材料力学Ⅰ 2015 期末試験 解答例 １．配点：各

-1-

2015年7月30日(木)，2時限，21講義室

材料力学Ⅰ

2015 期末試験 解答例

１．配点：各

5

点，計

30

点

(1)

フリーボディダイアグラムは解図

1.1

となる。

解図

1.1 フリーボディダイアグラム

(2) 力のつり合いから，

0 B C 0

Pq lR R 

B C 0 2

R R P q l P

     (1.1)

B

点回りのモーメントのつり合いから，

2 0

C 0

2

Plq l R l

0

C 2 2

q l P

R P

      (1.2)

式(1.1)に代入して，

B C

2 5

R  PR 2P (1.3)

(3) はりを(i) 0 x l

と(ii)

l x 2l (iii) 2l x 3l

の

3

区間に分け，任意の位置

x

での仮想断面に生じるせ ん断力

F

とモーメント

M

を求める。

(i)

第

1

区間

( 0 x l)

この区間での仮想断面の左側部分の荷重状態は解 図

1.2

となる。

解図

1.2 第1

区間の仮想断面左部分の荷重状態

力のつり合いから，

F P 0  F P (1.4)

仮想断面回りのモーメントのつり合いから，

M Px0  M  Px (1.5)

(ii)

第

2

区間(

l x 2l)

この区間での仮想断面の左側部分の荷重状態は解 図

1.3

となる。

解図

1.3 第2

区間の仮想断面左部分の荷重状態

力のつり合いから，

0( ) B 0

F P q x l R 

B 0( )

5 ( )

2

(5 2 ) 2

F R P q x l P P P x l

l

P x

l

   

    

 

(1.6)

仮想断面回りのモーメントのつり合いから，

2

0 B

( )

( ) 0

2 x l

M Pxq  R x l

2

0 B

2

2 2

( )

( )

2

( ) 5

( )

2 2

{( ) 3 ( ) 2 }

2

( 2 )( 3 ) 2

x l

M Px q R x l

P x l P

Px x l

l

P x l l x l l l

P x l x l l

     

     



     

   

(1.7)

(iii)

第

3

区間( 2

l x 3l) q₀

P

R_B R_C

x

F M

P

x

F M

P

R_B l

q₀

-2-

この区間での仮想断面右側の荷重状態は解図

1.4

と なる。

解図

1.4 第3

区間の仮想断面右側の荷重状態

力のつり合いから，

0

F (1.8)

仮想断面回りのモーメントのつり合いから，

0

M  (1.9)

(4) 小設問(3)の結果から，SFD

と

BMD

を描くと解図

1.4

となる。

解図

1.5 SFD

と

BMD (5) 最大の曲げ応力は，次式で与えられる。

max

M

  Z (1.10)

正方形断面の断面係数は，

3

6

Za (1.11)

式(1.10)に代入して，

3

6M

  a (1.11)

最大応力は，モーメントが最大で，かつ，

y

が最大の 位置で生じる。解図

1.5

の

BMD

より，最大モーメント は

xl

の位置で生じ，その大きさは，

Mmax  Pl (1.12)

モーメントが負のため，引張応力は

y0

側の表面，

y a/ 2

で生じる。すなわち，

( ,l a/ 2)

で最大の 引張応力が生じ，その大きさは，

max 3

6

s

Pl

 _  a (1.13)

(6) 円形断面の断面係数は，

3

32

c

Z _d _(1.14)

前問と同様に最大応力を求めると，

( ,l d/ 2)

で最 大の引張応力が生じ，その大きさは，

max 3

32

c

Pl

 d

   (1.15)

式(1.14)と比較すると，

3 3

max-

3 3

max-

32 16

6 3

c s

Pl a a

d Pl d



 ^  ^  ^(1.16)

面積が等しいことから，

2 2

4 2

a _d _ a_  d

(1.17)

したがって，

max- 3

3 max-

16 2

1.181

3 8 3

c s

d d

   

 ^  ^{  (1.18)}

強度上は正方形断面の方が望ましい。

２．配点：各

5

点，計

30

点

(1)

