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2013年6月13日(木)，2時限，大講義室
材料力学Ⅰ 2013 中間試験 解答例
１．配点各2点，計20点 (1)，(2)，(9)
A D
G
公称応力
公称ひずみ
A
FH
G
A F G H
0
解図1.1 軟鋼&脆性材料の応力－ひずみ線図 (3) 荷重を取り除くと元の形状に戻る限界。
(4) 0.2%耐力 (5) フックの法則
(6) E206 MPa / 0.001206 GPa
(7) 縦ひずみと横ひずみの比にマイナス符号をつけ たもの。
(8) 0.3
(9) 軟鋼に比べ硬いため，直線部の傾斜は急であり，
すぐに破断する。
(10) 設計において安全側になる。
２．配点 各4点，計20点
(1) 剛体板に関するフリーボディダイアグラムを 解図 2.1 に示す。問題に各棒に働く荷重を引張荷 重とするよう指定してあるので，棒から剛体板に働 く反力の向きも解図2.1に示す向きとなる。
B C
A PA
PB PC P
解図2.1 剛体板のフリーボディダイアグラム (2) 力のつり合いから，
A B C 0
PP P P (2.1) B点回りのモーメントのつり合いから，
A C 0
P aP a (2.2) 式(2.2)より，
A C
P P (2.3)
式(2.3)を式(2.1)に代入して，
C B C 0
PP P P したがって，
B 2 C
P P P (2.4)
(3) それぞれの伸びを求めると，
A A
1
P l
AE (2.5)B B
2
P l
AE (2.6)C C
3
P l
AE (2.7)(4) 式(2.3)より，荷重は左右対称であるが，棒のヤン グ率が 3本とも異なるため，柔らかい棒の方はより大 きく変形する。一方，剛体板は変形しないため，解図 2.2に示すように，剛体板は破線の元の状態から荷重 負荷後，直線性を保ったまま変位すると考えられる。
-2- A
A’
B’
B
C’
C
O
A
B
C解図2.2 剛体板の各点の変位
その結果，A’C’O間に直角三角形が形成される。三 角形の相似則を用いると，
C A B A
(
) : (
)2 :a a (2.8)C A 2( B A)
したがって，A C 2 B
(2.9) (5) 式(2.5)，(2.6)，(2.7)を式(2.9)に代入して，C
A B
1 3 2
P l 2
P l P l
AE AE AE
A C B
1 3 2
P 2
P P
E E E (2.10) 式(2.3)，(2.4)を式(2.10)に代入して，
C C C
1 3 2
2 2
P P P P
E E E
C
1 2 3 2
1 4 1 2
( ) P
E E E P E
したがって，
1 3 C
1 2 2 3 3 1
2
4 E E P P E E E E E E
(2.11) 式(2.3)，(2.4)に代入して，
1 3 A
1 2 2 3 3 1
2
4 E E P P E E E E E E
(2.12)
B C
1 3
1 2 2 3 3 1
1 2 2 3
1 2 2 3 3 1
1 3 2
1 2 2 3 3 1
2 4
4
( )
4
( )
4
P P P
E E P P E E E E E E
E E E E P E E E E E E
E E E P E E E E E E
(2.13)
式(2.11)，(2.12)，(2.13)を式(2.7)，(2.8)，(2.9)に代入 して，
3 A
1 2 2 3 3 1
2
( 4 )
E Pl A E E E E E E
(2.14)
1 3
B
1 2 2 3 3 1
( )
( 4 )
E E Pl A E E E E E E
(2.15)
1 C
1 2 2 3 3 1
2
( 4 )
E Pl A E E E E E E
(2.16)
３．配点 各4点，計20点
(1) フリーボディダイアグラムは，解図3.1となる。
問題に RA，RDは引張と指定してあるので，解図 3.1の向きとなる。
RA RD
解図3.1 フリーボディダイアグラム 力のつり合いから，
A B 0
R R
(3.1)
したがって，
A B
R R R (3.2) (2) 温度変化による変位は，
T 3 Tl
(3.3)(3) どの区間においても，内力はRと等しくなるか
ら，反力による変位は，
-3-
AB BC CD
2 ( / 2) 7
2
R l l l
R R R
l l l
AE AE A E
Rl AE
(3.4)
(4) 温度変化による変位と反力による変位を重ね 合わせて全体の伸びは，
3 7
T R 2
Tl Rl
AE (3.5) 元々断熱剛体壁に挟まれていることから，
0 (3.6) したがって，7 6
3 0
2 7
Tl Rl R TA E
AE
(3.7) 応力は断面積で割ったものである。したがって，断 面積が小さい区間の棒ほど生じる応力は大きくなる。明らかに CD 区間の面積が最小であるから，最大 応力はCD区間で生じ，応力の値は，
