
第
2区間(
l x 2l)での仮想断面左側の部分の荷重状態は解図
3.3となる。
解図
3.3 第2区間の仮想断面左側の荷重状態
力のつり合いから，
RA RD
P
2P
x
F1 M1
RA
x
F2 M2 l
RA
P
2 A 2 A
0 1
F P R F R P 3P (3.6)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから，
2 ( ) A 0
M P x l R x
2
4 ( ) ( 3 )
3 3
M Px P x l P x l
(3.7)
(iii)
第
3区間( 2
l x 3l)での仮想断面右側の部分の荷重状態は解図
3.4となる。
解図
3.4 第3区間の仮想断面右側の荷重状態
力のつり合いから，
3 D 3 D
0 5
F R F R 3P
(3.8)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから，
3 D 3
(3 ) 0 5 (3 )
M R l x M 3P l x
(3.9)
以上の結果から，SFD と
BMDを描くと解図
3.5となる。
解図
3.5 SFDと
BMD(4) 正方形断面の断面2
次モーメント
I，4
12
I a (3.12)
最大曲げ応力は，モーメントが最大点で生じる。解図
3.5の
BMDより，最大モーメントは
x=2lの位置で生 じ，その大きさは，
max
5
M 3Pl (3.13)
応力は次式で表される。
M y
I (3.14)
また，上面の座標は
y a/ 2，したがって，
max
max 4 3
12 5 10
( )
2 3 2
M a a
Pl Pl
I a a
(3.15)
(5) 正方形と面積が等しいことから円形断面の直径 d
を求めると，
2
2 2
4
d a
a d
(3.15)
正方形断面と円形断面の断面係数をそれぞれ
Z1，
Z2とすると，
3 3
3
2 3
8 1
32 32 4
d a
Z a
(3.16)
したがって，円形断面での最大応力は，
max
max 2 3
2
3 max
max
5 4
3
2 10 2
3 3
1.181
M Pl
Z a
Pl a
(3.17)
断面形状を円形に変えることで，最大応力は
1.18倍 になった。したがって，正方形断面の方が最大応力は 小さいので安全側である。
3l -x F3
M3
RD
SFD 4 3P
2l 3l
0 l
1 3P
5 3P
BMD
0 l 2l 3l
4 3Pl
5 3Pl
４．配点：各
5点，計
30点
(1) はりのフリーボディダイアグラムは解図4.1
となる。
解図
4.1 フリーボディダイアグラム(2) 力のつり合いから，
0 C 0 C 0
q lR R q l (4.1)
C
点回りのモーメントのつり合いから，
2 2
0 C C 0
1 1
2q l M 0 M 2q l (4.2)
(3) はりをAB
間の(i)第
1区間( 0
x 2l)とBC間の
(ii)第2区間 ( 2
l x 3l)の2区間に分け，任意の位 置
xの仮想断面に生じるモーメント
Mを求める。
(i)
第
1区間( 0
x l)での仮想断面の左側の部分の荷重状態は解図
4.2となる。
解図
4.2 AB間の仮想断面左側の荷重状態 仮想断面回りのモーメントのつり合いから，
1 0
M (4.3)
(ii)
第
2区間(
l x 2l)での仮想断面左側の荷重状態は解図
4.3となる。
解図
4.3 BC間の仮想断面左側の荷重状態
仮想断面回りのモーメントのつり合いから，
0 2
2 ( ) 0
2
M q xl
0 2
2 ( )
2
M q x l
(4.4)
(4) B
点でモーメントの式が変わり，C 点が固定支持で
あることから，境界条件と連続の条件は以下となる。
《境界条件》
2
x l
で
2 0 (4.5)2
x l
で
y2 0 (4.6)《連続の条件》
xl
で
1 2 (4.7)xl
で
y1 y2 (4.8)(5) 区間に分けてたわみ曲線を求める。
(i) AB
間( 0
x l)2
1 1
2 0
d y M
dx EI (4.9)
順次積分して，
0
1 1 q ( )1
dy C
dx EI (4.10)
1 q0 ( 1 2)
y C x C
EI (4.11)
(ii) BC
間(
l x 2l)2
2 2
2
2
0 ( )
2
d y M
dx EI
q x l EI
(4.12)
順次積分して，
2 2
3 0
3
( )
{ }
6 dy
dx
q x l EI C
(4.13)
4 0
2 3 4
( )
{ }
24 q x l
y C x C
EI
(4.14)
MC
RC q0
F1 M1
x
q0
F2 M2
x
xl l
式(4.10)と式(4.13)，式(4.11)と式(4.14)の比較から，連 続の条件，式(4.7)，式(4.8)を適用すると，以下の関係 が成り立つことが分かる。
1 3, 2 4
C C C C (4.15)
境界条件，式(4.5)を式(4.13)に，式(4.6)を式(4.14)に 適用して，
3 3
3 0 3 1
6 6
l l
C C C
(4.16)
4
3 4
2 0
24
l C lC
4
4 3
4 4
4 2
24 2
7 24 3 8
C l C l
l l
l C
(4.17)
したがって，
0 3 1
( 1 ) 6
q l
EI (4.18)
3 4
0 1
1 7
( )
6 8
y q l x l
EI (4.19)
3 3
0 2
( )
{ }
6 6
q x l l
EI (4.20)
4 3
0 4 2
( ) 7
{ }
24 6 8
q x l l
y x l
EI
(4.21)
(6) 第1
区間のたわみ角は負であるため，第
1区間
ではたわみは単調減少。第
2区間の極を求めると，
3 3
0 2
2
1 {( ) } 0
6 q
dy x l l
dx EI (4.22)
したがって，
2
x l l x l (4.23)
第
2区間
( , 2 )l lの範囲では，
20となりやはり単調 減少である。したがって，最大のたわみは
x0で生じ ている。
4 0
max 1 0
7 8
x
y y q l
EI
(4.24)