はりと剛体棒のフリーボディダイアグラムは解図

2．

1

となる。

3l -x F

M

Pl

BMD

P 3 2

P

SFD

2 P

-3-

解図

2.1 フリーボディダイアグラム

(2) 剛体棒において，力のつり合いから，

C 0 C

PR   R P (2.1)

剛体棒において，C 点回りのモーメントのつり合いから，

C 0 C

PlM   M Pl (2.2)

はりにおいて，力のつり合いから，

A C 0 A C 0

R P R R P R

         (2.3)

はりにおいて，A 点回りのモーメントのつり合いから，

A 2 C C 0

M Pl R l M

    

A 2 C C

2 0

M Pl R l M Pl Pl Pl

  

     (2.4)

(3) はりを(i)0 x l

と(ii)

l x 2l

の

2

区間に分け，

任意の位置

x

での仮想断面に生じるせん断力

F

とモ ーメント

M

を求める。

(i)

第

1

区間( 0

 x l)

この区間での仮想断面左側部分の荷重状態は解図

2.2

となる。ここで，式(2.3)と式(2.4)の結果から，A 点で の支持反力

R_A

，固定モーメント

M_B

は

0

であるため省 いてある。

解図

2.2 第1

区間の仮想断面左側の荷重状態

力のつり合いから，

0

F (2.5)

仮想断面回りのモーメントのつり合いから，

0

M  (2.6)

(ii)

第

2

区間(

l x 2l)

この区間での仮想断面の左側部分の荷重状態は解 図

2.3

となる。

解図

2.3 第2

区間の仮想断面左側の荷重状態

力のつり合いから，

F P 0  FP (2.7)

仮想断面回りのモーメントのつり合いから，

( ) 0 ( )

M P x l  M P xl (2.8)

(4) 前問の結果からSFD

と

BMD

は解図

2.4

となる。

解図

2.4 SFD

と

BMD M_C

P R_A

P R_C

R_C M_C M_A

x

M A F

x

M A F

P l

P SFD

A B C

Pl l

A C

BMD B

l

-4- (5) 左端が剛体壁なので境界条件は，

x0

で

₁0 (2.9)

x0

で

y₁0 (2.10)

連続の条件は，

xl

で

 ₁ ₂ (2.11)

xl

で

y₁y₂ (2.12)

(6) 区間に分けて，たわみ曲線を求めると，

(i) AB

間：第

1

区間( 0

 x l)

2

1 1

2 0

d y M

dx  EI  (2.13)

順次積分して，

1

1 1

dy C

dx   (2.14)

1 1 2

y C xC (2.15)

(ii) BC

間：第

2

区間(

l x 2l)

2

2 2

2 ( )

d y M P

x l

dx   EI  EI  (2.16)

順次積分して，

2 2

2 3

{ (1 ) }

2

dy P

x l C

dx   EI   (2.17)

3

2 3 4

{ (1 ) ( ) }

6

y P x l C x l C

 EI     (2.18)

境界条件，式(2.9)，(2.10)を式(2.14)，(2.15)に適用し て，

1 0, 2 0

C  C  (2.19)

したがって，

1 0, y1 0

   (2.20)

連続の条件を適用して，

3 0, 4 0

C  C  (2.21)

したがって，

2

2 ( )

2

P x l

   EI  (2.22)

3

2 ( )

6

y P x l

  EI  (2.23)

３．配点 各

5

点，計

30

点

(1) フリーボディダイアグラムは，解図3.1

となる。

解図

3.1 フリーボディダイアグラム

トルクのつり合いから，

D 0 A 0 D A 0

T  lT   T T  l (3.1) (2) 3

区間に分けて考える。

(i)

第

1

区間

AB

間の仮想断面を左側部分の荷重状態は解図

3.2

となる。

解図

3.2 AB

間の仮想断面左側の荷重状態 トルクのつり合いから，

AB A 0 AB A

T T   T T (3.2)

(ii) 第2

区間

BC

間の仮想断面左側の荷重状態は解図

3.3

となる。

T_A ₀

T_D

T_AB x

T_A

-5-

解図

3.3 BC

間の仮想断面左側の荷重状態 トルクのつり合いから，

BC 0( ) A 0

T  x l T 

BC A 0( )

T T  x l

    (3.3)