max
12 ( / 2) 7
R TE
A
(3.8) (5) 許容応力aを求めると，480 160 MPa 3
B
a S
(3.9)最大応力が許容応力以下であることが求められる から，
max a
(3.10) 式(3.8)を代入して，12
7
TE
a したがって，6
6 9
7 12
7 160 10
12 11.6 10 206 10 39.05 K 39.0 K T a
E
(3.11)
ここで， T 39.05であるので，四捨五入では無く切 り捨てとする。
４．配点 各4点，計20点
(1) xの面での内力をQx，下の部分の重量をWxと してフリーボディダイアグラムは解図4.1となる。
P Qx
Wx
解図4.1 フリーボディダイアグラム 力のつり合いから
x x
Q W P (4.1) ここで，
x x
W mg
V g (4.2) したがって，x x
x
x x
Q V P
A A
g (4.3)
(2) xdxの面での内力をQx dx ，下の部分の重 量をWx dx としてフリーボディダイアグラムを描くと解 図4.2となる。
-4- dx
P Qx+dx
Wx+dx Axdx
解図4.2 xdx下部のフリーボディダイアグラム 力のつり合いから
x dx x dx
Q W P (4.4) ここで，
( )
x dx x x
x x
x x
W W A dx
V A dx V A dx
g
g g
g
(4.5)
したがって，
( )
x dx x x
x dx
x x x x
Q V A dx P
A dA A dA
g -
(4.6)
(3) 下端面では自重は作用しないから，
2 2
4 ( / 4)
l
l l l
P P P
A d d
平等強さの棒の条件から，
x x dx l
(4.7) (4) 式(4.7)に式(4.3)，(4.7)に代入して，( )
x x x
x x x
V P V A dx P
A A dA
g g -
(
gVxP A)( x dAx) {
g(Vx- A dxx )P A} x (
gVxP dA) x -Ax2
gdxしたがって，
( x ) x
x x
V P dA A A dx
g - g
(4.8)式(4.3)，(4.7)を考慮すると，
x l
x
dA dx
A - g
(4.8) 両辺積分して，ln '
l Ax x C
- g
変形して，''
''
ln '' ln ln
ln ln
l
l l
x C x
l
x x
C
A x C e e
e e Ce
g
g g
g
したがって，
l
x
Ax Ce
g
(4.9) 断面は円形であるから，
2
4
l
x
d Ce
g境界条件から，
2
4
l
l
dl Ce
gCを求めると，
2
4
l
l
C d el
g
したがって，
( )
2 2 2
4 4 4
l l l
l x l x
l l
d d e e d e
g g
g dを求めると，
( ) ( )
l 2 l
l x l x
l l
d d e d e
g g
(4.10) (5) xの位置のdx幅の微小伸びdは，
-5-
2
x l 4
x
l
d dx dx dx P dx
E E d E
(4.11)
全体の伸びは， 区間[0, l]で積分して，
2 2
0 0
4 4
l l
l l
P Pl
d dx
d E d E
(4.12)５．配点 各4点，計20点
(1) 内力はPと等しい。したがって，
2 2
4 / 4
P P
d d
(5.1)また，
P
Dt
(5.2)(2) 安全に使用するためには，
a (5.3)式(5.1)を代入して，
2
4
a
P d
(5.4)したがって，
3 6
10 10
2 2
70 10 0.01348 m 13.5mm
a
d P
(5.5)
ここで，d0.01348mであるので，四捨五入では無く 切り上げ。
(3) 安全に使用するためには，
a (5.6)式(5.2)を代入して，
a
P Dt
(5.7)したがって，
3
3 6
10 10 50 10 30 10 0.002122 m 2.13
a
t P D
mm
(5.8)
ここで，t0.002122 mであるので，四捨五入では無 く切り上げ。
(4) 式(5.4)から，
2
4
a
P
d
したがって，2
6 3 2
3
4
70 10 (20 10 ) 4
21.99 10 N 21.9 kN
a d
P
(5.9)
ここで，P21.99 10 N 3 であるので，四捨五入では 無く切り捨て。
(5) 式(5.6)から，
3
3 6
21.99 10 50 10 30 10 0.004666 m 4.67
a
t P D
mm
(5.10)
ここで，t0.004666 mであるので，四捨五入では無 く，切り上げ。なお，ここでは式(5.9)で得られたPの荷 重を計算に用いるが，最終結果を有効数字 3 桁にす るためには，途中の計算に用いる数値はもう1桁多い 有効数字4桁の21.99を用いる。