(iii) 第3

区間

CD

間の仮想断面左側部分の荷重状態は解図

3.4

と なる。

解図

3.4 CD

間の仮想断面左側の荷重状態 トルクのつり合いから，

CD 0 A 0 CD A 0

T  lT   T T  l (3.4) (3)

剛体壁は変形しないから，

D 0

  (3.5)

(4) 断面2

次極モーメント

Ip

は，

4 p 32 I d

 (3.6)

AB

間のねじれ角

_AB

は，

AB A

AB

p p

T l T l GI GI

   (3.7)

BC

間の微小長さ

dx

に対するねじれ角

d_BC

は

BC A 0

BC

( )

p p

T dx T x l

d GI GI

   ^ ^ (3.8)

BC

間で積分して，

2

BC AB

2

A 0

2 2

A 0

0 A

1 { ( )}

1 [ ( )]

2

1 ( )

2

l l

l p l

l l p

p

d

T x l dx

GI

T x x lx

GI

T l l

GI

 









  

  

 





(3.9)

CD

間のねじれ角

_CD

は，

CD A 0

CD

2 2( )

p p

T l T l l

GI GI

   ^ (3.10)

D

点のねじれ角は，式(3.7)，式(3.9)，式(3.10)の和で ある。式(3.5)を考慮して，

0 A 0

A

D A

0

A A A 0

A 0

2( )

1 ( )

2

{ 2( )}

2

(4 5 ) 0

2

p p p

p

p

l T l l

T l T l

GI GI GI

l

l T T T l

GI

l T l

GI

 



 



    

    

  

0

5

A 8

T  l

   (3.11)

式(3.1)より，

D A 0 0

3

T T  l8 l (3.12)

(5) トルクT

が生じている任意の仮想断面での最大せ

ん断応力

_max

は，極断面係数を

Zp

とすれば，次式で 与えられる。

max p

T

 Z (3.13)

T_BC l

x

T_A ₀

T_A ₀

T_CD x

-6-

極断面係数は，

3 p 16 Z d

 (3.14)

軸全体では，最大トルクが生じる位置で，最大せん 断応力が生じる。AB 間，BC 間，CD 間のトルクは，

AB A 0

5 T T  8 l

BC A 0 0

( ) ( 13 )

T T  x l  x 8 l (3.15)

CD A 0 0

3 T T  l8 l

トルクの最大値（正負は回転の向きに関係するの で，絶対値の最大値）は

AB

間で生じている。その 大きさは，

max AB AB

0 3 03

5 16 10

8

p

T Z l l

d d

 

 

 

 

 

(3.16)

(6) 最大せん断応力が許容せん断応力以下であれ

ばよい。式(3.16)より，

0 3

10

a

l d

 

  (3.17)

したがって，

3

0 3

3 6

10 10 2 10 1

40 10 0.05419 m 54.2 mm

a

d  l

 

  

 

 

 

(3.18)

４． 配点 各

5

点，計

10

点

(1) 平行軸の定理から，

2 1

z z

I I d A (4.1)

(2) 正八角形を解図 4.1

に示すように，大きな正方

形の四隅から，直角二等辺三角形を取り除いた形 状と考える。

解図

4.1

正八角形の分割

四隅の直角二等辺三角形は，直角以外の内角が

45^o

であることから，各寸法は図に示す通りになる。したが って，大きな正方形の断面

2

次モーメント

I_zs

は，

4

4 4

4

( 2 )

12

(3 2)

12 17 12 2

12

zs

a a

I

a a

 

 

 

(4.2)

また，直角三角形の

z

軸に対する断面

2

次モーメント

Izt

は，平行軸の定理を用いて，

4

2 2

4 4

2

4

4

4

( / 2) 2 1

( ) ( )

36 2 3 2 2 2

1 1

(3 2 2) 4 36 4 36

1 {1 (9 12 2 8)}

4 36

1 (18 12 2) 4 36

1 (3 2 2)

4 6

zt

a a a a

I

a a

a a a

  

  

   

 

 

(4.3)

したがって，正八角形の断面

2

次モーメント

I_z

は，

4 4

4

4 17 12 2

(3 2 2)

12 6

11 8 2 12

z zs zt

I I I

a a

a

 

   

 

(4.4)

y 0 z a

2 a

2 a

2

2 3 2

a a